第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 2．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 6．（5分）（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．（5分）（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 8．（5分）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 10．（6分）（24-25高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 11．（6分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 13．（5分）（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 14．（5分）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 16．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 17．（15分）（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 18．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 19．（17分）（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 【答案】C 【解题思路】根据各项描述判断命题的类型并写出对应的否定命题，进而判断真假，即可得. 【解答过程】A，B：原命题均为全称量词命题，其否定是存在量词命题，不符合题意； C：原命题为存在量词命题，否定是，是全称量词命题， 又，故为真命题，符合题意； D：原命题为存在量词命题，否定是所有整数都是质数，是假命题，不符合题意． 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断集合表示的是数集还是点集，再判断数集是否相同或者点集是否相同，即可得出判断． 【解答过程】对于A，是数集，是点集，二者不是同一集合，故A不合题意； 对于B，与表示不同的点，则，故B不合题意； 对于C，集合表示大于或者等于1的数，集合表示大于或者等于1的数，则，故C合题意； 对于D，集合表示二次函数中值的集合，为数集，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集，则，故D不合题意； 故选：C． 3．（5分）（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【解答过程】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 4．（5分）（2025高一上·北京·专题练习）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或，解得. 综上，，即m的取值范围是 . 故选：C. 5．（5分）（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【解题思路】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【解答过程】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 6．（5分）（24-25高一·全国·课后作业）已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解题思路】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【解答过程】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 7．（5分）（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【解题思路】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【解答过程】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 8．（5分）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，定义运算，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则符合要求的集合M有6个 D．中所有元素之和为15. 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而可判断AD；根据补集和并集运算判断B；对于C：分析可知，进而列举求解. 【解答过程】由已知条件可得. 对于选项A：显然，故A错误； 对于选项B：因为，则， 所以，故B错误； 对于选项C：若，即， 则满足条件的集合M有：、、、、、，共6个，故C正确； 对于选项D：中所有元素之和为，故D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【解题思路】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 10．（6分）（24-25高一上·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【解题思路】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【解答过程】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【解题思路】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【解题思路】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【解答过程】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【解题思路】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【解答过程】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解题思路】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果. 【解答过程】由命题为真命题，得，解得， 由命题为真命题，得，解得， 因为命题、一真一假，所以真假，或假真， 当真假时，，得， 当假真时，，得， 综上，或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【解题思路】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【解答过程】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 16．（15分）（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 17．（15分）（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 18．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【解答过程】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 19．（17分）（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【答案】(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出 的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【解答过程】（1）在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. （2）由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $