精品解析： 辽宁省抚顺市新宾县2021-2022学年九年级上学期教学质量检测（三）数学试题

九年级数学试卷 考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分150分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处． 每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是方式方程，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程，故本选项不符合题意； C、化简可得6x-3=0，是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 在下列四个图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴与中心对称图形:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.对各选项进行一一分析判定即可求解． 【详解】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是2 B. 买一张电影票座位号是奇数 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接利用随机事件以及必然事件的定义分别进行分析判断即可． 【详解】解：A、掷一次般子，向上一面的点数是2，是随机事件，不合题意； B、买一张电影票座位号是奇数，是随机事件，不合题意； C、菱形的对角线互相垂直，是必然事件，符合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查随机事件以及必然事件，熟练掌握相关定义是解题的关键． 4. 掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），时间确定了则概率是不变的，而频率是改变的，根据此特点可得答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是. 故选C． 【点睛】本题考查概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）． 5. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0， ∴﹣＞0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴， 故选C． 【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 若关于x的方程x2+x﹣m+＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤2 C. m＞2 D. m＜2 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围． 【详解】∵关于x的方程x2+x﹣m+＝0有实数根， ∴△=12﹣4≥0， ∴m≥2． 故选A． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 7. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，再展开整理即可． 【详解】抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 平移后的抛物线顶点坐标为(1,3)， 平移后抛物线的表达式． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=70°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△ADE，使得点D落在BC边上，过点E的直线l∥BC，则∠1=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AB=AD，∠ACB=∠AED=20°，∠B=∠ADE=70°，由平行线的性质可求解． 【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=70°， ∴∠ACB=20°， ∵将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△ADE， ∴AB=AD，∠ACB=∠AED=20°，∠B=∠ADE=70°， ∴∠ABD=∠ADB=70°， ∴∠EDC=40°， ∵直线l∥BC， ∴∠EDC=∠1+∠AED=40°， ∴∠1=20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=25°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数． 【详解】解：在⊙O中，∠CBD=25°， ∴∠CAD=25°， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠CAD=50°， ∴∠EBC+∠ECB=（180°-50°）÷2=65°， ∴∠BEC=180°-65°=115°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数． 10. 如图，抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得，，，抛物线与x轴的交点为（-1，2），（2，0），根据这些条件可判断①②；由得到，可判断③；由可得，进而判断④；可判断⑤． 【详解】开口向上 图象与y轴交于负半轴 对称轴为直线 故②正确； 故①正确； 当时， 故③不正确； 对称轴为直线 抛物线与x轴的交点为（-1，0），（2，0） 无论，，取何值，抛物线一定经过 故④正确； 故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点并能够从图象中获取信息是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一元二次方程的根为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心距，半径之间的关系判断解答即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键． 【详解】解：的半径R为3，圆心O到直线l的距离d为2， 故， 故直线l与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则____． 【答案】2020 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2，将其代入m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）中即可求出结论． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程x2＋2x−2022＝0的两个实数根， ∴m2＋2m＝2022，m＋n＝−2， ∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋（m＋n）＝2022＋（−2）＝2020． 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系得出m2＋2m＝2022，m＋n＝−2是解题的关键． 14. 在如图所示的同心圆组成的盘面上投掷飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转的性质和概率公式即可求得答案． 【详解】由图形知，旋转后阴影部分占圆面积的一半，则飞镖落在阴影区域的概率是 故答案为： 【点睛】本题考查了几何概率的知识，关键是了解阴影部分占圆面积的一半，属于基础题． 15. 如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________． 【答案】90π 【解析】 【分析】运用公式s=πrl（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求得侧面积，然后加上底面积即可求得全面积． 【详解】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5， ∴圆锥的侧面积是s=πrl=5×13×π=65π， 底面积是πr2=52π=25π， ∴全面积为65π+25π=90π， 故答案为：90π． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积与的面积计算，要学会灵活的运用公式求解． 16. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛． 【答案】6 【解析】 【详解】设应邀请x个队参加比赛， 由题意则有：x(x-1)=15， 解得x=6或x=-5(不合题意，舍去）， 故应邀请6个队参加比赛． 故答案为：6． 【点睛】考点：一元二次方程的应用． 17. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 【答案】1 【解析】 【分析】取AC的中点G，根据等边三角形的性质可得CD=CG，根据旋转的性质可得CE=CF，再求出∠DCE=∠GCF，然后利用“边角边”证明△DCE和△GCF全等，推出∠FGC＝∠EDC＝90°，得到点F在直线BG上运动，作DH⊥BG， DF的最小值即为DH． 【详解】解：取AC的中点G，则CG＝CD， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠GCF， 在△CDE和△CGF中， ， ∴△CDE≌△CGF（SAS）， ∴∠FGC＝∠EDC＝90°， ∴点F在直线BG上运动， 作DH⊥BG， DF的最小值即为DH， ∵BD2，， ∴DH＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，找出点F的运动轨迹是解题的关键． 18. 如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论： ①； ②； ③线段EF的最小值为； ④当时，与半圆相切； ⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是． 其中正确的结论的序号为______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①由对称证明出，得到只有当时，；②由点E与点D关于对称可得，再根据即可证到；③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值；④连接，易证是等边三角形，，根据等腰三角形的“三线合一”可求出，进而可求出，从而得到与半圆相切；首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：①连接，如图1所示． ∵点E与点D关于对称， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 只有当时，，故①错误； ②又∵， ∴， ∴．故②正确； ③当时，如图2所示． ∵是半圆的直径 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段上运动时，的最小值为． ∵， ∴． ∴线段的最小值为．故③正确； ④当时，连接，如图3所示， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵经过半径的外端，且， ∴与半圆相切．故④正确； ⑤∵点D与点E关于对称， 点D与点F关于对称， ∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径与关于对称，点F的运动路径与关于对称． ∴扫过的图形就是图5中阴影部分． ∴．故⑤错误． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第五个问题解题的关键是通过特殊点探究的运动轨迹，属于中考压轴题． 三、解答题（19题10分，20题12分，共22分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 ， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 ， 解：∵a=1，b=﹣3，c=－2， ∴=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=17， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）将以为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出坐标________，________，________； （2）画出关于原点对称的，并直接写出坐标________，________，________； （3）若内有一点，经过上面两次变换后点在中的对应点为，请直接写出点的坐标________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）作图见解析，A1（-4，2），B1（-2，1），C1（-1，5） （2）作图见解析，A2（4，-2），B2（2，-1），C2（1，-5） （3）P2（b，-a） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，画出对应的三角形，如图1，然后求出各点坐标即可； （2）根据中心对称的性质，找出对应的点坐标，然后描点，依次连接即可，如图1； （3）根据坐标的变化，即 、、 ，可知坐标的变化，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，△A1B1C1即为所作， 由图象可知A1（-4，2），B1（-2，1），C1（-1，5）； 故答案为：（-4，2）；（-2，1）；（-1，5）． 【小问2详解】 解：由中心对称的性质可得A2（4，-2），B2（2，-1），C2（1，-5）； 如图1，△A2B2C2即为所作， 故答案为：（4，-2）；（2，-1）；（1，-5）． 【小问3详解】 解：根据坐标变化，即 、、 可知坐标的变化，即 、、 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转图形、中心对称图形，点坐标的变换．解题的关键在于明确旋转与中心对称的性质． 四、解答题（21题12分，22题12分， 共24分） 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出了一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图D分数段对应的扇形圆心角为，请你根据图中信息解答下列问题： 统计表 分段 成绩范围 频数 频率 0.1 20 0.3 70分以下 10 注：表示成绩，满足，以下相同． （1）在统计表中，　 　，　　，　　； （2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数； （3）若统计表A分数段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）5，0.4，15 （2）200人 （3） 【解析】 【分析】此题考查的是列表法求概率以及频数分布表和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）求出随机抽取的人数，即可解决问题； （2）求出该年级成绩在90分及以上的学生人数所占的比例，即可求解； （3）列表得出共有20种得可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有12种可能，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 随机抽取的人数为：（人， ，，， 故答案为：5，0.4，15； 【小问2详解】 由题意得，成绩在之间的人数为5， ， ， 估计该年级90分及以上的学生人数为200人； 【小问3详解】 由（1）可知段共有5人， 男生比女生少1人， 有男生2人，女生3人， 记2名男生分别为男，男；3名女生分别为女，女，女． 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男 （男，女 （男，女 （男，女 男 （男，男 （男，女 （男，女 （男，女 女 （女，男 （女，男 （女，女 （女，女 女 （女，男 （女，男 （女，女 （女，女 女 （女，男 （女，男 （女，女 （女，女 共有20种得可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有12种可能， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）． （1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长； （2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值． 【答案】（1）5cm；（2）最大值是800cm2． 【解析】 【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为x cm，则AB=（40-2x）cm，根据盒子的底面积为484cm2，列方程解出即可； （2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，侧面积=4个长方形面积；则y=-8x2+160x，配方求最值． 【详解】（1）设剪掉正方形的边长为x cm， 则（40﹣2x）2＝900， 即40﹣2x＝±30， 解得x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5； 答：剪掉的正方形边长为5cm； （2）设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2， 则y与x的函数关系式为y＝4（40﹣2x）x， 即y＝﹣8x2+160x， y＝﹣8（x﹣10）2+800， ∵﹣8＜0， ∴y有最大值， ∴当x＝10时，y最大＝800； 答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的最值问题，根据几何图形理解如何建立一元二次方程和函数关系式是解题的关键；明确正方形面积=边长×边长，长方形面积=长×宽；理解长方体盒子的底面是哪个长方形；解题时应该注意如何利用配方法求函数的最大值． 五、解答题（本题12分） 23. 如图，是的内接三角形，是的直径，点D在上，且，过点D作的垂线与的延长线交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先证明，则，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）过点O作于F，如图，设的半径为r，先证明四边形是矩形，则，再利用勾股定理得到．然后解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 过点O作于F，如图，设的半径为r． ∴， ∵于点E， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴ ． 解得． 答：的半径是5． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 六、解答题（本题12分） 24. 经研究表明，某市跨河大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，函数图象如图所示. （1）当时，关于的函数表达式是______； （2）求车流量（单位：辆/时）与车流密度之间的函数关系式；（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度） （3）若车流速度不低于50千米/时，求当车流密度为多少时，车流量达到最大，并求出这一最大值. 【答案】（1） （2） （3）当时，取得最大为4400 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，以及求一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． （1）根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意即可求得函数的解析式； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设，把和代入得： ，解得， ∴； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 所以； 【小问3详解】 当时，包含，由函数图象可知， 当时，，此时，随的增大而增大， 当. 时，； 由题意得，，解得：， 又，开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而增大， 即当时，取得最大值， 故， ， 所以当时，取得最大为4400． 七、解答题（本题12分） 25. 如图，中，，垂足为B，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转60°，得到线段，连接，直线与直线相交于点F． （1）连接，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）若，请直接写出线段长． 【答案】（1），理由见解析 （2）FE=FD，理由见解析 （3）或2 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得到； （2）过点D作过点D作，交于H，利用证明，得，由（1）知，从而证明，进一步证明从而解决问题； （3）分点F在A下方和上方两种情形，由（2）知，则，过点D作于G，利用含30°角的直角三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵绕点C逆时针旋转60°，得到线段， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点D作，交于H， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点F在线段上时，由（2）知， ∴， 过点D作于G， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上时， 同理可得，则， 综上：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 八、解答题（本题14分） 26. 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点在抛物线的对称轴上，连接，将线段以点为旋转中心顺时针旋转，得到线段，当点落在抛物线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴与直线相交于点，于轴交于点，点在直线上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3； （2）D（1，1）或D（1，-2） （3）存在，H的坐标为（，）或（，）或（2，3）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x=1，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+k，根据抛物线经过点B（3，0）和点C（0，3），用待定系数法即可解得y=-x2+2x+3； （2）过点E作EM⊥对称轴，垂足为M，对称轴交x轴相交于点N，证明△AND≌△DME（AAS），可得AN=DM，DN=ME，设点D的坐标为（1，m）得E（1-m，2+m），代入y=-x2+2x+3上，即可解得，m1=1，m2=-2，故D（1，1）或D（1，-2）； （3）求出E（1，2），F（1，0），设G（n，-n+3），H（t，-t2+2t+3），分三种情况：①以EF、GH为对角线，②以EG、FH为对角线，③以EH、FG为对角线，分别列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+k， ∵抛物线经过点B（3，0）和点C（0，3），代入y=a（x-1）2+k， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3； 【小问2详解】 解：过点E作EM⊥对称轴，垂足为M，对称轴交x轴相交于点N，如图： 在y=-x2+2x+3中令y=0得x=-1或x=3， ∴A（-1，0）， 由已知得：AD=DE，∠ADE=90°，∠AND=∠DME=90°， ∴∠NDA+∠MDE=90°， 在Rt△AND中，∠NDA+∠NAD=90°， ∴∠NAD=∠MDE， ∴△AND≌△DME（AAS）， ∴AN=DM，DN=ME， 设点D的坐标为（1，m）， ∴AN=DM=2，DN=ME=-m， ∴E（1-m，2+m）， ∵点E落在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴2+m=-（1-m）2+2（1-m）+3，即m2+m-2=0， 解得，m1=1，m2=-2， ∴D（1，1）或D（1，-2）； 【小问3详解】 解：存在以E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形．理由如下： 由点B（3，0）和点C（0，3） 设BC解析式为，代入坐标得： ， 解得， 直线BC解析式为y=-x+3， 在y=-x+3中令x=1得y=2， ∴E（1，2）， 对称轴直线x=1与x轴交点F（1，0）， 设G（n，-n+3），H（t，-t2+2t+3）， ①以EF、GH为对角线，则EF、GH的中点重合， ∴， 解得t=或t=； ∴H（，）或（，）； ②以EG、FH为对角线， ∴， 解得t=1（此时G与E重合，舍去）或t=2， ∴H（2，3）， ③以EH、FG为对角线， ∴， 解得t=或t=； ∴H（，）或（，）； 综上所述，H的坐标为（，）或（，）或（2，3）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质、平行四边形等知识，解题的关键是根据平行四边形对角线互相平分列方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分150分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处． 每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列四个图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是2 B. 买一张电影票座位号是奇数 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4. 掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（　　） A. 1 B. C. D. 0 5. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程x2+x﹣m+＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤2 C. m＞2 D. m＜2 7. 把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=70°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△ADE，使得点D落在BC边上，过点E的直线l∥BC，则∠1=（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 一元二次方程的根为________________． 12. 若半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是______． 13. 设分别为一元二次方程的两个实数根，则____． 14. 在如图所示的同心圆组成的盘面上投掷飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是________． 15. 如图，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，将△BOC绕边OC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的全面积是________． 16. 要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛． 17. 如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ___． 18. 如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F．下列结论： ①； ②； ③线段EF的最小值为； ④当时，与半圆相切； ⑤当点D从点A运动到点B时，线段扫过的面积是． 其中正确的结论的序号为______． 三、解答题（19题10分，20题12分，共22分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）将以为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出坐标________，________，________； （2）画出关于原点对称的，并直接写出坐标________，________，________； （3）若内有一点，经过上面两次变换后点在中的对应点为，请直接写出点的坐标________．（用含，的代数式表示） 四、解答题（21题12分，22题12分， 共24分） 21. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出了一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图D分数段对应的扇形圆心角为，请你根据图中信息解答下列问题： 统计表 分段 成绩范围 频数 频率 0.1 20 0.3 70分以下 10 注：表示成绩，满足，以下相同． （1）在统计表中，　 　，　　，　　； （2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数； （3）若统计表A分数段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 如图，将边长为40cm正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）． （1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长； （2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值． 五、解答题（本题12分） 23. 如图，是的内接三角形，是的直径，点D在上，且，过点D作的垂线与的延长线交于点E． （1）求证：是切线； （2）若，求的半径． 六、解答题（本题12分） 24. 经研究表明，某市跨河大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，函数图象如图所示. （1）当时，关于的函数表达式是______； （2）求车流量（单位：辆/时）与车流密度之间函数关系式；（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度） （3）若车流速度不低于50千米/时，求当车流密度为多少时，车流量达到最大，并求出这一最大值. 七、解答题（本题12分） 25. 如图，中，，垂足为B，点D在直线上，连接，将线段绕点C逆时针旋转60°，得到线段，连接，直线与直线相交于点F． （1）连接，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）若，请直接写出线段的长． 八、解答题（本题14分） 26. 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点在抛物线的对称轴上，连接，将线段以点为旋转中心顺时针旋转，得到线段，当点落在抛物线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴与直线相交于点，于轴交于点，点在直线上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $