专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合中元素的个数问题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合B中有 个元素． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 5．（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 题型2 元素与集合关系中的参数问题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 9．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 10．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 13．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 14．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 15．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 题型4 集合间的关系中的参数问题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 17．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 20．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 题型5 集合的交、并、补集运算 21．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 24．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 25．（24-25高一上·天津·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求； (3)求. 题型6 Venn图表达集合的关系和运算 26．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    29．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 30．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 题型7 容斥原理的应用 31．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 32．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 33．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 34．（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 35．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 题型8 集合的基本运算中的参数问题 36．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C．或 D． 37．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 38．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 39．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 40．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 题型9 集合中的结构不良题 41．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）已知集合，. (1)当时，求； (2)在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 42．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 43．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 题型10 集合中的新定义问题 46．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 47．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 48．（24-25高一上·四川·期中）对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则 ． 49．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 50．（24-25高一上·北京·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 集合中元素的个数问题 1．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【解答过程】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 2．（2025·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合B中有 个元素． 【答案】6 【解题思路】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【解题思路】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【解答过程】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 5．（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求： (1)A中至少有几个元素？ (2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？ (3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素. 【答案】(1)3； (2)； (3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一） 【解题思路】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答. （2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答. （3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答. 【解答过程】（1）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少有3个元素. （2）因为，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的元素是. （3）令，由①知，，而，则，而，则， 所以集合A中至少含有的其它元素是. 题型2 元素与集合关系中的参数问题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【解题思路】由或求得并代入集合检验． 【解答过程】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 8．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【解答过程】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【解答过程】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 10．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【解题思路】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或. 题型3 有限集合子集、真子集的确定 11．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．16 B．15 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据题意先求集合，进而得集合元素个数，利用子集个数公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以或或或， 故， 即集合中含有4个元素，所以集合的子集个数为． 故选：A. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【解题思路】根据集合的性质，依次求出集合，即可求得答案. 【解答过程】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 13．（24-25高一上·河南开封·期末）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】32 【解题思路】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【解答过程】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 14．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【解答过程】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 15．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【解题思路】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 题型4 集合间的关系中的参数问题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解题思路】先求出集合中绝对值不等式的解集，然后根据子集的定义求出结果. 【解答过程】集合，由，得 解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D. 17．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【解答过程】因为，， 所以，解得， 故选：D. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【解题思路】分为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围即可得解. 【解答过程】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 19．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 20．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 题型5 集合的交、并、补集运算 21．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求解集合A，B，再利用交集的定义直接计算作答. 【解答过程】∵，， ∴. 故选：D. 22．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【解答过程】由，则， 集合， 故 故选：D. 23．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 【答案】 【解题思路】利用补集、并集的定义直接求解. 【解答过程】全集，则， 所以. 故答案为：. 24．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 【答案】(1) (2) 【解题思路】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，，， ， 所以 ， ． （2）由题意得，，， 所以 ， ． 25．（24-25高一上·天津·期中）已知全集，集合或. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)或； (2)或； (3). 【解题思路】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； （3）先利用补集的概念求出，再利用交集的概念求解. 【解答过程】（1）∵集合或， ∴ 或. （2）∵全集，集合， ∴ 或， 又或， ∴ 或. （3）∵全集，或，∴ ， 又因为 或， ∴ . 题型6 Venn图表达集合的关系和运算 26．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【解答过程】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 27．（24-25高一上·重庆·期末）如图，为全集，为的子集，则阴影部分所表示的集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定的图形，利用韦恩图，结合集合的运算判断即可. 【解答过程】由韦恩图知，阴影部分不在集合中，在集合中，其集合表示为. 故选：C. 28．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .    【答案】 【解题思路】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可. 【解答过程】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分， 所以可以表示为. 故答案为：. 29．（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 30．（24-25高一上·山西太原·阶段练习）已知，．    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出． 【答案】(1)，； (2)图见解析， 【解题思路】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果； （2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得. 【解答过程】（1）由得，即； 或，； 所以，； （2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．    由于且，又，， 所以． 题型7 容斥原理的应用 31．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【解题思路】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【解答过程】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 32．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【解答过程】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是 . 故选：B. 33．（25-26高一上·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【解题思路】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【解答过程】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8. 34．（2025高三·全国·专题练习）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【解题思路】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【解答过程】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 35．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 【答案】(1)解释见解析 (2)6人 【解题思路】（1）根据交集和并集及补集的含义解答即可. （2）设两项竞赛都参加的同学有人，根据容斥原理列式求解即可. 【解答过程】（1）表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学； 表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学； 表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学. （2）设两项竞赛都参加的同学有人，则， 解得，故参加两项竞赛的同学共6人. 题型8 集合的基本运算中的参数问题 36．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】先由得到，再分类讨论，利用根与系数的关系进行求解. 【解答过程】，， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是. 故选：A. 37．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 38．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 39．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 40．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由集合先得到，结合集合和得到不等式组，即可得到答案； （2）分和两种情况讨论，结合子集定义可求解 【解答过程】（1）因为，所以或， 又且， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）若，则， 当时，，解得； 当时，，即， 要使，则，解得， 此时； 综上，实数a的取值范围为. 题型9 集合中的结构不良题 41．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）已知集合，. (1)当时，求； (2)在①；②这两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若选______，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）先写出集合，然后根据并集的定义即可求得； （2）若选①，得到，根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可；若选②，根据集合的关系列出不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 又， 所以. （2）若选择①，则， 因为，所以， 又， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 若选择②， 因为，所以， 又， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 42．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【解题思路】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【解答过程】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 43．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【解答过程】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述：. 44．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或. (1)当时，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果. （2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果. 【解答过程】（1）当时，， 因为或，所以， 故. （2）若选①：当时，，，成立. 当时，，由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选②：当时，，，成立. 当时，， 由可得，解得，所以. 综上，的取值范围是. 若选③：由可得. 当时，，，成立. 当时，，由可得解得，所以. 综上，的取值范围是. 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题： 已知集合，． (1)当时，求； (2)若___________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 【解题思路】（1）可得出，时，得出集合，然后进行并集的运算即可； （2）若选条件①，可得出，然后讨论是否为空集：时，得出； 时，得出，然后解出的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出的取值范围． 【解答过程】（1）时，，， ∴； （2）若选择①，则， 时，，解得； 时，，解得：； 综上知，实数的取值范围是； 若选择②，则的子集，， 时，，解得； 时，或，解得：或 综上所述，的取值范围是：； 若选择③，则： 时，，解得； 时，或者，解得：或 综上知，实数的取值范围是：． 题型10 集合中的新定义问题 46．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出集合，再求出集合即可得解. 【解答过程】由，得， 而，则， 所以集合非空真子集的个数为. 故选：D. 47．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解题思路】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【解答过程】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D. 48．（24-25高一上·四川·期中）对于集合，，我们把集合，叫做集合A与B的差集，记作，若，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据求出的值，进而根据集合的定义求解即可. 【解答过程】因为, 所以，即， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 49．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【解答过程】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 50．（24-25高一上·北京·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)7. 【解题思路】（1）根据题中定义判断可得出结论. （2）不妨设，利用反证法，通过讨论集合中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立； （3）分析可知集合中每个元素均为奇数，且集合中所有元素都为奇数，分析可知，当时，，根据“任意分拆”的定义可判断集合可“任意分拆”，即可得出结论. 【解答过程】（1）对于集合，，且，因此集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，则集合不可“任意分拆”； 对于集合，，， 因此集合可双拆， ，在集合中，任意一个数与其它3个数的和都不等， 任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，因此集合不可“任意分拆”. （2）集合不能“任意双拆”， 不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾；由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾；由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. （3）设集合，由，，， 得均为偶数，因此均为奇数或偶数, 若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数， 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 因此集合中元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，则， 当时，取集合， ，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以集合中元素个数的最小值为. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $