专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.1 直线的方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 3 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 3 【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】 4 【题型4 直线的两点式、截距式方程】 5 【题型5 直线的一般式方程】 5 【题型6 直线过定点问题】 6 【题型7 三线能围成三角形的问题】 6 【题型8 直线方程的综合应用】 6 1、直线的方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 (2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 2025年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，主要分为两方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法；二是以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题；多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握这些知识内容. 知识点1 直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 4．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 知识点2 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【方法技巧与总结】 1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k). 4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】 【例3】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的两点式、截距式方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【变式5-3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【题型7 三线能围成三角形的问题】 【例7】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式8-1】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【变式8-2】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【变式8-3】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 一、单选题 1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·一模）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 10．（2025·河南·模拟预测）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 13．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 14．（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 17．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 直线的方程（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 3 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 4 【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】 7 【题型4 直线的两点式、截距式方程】 9 【题型5 直线的一般式方程】 10 【题型6 直线过定点问题】 12 【题型7 三线能围成三角形的问题】 13 【题型8 直线方程的综合应用】 15 1、直线的方程 考点要求 真题统计 考情分析 (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 (2)根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 2025年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对直线方程的考查比较稳定，主要分为两方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法；二是以直线与圆知识点交叉命题，涉及到点到直线距离，与圆相交弦长等问题；多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；复习时应熟练掌握这些知识内容. 知识点1 直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 4．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 知识点2 求直线方程的一般方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【方法技巧与总结】 1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”. 2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1,k). 4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【解答过程】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 【变式1-1】（2025高二上·全国·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系. 【解答过程】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【解题思路】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【解答过程】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值. 【解答过程】， 当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例2】（24-25高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【解答过程】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【解答过程】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示，    由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 【变式2-2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【变式2-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】 【例3】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【解答过程】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【变式3-1】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【解答过程】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【解答过程】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 【题型4 直线的两点式、截距式方程】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出． 【解答过程】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【解题思路】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【解答过程】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【解题思路】利用两点式方程可得直线的方程. 【解答过程】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【解题思路】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【解答过程】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为， 设倾斜角为，， 所以，所以. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【解答过程】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知直线在轴上的截距是，其倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据截距的定义，可得所求直线与轴的交点，根据直线求得倾斜角，通过斜率定义，可得答案. 【解答过程】由直线在轴上的截距是，则直线过，可得，解得； 由直线，设该直线的倾斜角为，则，解得， 设直线的倾斜角为，斜率为， 由，则 ， 由，则，解得. 故选：A. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【解答过程】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将直线分离参数为，令，可得定点. 【解答过程】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若直线恒过定点A，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为，据此可得定点坐标. 【解答过程】 ， 令，解得，则所过定点为. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【解答过程】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C. 【题型7 三线能围成三角形的问题】 【例7】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解答过程】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 【变式7-2】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解答过程】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 【题型8 直线方程的综合应用】 【例8】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【解答过程】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式8-1】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【解题思路】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【解答过程】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 【变式8-2】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【解答过程】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 【变式8-3】（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据直线的点法式方程可得出直线的方程； （2）求出点的坐标，可得出直线的斜率，分析可知，，可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）设直线的倾斜角为，分析可知，，则的角平分线所在的直线的倾斜角为，利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【解答过程】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 一、单选题 1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【解答过程】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 3．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 4．（2025·吉林长春·一模）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B. 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得. 【解答过程】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 7．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 8．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可知直线恒过定点，根据斜率公式结合图象分析求解. 【解答过程】因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【解题思路】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【解答过程】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD. 10．（2025·河南·模拟预测）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【解答过程】当时，； 当时，. 故选：AB. 11．（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为或，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【解答过程】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线斜率为， 有，则，依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项，只有B选项满足； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项只有C选项满足. 故选：BC. 三、填空题 12．（2025·陕西汉中·三模）若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 【答案】 【解题思路】用直线的方向向量可以确定直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程. 【解答过程】由题意可知，直线的斜率为. 而直线过点，所以直线方程为， 即：. 故答案为：. 13．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【解题思路】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解答过程】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 14．（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【解题思路】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【解答过程】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【解答过程】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 16．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解答过程】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 17．（2025高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【解题思路】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【解答过程】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 18．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【解答过程】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $