重庆市巴蜀科学城中学校2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二上入学测试 数学试题 (考试时间：120分钟总分：120分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.若直线过点(2,4)，L,4+√5)，则此直线的倾斜角是() A.30 B.60 C.120 D.150 2.现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0 到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中： 再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： 137960-197925271815952683829436730257,据此估计，该运动员三次投篮恰 有两次命中的概率为() A.4 3 C. D. 3.已知直线：2x-a2y+a=0与直线l(a-1)x-ay+1=0互相平行，则实数a的值为（) A.-1 B.0 c.1 D.2 4.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布 的形态有关在下图分布形态中，a,b,c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下 列关系正确的是（) A.a<b<c B.b<a<c Cc<b<a D c<a<b 5.已知直线x-3y+a=0与⊙C:x2+y2+4x=0相交于A、B两点，且∠ACB=120°，则实 数a的值为() A.3 B10 C.11或21 D.3或13 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2c-b)amB=btan A,且 cas,C-ooC=},则△1BC的形状为() 2 试卷第1页，共4页 A.等腰或直角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.过点P(3,4)在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条() A.4 B.5 C.6 D.7 8.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，点E为正四棱锥P-ABCD的外接球球面上 一动点，PE=√2，则动点E的轨迹长度为() A.3元 B.5元 C.6nt 2 D√6元 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图 所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确 频率 的是() 个组距 0.030---- A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分 0.020 0.015 B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 0.010 0.005-- C.分数在区间[60,70)内的频率为0.2 405060708090100成绩 D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70,80)应 抽取30人 10.在斜三角形（不包含直角）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若simA=cosB, 则() A.△ABC为锐角三角形 B.若a=1,则b=tanB C.2tanB+tamC的最小值为3 D.1<cosA+cosB+cosC≤ 11.已知点A,B为圆0：x2+y2=26上两动点，且AB=4W6,点P为直线1：x+y+10=0上 动点，则() A.以AB为直径的圆与直线I相离 B.∠APB的最大值为写 C.PA.PB的最小值为8 D.IPA+PB的最小值为112 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知tan(45°-a)=2，,则tan2a=一 试卷第2页，共4页 AB AC 13已知非零向量B与AC满足 丽ad .BC=0,且A丽-AG=22,AB+AG=45, 点D是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为 14.甲、乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球和自主投篮两个环节， 其中任意一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环 3 节之间也互不影响若甲在每个环节中获胜的概率都为子，乙在每个环节中获胜的概率都为 P,且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为员，则P的值为一“梦队在 比赛中得分不低于6分的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，正明过程或演算步骤。 15.已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的边，bsinC+asinA=bsin B+csinC. (1)求A; 2)若a=万，△1BC的面积为35，求△MBC的周长 2 16.在一次奥运会男子乒乓球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，决赛采取7局4胜制. 己知每局比赛甲获胜的概率为子，乙获胜的概率为片，且每局比赛结果互不影响。 (1)求只需进行四局比赛的概率： (2)已知前两局比赛甲均告负，求甲最终能逆转获得冠军的概率. 17.已知圆M与直线3x-√万y+4=0相切于点(1，√，圆心M在x轴上. (1)求圆M的标准方程： (2)若过点(1,1)的直线1与圆M交于P,2两点，当P9=2W7时，求直线/的一般式方程： ()点4x)是圆M上任意一点，求告的取值范围， 18.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC 且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,M是AD 的中点，如图所示 (1)求证：AC⊥平面BCDE; (2)求CM与平面ABE所成角的大小； ③)在线段4C上是否存在点N,使平面CBM与平面BN成角余弦值为5？若存在，求出 CN的长度；若不存在，请说明理由. 19.在平面四边形ABCD中，AD⊥AC,且AD=AC. (1)△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanB=3tanA. 国当a=4时，求6的值： ②当b=4时，求ac的最大值. (2)若AB=2BC=4,且ABC= 3,将△ABC沿AC翻折成aPAC,使得平面PAC⊥平面 ACD,在四面体PACD中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为P；任取两个面，记它 们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为乃， 试比较RP、P的大小重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二上入学测试数学一参考答案 题号 1 2 4 6 8 9 10 答案 c A B D B D D BC BCD 题号 11 答案 ACD 3.B【详解】解：当a=0时，直线4：即x=0,直线：即x=1,满足，1川2， 当a≠0时，直线4：2x-a2y+a=0与直线l:(a-)x-四+1=0互相平行， 小名号片解得实数ae0.综上，a=0, 4.A【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数©为右起第二个矩形下底边的中点 值，直线x=b左右两边矩形面积相等，而直线x=c左边矩形面积大于右边矩形面积，则b<c, 又数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b,即a<b,所以a<b<c. 6.【详解】由(2c-b)tanB=btan A得(2c-b)sin Bcos A=bsin Acos B, 由正弦定理得(2sinC-sinB)sin Bcos A=sin Bsin Acos B, 由于sinB≠0，所以2 sin CcosA=sin Acos B-+cos Asin B=sin(A+B)=sinC,sinC≠0 所以c0s4=由于A为三角形的内角，所以A=60, 又cas34C-C=得cos(4-C-2 C-号=0-in4smC=caf4+9=之 进而可得-c0sB=2而B为三角形内角，故B=60,进而C=60,故三角形为等边三角形， 7.智库原题【详解】当截距为0时，是直线OP,只有一条， 当截距大于0时，设截距分别为a,b,则直线方程为+=1，直线过点P3,4), a b ÷言0.a>86>0名0g0结合0河得，名0>36>4， a b 又口，6为整数，024b25,由0解得b=。铝34+。号0-3为12的因数， a-3 .a-3=1,2,3,4,6,12,对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,对应的直线又有6条，综上有7条， 【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而 是在截距不为零时，得到b三4如后分离常数得到6=4+，进而得出。-3应当为12正因数 a-3 8.D【详解】依题意，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，连接AC、BD, 设4CnBD=0,连接P0,则P0L平面ABCD,则B0之D=之2+2=E, 所以P0=2-（2=2,所以P0=OA=OB=OC=OD=反， 则O为正四棱锥P一ABCD外切球的球心，且外接球的半径R=PO=√2， 答案第1页，共8页 作出正四棱锥P-ABCD外接球的轴截面（过点P、A、C)如下所示： 因为PE=R=√互，所以△POE为等边三角形，所以∠POE=∠EPO= 3 D 过点E作EF⊥PO交PO于点F,则EF=PEsin∠EPO=V2x5-5 2 2 B 所以点E在以F为圆心，B那=5为半径的圆上，所以动点E的轨迹长度为2m×EF=2元 6 2 =6. 2 9.【详解】对于A,平均成绩为x=45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5,A错误： 对于B,由频率分布直方图知，分数在[40,80)内的频率为0.7，在[40,90)内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于(80,90)内，第75百分位数为80+07507=82.5，B正确： 0.02 对于C,分数在区间[60,70)内的频率为0.02×10=0.2，C正确；对于D,区间[70,80)应抽取200×0.3=60人， 10.【详解】对于A:由如A=c0B可剁抽A=m(经B 则4=号B或A+受B=,即4-受B或4=登B,因为三角形ABC为斜三角形，若A宁B,则4+B=受 2 2 C=至，不符合斜三角形，所以A-受+B,即A为施角，VABC为能角三角形，放人错误： 对于B,由正弦定理可得a三 cosBsin月'所以b=sinB anB,故B正确： cos B 对于C,由4+B+C=,4-受+B可得c-受-2，且Ce0,利，则8e0引 2 则 2tan B+tan C=2tan B+tan (282am+m2 tan2B -2tnB+I-tanBtnB+122 tan B.I =5, 2tan B 2 2tan B V2 2tan B 当且仅当mB= 时，即nB=5时，等号成立，故C正确： 1 tanB 3 对于D,由C可知4-号+B,C-号2B,则cos4+cosB+coC-snB+casB+sin2B, 1=血8-osa=ma引由8到可得8-受（小则sma-引（要 所以V5sinB-日e(-l0,故r∈(-Lo),且sin2B=2 sin BosB=1-6imB-cosB)P=1-1, 所以cosA+cosB+cosC=-t+1- =（当=时，取得最大值子 当1=0或-1时，最小值为1，所以1<c0sA+casB+C子，故D正确： 11.ACD 【详解】对于A设AB的中点为C,连接oC,A0,则oCLA,AC-BC-h=2V6。 答案第2页，共8页 所以0C=40-4C=V26-24=V2,所以点C在以0为圆心，反为半径的圆上. 所以点C到直线/的距离的最小值为吕-=4点，因为4N反>25，所以以8为直径的圆与直线/相离，所以入 正确， 对于B,如图，当直线AB与直线/平行，且O,C,P共线时，则aABP为等腰三角形， 此时CP=4W2,BC=2N6,∠APB=2∠CPB, 则tan∠CPB= BC_2W65、3 园-行是号，所以2CP8>若，所以∠4PB>骨所以B错误，中+100N 对于C,因为PaA=P0+OA,PB=P0+OB, PA-PB=(PO+0A)-(PO+0B)=FO+PO-(OA+OB)+0A-OB -PO+2PO-OC+cos L40B-PO+2FO-0C+(2c0OC-1), 因为or片=s5,所以而+2而.0c+o网o4as∠10c-) x+y+10=0 26+2xsis+20p层-0-0-226，言p,QCP失线且C在0P之 间时取等号，所以PAPB的最小值为8，所以C正确， 对于D,因为m=P0+0a丽=P0+o丽，所以p=P0+O+2P0.O,P丽-PO2+0丽+2P0.0, 所以P+PB2=2P6+0+0丽2+2P0-(OM+0B)=2P6+0+0B2+4P0.0C =2P02+4P0-0C+52≥2x52)2+4x55×5c0s452=2×50-50+52=112,当0P11,0,C,P共线，且C在 O,P之间时取等号，所以P+PB的最小值为112，所以D正确， 13.子1-04【详解】 AB AC AB AC 分别表示B与AC方向的单位向量，故 而园所在直线为∠BAC的平分线所 AB 在直线， AC 又 BC=O,故∠BAC的平分线与BC垂直，由三线合一得到AB=AC, 取BC的中点E,因为B-AC=C网=25，B+AC=2AE=4W2,故AE=2W2, 如图，以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则BN5,0以，C(5,0,A0,22,设D(2-m,2m,me[.2], 美丽c-%mja-2i2-25-a-号-子 答案第3页，共8页 当m=三时，D5DC取得最小值，最小值为-号 5 14. 306 2806075 【分析】甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2分，是甲得0分乙得2分、印得2分乙得0分两个互斥事件的和 事件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率加法公式解方程可求P的值：事件“梦队在比赛中得分不低 于6分”的概率，也转化为互斥事件的和事件，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可】 【详解】记事件A=“两人在自主传球环节得分之和为2分”，B,=“甲在自主传球环节得1分"(1=0,2)，C,=“乙在 自主传球环节得/分"(U=0,2),由题意可知，B与C,相互独立，且A=(B,C)U(B,C),事件B,C与B,C互斥， 故P(4=P(a,C)+PC)--p+P=品解得p= 记事件D=“梦队在比赛中得分不低于6分”，E=“甲在自主投篮环节得k分”(k=0,2),F=“乙在自主投篮环节 得1分”(1=0,2)，由题意可知B,C,E,F相互独立，则 D=(BECF(BE CF(BE CoF(BE C.F(B.ECF), 且事件BEC,F,B2ECE,B2ECF,BEC,F,BE,CF两两互斥，则 P(D)=P(BEC2F)+P(BEC2F)+P(B2ECoF)+P(BECF)+P(B2EC2F) =1x3x3x3+3x1×23x3+3x3x2x3+3x3x3x2+3x3x3x3-=243 =4*4×5×5+4x4x5×54*45*54*4*5*544*354001 15.【详解】(1)因为bsin C+asin A=bsin B+csinC 由正弦定理得bc+a2=b2+c2,则bc=b2+c2-a2 由余弦定理得csA+c口=批=，又Ae(0,,故4哥： (2)由v4BC的面积为S=bc血4=5e3 -,所以bc=6 2 4 2 由余弦定理：-宁因为=厅，所以公+cB 所以b+c=VB+c2+2bc=√13+12=5故VABC的周长为a+b+c=√7+5 16【详解】(1)设事件A=“甲第1局都获胜”，i=1,2,3,4,5,6,7. 由题意，事件A=234567刃相互独立，且P(4)-号P(冈-1号- 只需进行四局比赛包含两种情况：①甲能胜四局：AA,44:②乙连胜四局：AA24A。、 设事件M=“只需进行四局比赛”：则 Pw)-P(444A)+PA44-P()P(4)P(4)P()+P冈P④P国P(团-+周- 答案第4页，共8页 (2)俊事件N=“前两局比赛甲均售负，甲最终揄进转获得冠军” 由于宣两周比赛平均告负，所以提下来的比赛甲最多可以负一周，包含两种倩况： ①甲接下未速膽四局：A人人人： ③擅下宜互同比赛中甲4殷1负（负的一同为第3-6局中某一局）： 人风人人人，名人人人4人人人人人、人人内人为 所以，P(N=P(4人4人·人人入人人◆人人人人人*人人人人人·人人人人4) P)-P小+P6小=P小P)-+对瑞 所以，甲最终能逆转获得冠军的概率为12 243 17.(①)x-4)2+y2=16 (2)x=1或4x-3y-1=0. 【分析】(2)分直线斜率存在和不存在两种情况，利用乘径定理求出直线方程： (3)将号看作圆上一点与点6，-)连线的斜率，通过直线与圆的位置关系求出斜率的取值范围， 【详解】(1)设圆心AI的坐标为(a,0),已知圆M与直线3x-√万y+4=0相切于点0，√7)，则直线A0、(M0.√7)) 与直线3x-√7y+4=0垂直. 直线3x-+4=0的解率方，可得直线，的斜率，=厅-0.5 1-a3 即。-，解得a=4,所以圆心M4,0). 1-a3 圆M的半径r=√(4-1)+0-√)=√9+7=4.则圆M的标准方程为(x-4+y=16. (2)当直线/的斜率不存在时，直线1的方程为x=1,此时圆心M到直线1的距离d=4-1■3 根据垂径定理1PQ上2√P1-d=216-9=2√万，满足题意. 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=k(x-1),即c-y-k+1=0. 圆心4M40)到直线/的断高d=4秋-0-k+1_【3+1 W尺+1√k2+1 由壁住定理可得P02P-G=26-+=2万. 尺+1 即16-=7.0°-9.Q+-9w+0,解得k=号 +1 R+1 整案第5页，共8顶 则直线的方程为y-1=x-),即4x-3y-1-0. 综上，直线I的一般式方程为x=1或4x-3y-1=0. (3)设+5=k,则y+5=x-5.即：-y--5=0. x-5 号的几何意义是圆M上的点4x)与点B(5,-)连线的斜率当直线：-y-5-5=0与圆M相切时，圆心 M4.0)到直线的距离d-14-=05t-51=,=4.即15R-10k-9=0. √k2+1 上10±0+西.生由图形知道，所以兰的取值范围是(。5-4 30 15 18.【详解】(1)因为在Rt△ABC中，∠C=90°，DE∥BC,且BC⊥CD, 所以DE LCD,DE LAD,则折叠后，DE⊥AD, 又ADOCD=D,AD.CDc平面ACD, 所以DE⊥平面ACD,ACC平面ACD,所以DB⊥AC, 又已知AC⊥CD,CD∩DE=D凡都在面BCDE内，所以AC⊥平面BCDE: (2)由(1)，以CD为x轴，CB为y轴，CA为：轴，建立空间直角坐标系C-c. B 因为AD=2CD,故DB-2BC=2, 由几何关系可知，CD-2,AD=4,AC=25. 故C(0,0,0).D(2,0.0).E(2,2,0).B(0.3.0).(0.0.2.M(L0.月. a-(1.0,月，AB-(0,3,-25)，4E-(22-23 设平面4BB的法向量为片-(6列，则0， 3y-25z=0 (n4E=0'即 2x+2y-23:=0 不妨令y=2,则z=5,x=1,i-（1,2,5): 设CM与平面ABE所成角的大小为O. 答案第6页，共8页 则有si血9=os(CM, Cw列4互 CM同2x2W22 设0为CM与平面45所成角，故0-骨 即CM与平面4B5所成角的大小为子 (3)假设在线段4C上存在点N,使平面CBM与平面BMN成角余弦值为5 在空间直角坐标系中，BM=(1,-3,√3)，CM=(L,0,V5),CA=(0,0,2N5), 设Cm=C4,则C=(0,0,25),B丽=BC+CN=(0,-3,0)+(0,0,25)=(0,-3,25), n2·BM=0。 设平面BN的法向量为=(，y,2),则 (·丽=0'即 s-3y+V322=0 -3y2+2N3z2=0 不妨令石2=V5,则y=21,名=61-3，所以万=(62-3,2入，3， 设平面CBM的法向量为乃=(3，，3)，则有 5m=0即5-3%+56=0 zCM=0'x+5z,=0 不妨令马=√5，则x3=-3,为=0，所以m=(-3.0., 若平面CBM与平面BAN成角余弦值为 4 西 则满足cos(,乃) 9-182+3 阿2W5×V922-)2+422+34' 化简得2-3以+1=0，解得2=1或宁，即-网或0-号C可， 故在线段AC上存在这样的点N,使平面CBM与平面BMW成角余弦值为 d .此时Cw的长度为5或2V5, 19.(1)①16：②8√5 (2)B<B<B 【分析】(1)由tanB=3tanA得bcos A=3a-cosB,由余弦定理得2a2-2b2+c2=0,①当a=4时，c2=2b2-32, 由余弦定理即可求解：②当b=4时，22+c2=32,利用均值不等式即可求解： (2)先证AC⊥BC,AC⊥PC,由面面垂直的性质定理得PC⊥CD,PC⊥AD,即可求R,由面面垂直判定定理得 平面PCD⊥平面ACD,平面APD⊥平面ACP,进而求得P, 同理求得乃，即可求解。 【详解】(1)：tamB=3 tan.sinB-3si4 ,由正弦定理得bcos A=3 a-cos B, cosB cosA 由余弦定理得6.62+c2-口 =3a.g+c2-b ,化简得：2a2-2b2+c2=0, 2bc 2ac ①当a=4时，c2=2b2-32, 答案第7页，共8页 e-2ac 82 82b2-32 c0sBa2+c-6=16+c2-b16+2b2-32-B 6 ②当b=4时，2a2+c2=32≥2-V2a2.c2, ac≤82当且仅当 c=2a>0 a=25时取等号， 2a2+c2=32c=4 ∴ac的最大值为8√2. 2)由B=2c=4,∠48c=骨 由余弦定理得AC2=4B2+BC2-2AB-BCeos∠ABC=16+4-2x4×2x=12, 2 即AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,AC⊥PC, 又平面APC⊥平面ACD,平面APC∩平面ACD=AC, 所以PC⊥平面ACD,义CD,DAC平面ACD,所以PC⊥CD,PC⊥AD, 所以在四面体PACD中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： PC⊥AC,PC⊥CD,PC⊥AD,AP⊥AD,AC⊥AD, 故月=名- 由PC⊥平面ACD,PCc平面PCD,所以平面PCD⊥平面ACD, 又AD⊥AC,平面PAC∩平面ACD=AC, 所以AD⊥平面PAC,又ADC平面ADP,所以平面APD⊥平面ACP, 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面PAC⊥平面ACD,平面PCD⊥平面ACD,平面APD⊥平面ACP, 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面APC和棱AD,平面ACD和棱PC,故B=是-名 所以乃<R<B 答案第8页，共8页