九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷（人教版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【人教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：一元二次方程~二次函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 5．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （    ） A．741 B．600 C．465 D．300 6．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（3分）（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 13．（3分）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 15．（3分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 16．（3分）（2025·四川成都·二模）已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 18．（6分）（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 19．（8分）（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 20．（8分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 23．（12分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 3．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 4．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，解一元二次不等式等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想找出临界位置． 先求出平移后的抛物线解析式，联立求出交点坐标，再根据交点的位置进行分析即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度， 则， 即， 联立， 解得：， ∴两个抛物线的交点记为， 如图，当点在轴下方时，不符合题意； 只有当交点在轴上或在轴上方时，符合题意，如图： ∴， 解得：， ∴实数的最大值为， 故选：C． 5．（3分）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （    ） A．741 B．600 C．465 D．300 【答案】B 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断． 【详解】解：通过观察图形可知： 第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点， 则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点， 前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点， 前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点， 其中n为正整数， ∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=600时，解得： （舍）， 当n（n＋1）=465时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=300时，解得：（舍），， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 6．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 7．（3分）（2025·辽宁铁岭·二模）已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可． 【详解】解：∵， 解得或， ∵点，在抛物线上，且， ∴是方程的两个根， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解析式与不等式的关系，根与系数关系定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（3分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当分别在对称轴两侧时， ∵ ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故选：B． 9．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 10．（3分）（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，求出，将点C沿y轴向下平移2个单位，得到点D，连接，，证得四边形是平行四边形，于是可得，于是得到，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A，B， 当时，得：， 解得：， ，， ， ， ， 点C沿y轴向下平移2个单位得到点D，如图，连接，， 线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方）， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当D、Q、B三点共线，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， 由平移的性质可得：点D的纵坐标， ， 设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ， 故选：B． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与y轴的交点坐标，求抛物线与x轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴k的最小正整数值是2． 故答案为：2． 12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 13．（3分）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解． 【详解】解：， 整理得：， 方程的解是，， 方程的解是，， 解得：，． 故答案为：， ． 14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 15．（3分）（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 【答案】15 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解． 运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解． 【详解】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根， ∴ ， 关于的二次函数的图象在x轴上方， ， 解得， 直线与轴交于，与轴交于， ，， ， 且， ，故 ， 的面积为整数值的三角形个数有15个， 故答案为：15． 16．（3分）（2025·四川成都·二模）已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得，再根据对称性可得，进而得到直线上纵坐标为t的点的横坐标为；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：∵，顶点的坐标为， ∴， ∴； ∴ ∵设点所在的定直线为， ∴直线解析式， ∵点A在二次函数图象上， ∴， ∵A，B两点纵坐标相同， ∴A，B两点关于对称轴对称， ∴则， ∵直线解析式， ∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为， ∵线段与定直线没有公共点， ∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：； 当点A在店B的左侧时，即，有，解得：． 综上，m的取值范围为或． 故答案为：，或． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 18．（6分）（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)经过或后、两点之间的距离是 (2)经过秒或秒的面积为． 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 20．（8分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，    平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)；；； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 23．（12分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 24．（12分）（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $