专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 2 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 3 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 4 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 5 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 6 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 7 【题型7 集合新定义中的含参问题】 8 知识点1 集合中的含参问题 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 知识点2 集合中含参问题的常见类型及其解题策略 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的基本运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 7．（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 8．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 11．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 12．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 15．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 16．（25-26高一上·广东广州·期末）设，若集合，则 ． 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 18．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ） A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 20．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 21．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 22．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是 . 23．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 25．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，．若，则（    ） A．4 B．2或2 C．2 D．2 26．（24-25高三下·河南·阶段练习）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 28．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 ． 29．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 30．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）已知集合，. (1)当时，求； (2)在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 34．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 35．（24-25高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 36．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【题型7 集合新定义中的含参问题】 37．（2025高三·全国·专题练习）若集合M满足任意a，，都有，则称M是“可分比”集合.若集合A，B均为“可分比”集合，且，则正整数n的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 38．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 39．（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 40．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 41．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 42．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 集合中必考七大含参问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 2 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 5 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 7 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 10 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 13 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 15 【题型7 集合新定义中的含参问题】 18 知识点1 集合中的含参问题 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 知识点2 集合中含参问题的常见类型及其解题策略 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的基本运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【题型1 集合中元素个数的含参问题】 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【解答过程】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【解答过程】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【解题思路】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【解答过程】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【解答过程】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【解题思路】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解答过程】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【题型2 元素与集合关系中的含参问题】 7．（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．1或4 D．4 【答案】C 【解题思路】根据元素与集合的关系、集合元素的互异性求得. 【解答过程】由于，所以或， 解得或， 当时，；当时，. 所以的值是或. 故选：C. 8．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【解答过程】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 9．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得. 【解答过程】因为且，所以，解得. 故选：A． 10．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 【答案】 【解题思路】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【解答过程】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为：. 11．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【解答过程】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 12．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 【题型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合相等得，解方程即可求解. 【解答过程】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合相等列式求值并验证得解. 【解答过程】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A. 15．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【解答过程】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C. 16．（25-26高一上·广东广州·期末）设，若集合，则 ． 【答案】0 【解题思路】根据两集合的元素相同求出，进而可得答案. 【解答过程】由易知，，由两个集合相等定义可知： 若，得，经验证，符合题意； 若，由于，则方程组无解. 综上可知，，，所以． 故答案为：. 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【解题思路】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【解答过程】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 18．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 【题型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ） A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【解题思路】因为，所以．逐一令解方程，注意检验元素的互异性即可. 【解答过程】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 20．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知集合，，且，则实数（   ） A． B． C．±3 D．或 【答案】A 【解题思路】由已知可得，列方程求，结合元素的互异性排除不满足条件的值. 【解答过程】因为，且的元素个数相等， 所以，所以， 解得或， 当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，，满足条件. 故选：A. 21．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据，列不等式组，求解即可. 【解答过程】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C. 22．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】分类讨论以确定集合是否是空集，再根据从而解得的取值范围． 【解答过程】当时，集合满足； 当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为； 综上，当时，实数的取值范围为． 故答案为：. 23．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【解答过程】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【题型5 集合的基本运算中的含参问题】 25．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，．若，则（    ） A．4 B．2或2 C．2 D．2 【答案】C 【解题思路】根据交集结果求参数值即可. 【解答过程】因为,，，所以 若，则，，与题意不符， 所以，则，经验证，此时满足题意. 故选：C. 26．（24-25高三下·河南·阶段练习）设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别讨论和的情况，结合并集结果可确定结果. 【解答过程】若，则，此时，，则，不合题意； 若，则或， 当时，，，则，不合题意； 当时，，，则，符合题意； 根据集合元素间的互异性可知， 综上所述：. 故选：A. 27．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，若，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由，可得，，故，从而求出的值即可. 【解答过程】由可得，，故， ，解得， 故选：C. 28．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 ． 【答案】或 【解题思路】根据交集运算得出，，根据方程求解即可. 【解答过程】因为的解集为，所以， 又，所以，，所以，， 所以，，解得或. 故答案为：或. 29．（25-26高一上·全国·单元测试）设全集，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用子集概念来确定参数满足的条件即可求解； （2）利用分类讨论，子集有可能是空集和非空集，然后进行列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 又， 所以，解得，所以的取值范围是． （2）因为，所以． 若，则，可得，满足； 若，要使，则，不等式组无解． 综上，的取值范围是． 30．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）已知集合，. (1)当时，求； (2)在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）先写出集合，然后根据并集的定义即可求得； （2）若选①，得到，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可；若选②，根据集合的关系列出不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 又， 所以. （2）若选择①，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 若选择②， 因为，所以， 又， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【题型6 交并补集混合运算中的含参问题】 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据求得的取值范围. 【解答过程】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 32．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 33．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【解答过程】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 34．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知集合，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】确定，结合，即可求解. 【解答过程】， 所以或，又 所以， 故答案为：. 35．（24-25高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以 ， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 36．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 【题型7 集合新定义中的含参问题】 37．（2025高三·全国·专题练习）若集合M满足任意a，，都有，则称M是“可分比”集合.若集合A，B均为“可分比”集合，且，则正整数n的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【解答过程】取，，满足题意，此时； 若，不妨设， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 38．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 【答案】D 【解题思路】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【解答过程】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 39．（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】根据题意，首先分析出集合的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对的把握，即可得答案． 【解答过程】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 40．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 【答案】14 【解题思路】根据新定义列不等式组求解即可. 【解答过程】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 41．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为，且．类似的，对于集合，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此回答下列问题： (1)若，，求； (2)在下列各图中用阴影表示集合；    (3)若集合，集合，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或或 【解题思路】（1）根据差集的概念直接写答案即可； （2）将集合中的部分去掉涂色即可； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【解答过程】（1），， 根据差集概念，. （2）将集合中的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：    （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是或或. 42．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 【答案】(1)有，，； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合； （2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值； （3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值. 【解答过程】（1）对于集合，，，， 所以具有“对称”性质，且对称集合为，； 对于集合，，，， 所以不具有对称性． （2）因，故或，于是2、3、4、、、， 0、1、、，因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又，故． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $