10.2 实数课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版·八年级数学上册 授课老师：王老师 第10章 数的开方 10.2 实数 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 1 新课导入 利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？ 发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 除了有限小数和无限循环小数，还有什么其它类型的小数吗？ 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 做一做 2. 利用平方运算验算第 1 题中所得的结果. 1. 用计算器求 . 用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这是因为计算器求得的只是的近似值. 探究新知 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 用计算机计算 ，你会发现： 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835… 在数学上已经得知，没有一个有理数的平方等于 2，也就是说， 不是一个有理数. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 那么， 是怎样的数呢？ 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，也就是有限小数或者无限循环小数，例如： 不是一个有理数，它是一个无限不循环小数. 类似地， 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 探究新知 无限不循环的小数叫做无理数. 无理数也像有理数一样广泛存在着. 有理数和无理数统称为实数. 你能举几个无理数的例子吗？ 概括 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 实数的分类： 实数 有理数 分数 整数 正整数 0 负整数 自然数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 有限小数及无限循环小数 无限不循环小数 （1）含π的数； （2）开方开不尽的数； （3）有规律但不循环的无限小数. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 也可以这样来分类： 实数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 1.判断下列的说法是否正确？ (1)实数不是有理数就是无理数. （ ） (2)无理数都是无限不循环小数. （ ） (3)无理数都是无限小数. （ ） (4)带根号的数都是无理数. （ ） (5)无理数一定都带根号. （ ） (6)两个无理数之积不一定是无理数. （ ） (7)两个无理数之和一定是无理数. （ ） √ √ √ × × √ × 针对训练 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 有理数集合 无理数集合 0.315 4.96 3.14159 -5.2323332… 123456789101112… 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 试一试 思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？ 无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 你能在数轴上找到表示 的点吗？ 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 . 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示. 发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示. 概括 实数与数轴上的点一一对应. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小. （用“＜”号连接） 解: 如图所示. －2 1.5 针对训练 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如： 与 互为相反数 与 互为倒数 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行. 试比较与 π 的大小. 解：用计算器求得 ≈3.14626437 而 π≈3.141592654， 因此＞π 例1 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 计算： （精确到0.01） 解： 于是 取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位. 例2 注：由于 ，所以 原式 由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 实数a在数轴上的位置如图： 化简：|a-1|+ = ______. 1 针对训练 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 随堂练习 1.下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数. 解：(1)不正确.如分数 ，是无限循环小数，是有理数. (2)正确. 【选自教材P12练习 第1题】 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 2.计算： （精确到0.01） 解： 【选自教材P12练习 第2题】 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 3.比较下列各对数的大小： (1) 和 ； (2) 和 . 解：(1)因为 而12＜18， 所以 (2)因为 ，而1.323＞1.047， 所以-1.323＜-1.047，即 【选自教材P12练习 第3题】 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 4.比较 与 的大小. 解：因为 故 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 课堂小结 实数 概念：有理数和无理数统称实数. 实数的分类： 实数与数轴上的点的关系：一一对应 实数的大小比较与运算 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 课后作业 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题. 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 感谢聆听 2025-2026学年八年级上册数学华东师大版上课课件 第10章 数的开方 10.2 实数 一、教学目标 了解实数的意义：学生能够理解实数的概念，知道有理数和无理数统称为实数。 能对实数按要求分类：学生能够根据实数的定义和性质，对实数进行正确的分类。 掌握数轴与实数的一一对应关系：学生能够理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，并能用数轴上的点表示无理数。 二、教学内容 1. 无理数的概念与性质 定义：无限不循环小数叫做无理数。 判断标准：小数位数无限，且小数形式为不循环。 三种常见形式： 开方开不尽的数，如 3 ​ 、 5 ​ 等。 含有π的一类数，如 π 、 2π 、 π+1 等。 以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0.1010010001... （每相邻两个1之间依次多一个0）。 与有理数的区别： 有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数。 所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 2. 实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 按定义分： 有理数：整数、分数（有限小数或无限循环小数）。 无理数：无限不循环小数。 按正负性分： 正实数：正有理数、正无理数。 0。 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴的关系 一一对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 数轴上的每一个点都表示一个实数。 数轴上两点间的距离：若点A、点B在数轴上表示的数分别为 x 1 ​ 、 x 2 ​ ，则 AB=∣x 1 ​ −x 2 ​ ∣ 。 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 4. 实数的运算 运算法则：在实数范围内，有理数的运算法则及运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 同级运算从左到右依次计算。 有括号先算括号里面的。 估算意识：在涉及无理数的大小比较和运算时，通常可以取它们的近似值来进行。取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位。 三、教学重点与难点 教学重点： 实数的概念与分类。 实数与数轴的一一对应关系。 实数的运算法则及运算律。 教学难点： 无理数的识别与判断。 利用数轴表示无理数并比较实数的大小。 涉及无理数的估算与运算。 四、教学方法与手段 教学方法：采用情境导入、问题导向、例题讲解、巩固练习等多种教学方法，激发学生的学习兴趣和积极性。 教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学手段，直观展示实数的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握。 五、教学案例 案例一：无理数的识别 题目：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14159 ， − 8 ​ ， 0.131131113... （每相邻两个3之间依次多一个1）， π−5 ， 2 ​ +1 ， − 2 27 ​ 。 解析： 3.14159 是有限小数，因此是有理数。 − 8 ​ =−2 2 ​ ， 2 ​ 是无理数，因此 − 8 ​ 也是无理数。 0.131131113... 是无限不循环小数，因此是无理数。 π 是无理数，因此 π−5 也是无理数。 2 ​ 是无理数，因此 2 ​ +1 也是无理数。 − 2 27 ​ 是分数，因此是有理数。 案例二：实数在数轴上的表示 题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”号连接： − 2 ​ ， 0 ， 3 ​ ， 2.5 。 解析： 首先，在数轴上找到表示 0 的点。 然后，根据 2 ​ 和 3 ​ 的近似值（如 2 ​ ≈1.414 ， 3 ​ ≈1.732 ），在数轴上找到表示 − 2 ​ 和 3 ​ 的点。 最后，找到表示 2.5 的点。 根据数轴上的位置关系，用“<”号连接这些数： − 2 ​ <0< 3 ​ <2.5 。 案例三：实数的运算 题目：计算： 16 ​ − 3 −27 ​ +∣ 2 ​ −2∣ 。 解析： 首先计算平方根和立方根： 16 ​ =4 ， 3 −27 ​ =−3 。 然后计算绝对值： ∣ 2 ​ −2∣=2− 2 ​ （因为 2 ​ <2 ）。 最后进行加减运算： 4−(−3)+(2− 2 ​ )=4+3+2− 2 ​ =9− 2 ​ 。 $