2.1平方根（第1课时 算术平方根）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦算术平方根的定义、非负性及运算，通过边长2cm正方形折纸实验引入，从已知平方运算过渡到x²=2的方程求解，搭建旧知到新知的学习支架。 特色是以折纸情境激发探究（数学眼光），通过列表分析面积与边长关系抽象概念（数学思维），结合非负数和为0问题强化应用（数学语言），采用情境探究与典例分析教学法，助学生发展抽象能力与推理意识，为教师提供清晰的概念建构与分层练习设计。

2.1平方根（第1课时 算术平方根）教学设计 1.教学内容 本节选自苏科版2024八年级数学上册第二章《实数的初步认识》，围绕“平方根与算术平方根”的概念展开。通过对一张边长为 2 cm 的正方形纸片的对折实验，提出边长满足 的情境，引出如何解方程 以及算术平方根 的概念和运算。 2.内容解析 本节课先从折纸情境中发现：正方形 ABCD 的边长满足 ，进一步讨论“若正方形面积为，其边长为多少”并引入算术平方根的定义。通过观察 无法用整数或有理数表示，说明平方根的扩展性。随后明确只有非负数才有算术平方根。教学重点在于认识 的非负性，并能用根号表示正数的算术平方根。教学难点在于准确区分算术平方根与平方运算的联系与区别。 1.教学目标 （1）了解算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，发展抽象能力； （2）会正确地求出一个非负数的算术平方根，理解算术平方根的非负性． 2.目标解析 （1）通过折纸活动和列方程，培养学生从几何情境到代数表达的模型建构思维； （2）通过对 无解于有理数的讨论，体会算术平方根的特殊性和必要性； （3）能熟练运用根号运算，并在实际问题中应用算术平方根求解。 3.重点难点 • 教学重点：算术平方根的概念及其非负性。 • 教学难点：识别并正确处理 与 的区别，特别是理解算术平方根只取非负值。 学生已掌握一元一次方程及简单多项式运算，具备一定的方程建模与运算基础。对于“设未知量—列方程—求解”的过程相对熟悉，但本节引入的算术平方根概念较新，需强调 只取非负值。同学们在区分平方运算与开平方以及进行实际建模时可能存在混淆，需要通过典型例题与情境辨析来加深理解并巩固运算技能。 创设情境，引入新课 师：同学们，请看这样的折纸场景： 如图，一张边长为2cm的正方形纸片，取四条边的中点，将纸片的四个角分别沿着对折，得到一个小正方形。 提问： 1. 如果小正方形的面积是，它的边长是多少？如何用方程来表示？ 2. 若设小正方形的边长为，则有，请思考：我们应如何“开平方”，才能求出的值？ 【设计意图】通过真实的折纸情境，激发学生的好奇心与探究欲望，引导学生思考“如何对面积为2的正方形求边长”。从而自然引出“平方根”以及“算术平方根”的概念，激发学生学习兴趣、明确学习任务。 探究点1：平方与算术平方根 1.问题引入 师：在上一环节的折纸情境中，我们得到方程。若正方形面积为a，边长是多少？ 下表中列举了一些a的值，请写出边长x对应的值： 2.新知导出 师：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫作的算术平方根。 对于，则。这时我们说：就是2的算术平方根。 3.师生活动 教师演示：列举若干平方数：让学生找出其边长与面积的对应关系。 学生讨论：若面积是等非完全平方数，该如何确定边长？ 概念引入：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根 (arithmetic square root)． a的算术平方根记为，读作“根号a”. 【设计意图】通过问题“如何求解”，引导学生先回顾平方与边长的对应关系，再自然过渡到对“算术平方根”新概念的需求，帮助学生理解“非负性”及根号运算的本质。 探究点2：非负性与算术平方根求法 1. 问题引入 师：在我们定义算术平方根时，强调了，这样才能使成为“正数解”。那么，负数有没有算术平方根？零的算术平方根是什么？ 2. 新知导出 （1）只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根； 具有双重非负性：且； 既表示“运算”（求算术平方根），又可表示“结果”。 3. 师生活动 教师提问：如果给出若干数，如，能否找出它们的算术平方根？ 学生分组讨论、列式验证：哪些数可以求算术平方根，哪些数不行？ 4. 典例分析 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.09； (4) 104 . 解：(1) ∵102＝100，∴100的算术平方根＝10； (2) ∵ ，∴ 的算术平方根＝； (3) ∵0.320.09，∴ 0.09的算术平方根＝0.3； (4) ∵，∴ 的算术平方根. 【设计意图】让学生在对典例的分析中掌握求算术平方根的具体方法，理解“算术平方根只能是非负数”的要求，同时初步感受根号运算的特殊性。 探究点3：算术平方根的两个重要关系式 1.问题引入： 师：回到最初的折纸方程，有了算术平方根的知识，我们如何解这个方程？ 2.新知导出： 当且时，。于是小正方形的边长即为。 强调：只保留正解，是因为“长度”必须为正。 3.讨论交流 根据算术平方根的定义，，分别等于多少？有意义吗？你有什么猜想？你能说明理由吗？ 解：根据算术平方根的定义，得，.没有意义. 猜想：()2a(a≥0)． 理由如下：根据算术平方根的定义，如果x2＝a (a≥0)，那么x＝(a≥0)，把x＝代入得，()2＝a (a≥0). 归纳总结：算术平方根的两个重要的关系式： ()2＝a (a ≥0). ＝＝. 4. 典例分析 根据算术平方根的定义，，，的值分别是多少？ 解：根据算术平方根的定义，得，. 例2 已知y＝3，求xy的值.  解：由题意，得 化简，得 ∴ x＝5. ∴ y＝3＝3， ∴ xy＝53＝125. 例3 已知x、y、z满足＋(y－2)2＋|z＋3|＝0，求(x－y＋z)2025的值． 解：∵ ＋(y－2)2＋|z＋3|＝0， ∴ x－4＝0，y－2＝0，z＋3＝0. ∴ x＝4，y＝2，z＝－3. ∴ (x－y＋z)2025＝(4－2－3)2025＝(－1)2025＝－1. 1.求下列各数的算术平方根：81， 0，2 ，106，0.81 ． 解：∵ 92＝81，∴81的算术平方根＝9； 0的算术平方根＝0； ∵ ＝，∴ 2的算术平方根＝； ∵，∴ 的算术平方根； ∵ 0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根＝0.9． 2．求下列各数的算术平方根：16， ，10， ． 解：∵42＝16，∴16的算术平方根＝4； ∵，∴ 的算术平方根＝； 10的算术平方根； ∵，∴ 的算术平方根＝． 3．填空： (1) 4的算术平方根是___2__，3是___9__的算术平方根； (2) 算术平方根都等于它本身的数是__0、1_______；  (3) 表示______625的算术平方根____________，它的值为___25__； (4) 81的算术平方根是__9__， 的算术平方根是__3___. 4.填空： （1）____9____； （2）____5____； （3）________； （４）___5_____． 常见非负数的“三种类型”： (1)一个数的偶次方，例如a2，a4，a6等； (2)一个数的绝对值，例如|a|，|x＋2|等； (3)一个非负数的算术平方根，例如(a≥0)，(x≥3)等． 非负数的性质：若几个非负数的和为0，则这几个非负数都等于0． 1. 问题： o 折纸示意图：边长2 cm的正方形→折出小正方形ABCD o 小正方形面积=2 → 设边长x → x²=2 2. 概念： o 的定义：若x²=a，，则x= o 的非负性、负数无算术平方根 3. 例题： 4. 小结： 1. 教材巩固： （1）完成课本中与“求算术平方根”相关的基础练习； （2）回顾并书面回答：为何x²=2的解不能用有理数表示？ 2. 探究提升： （1）重温折纸问题：若将边长为4 cm的正方形同样对折成类似的小正方形，试列方程并求小正方形的边长； （2）思考：能否用类似方法证明不可表示为整数或整数比？ 本节课围绕折纸情境引入“x²=2”这一富有代表性的方程，帮助学生初步理解算术平方根的定义及非负性，并能在简单实例中应用。就概念理解而言，在例题和讨论过程中，绝大多数学生对“若x²=a且x>0，则x=”能较好掌握，并能以折纸模型体会到x=的实际意义；但也有部分学生对“算术平方根只取非负值”理解尚不够直观，需要进一步通过数轴或几何面积加以强化。 学科网（北京）股份有限公司 $