专题26.6 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第3课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题26.6 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第3课时） 教学目标 1. 掌握常考考点； 2. 熟悉二次函数有关的一些专业术语。 教学重难点 1.重点 （1）教材基本要求及应用； （2）中考常考考点、题型； （3）二次函数的图像与性质。 2.难点 （1）新定义题；含参数的二次函数问题； （2）二次函数的几何应用；分类讨论思想。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第3课时） 1. 掌握上海常考考点或题型； 2. 学会上海描述二次函数的一些专业术语（如沿着x轴的正方向看，如果某抛物线在y轴左侧的部分是上升的或下降的）； 3. 第24题通常考查二次函数与几何图形的综合应用，涉及抛物线的对称性、顶点坐标、开口方向及与坐标轴的交点等知识点；要求学生能结合平面直角坐标系，通过代数运算解决与三角形、四边形相关的面积、距离或角度问题；同时需掌握在不同条件下对参数a、b、c的分析与推导，理解其几何意义，并能准确进行数形结合与分类讨论。 【即学即练】 1．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 2．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：∵拋物线，对称轴为直线，在直线右侧部分是下降的， ∴该函数的开口向下， ， 故答案为：． 3．沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，可得出对称轴为直线，然后根据对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∵ ∴函数与x轴的交点坐标为 ∴开口方向向上，对称轴为直线， 抛物线与关于直线对称， 两个抛物线的对称轴相同， 即 ∴ 解得， 观察四个选项，唯有D选项符合题意， 故选：D． 5．二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 题型01 概念综合辨析、填空 【典例1】．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握求抛物线的顶点坐标的方法是解决问题的关键． 利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，求出顶点坐标，判断所在象限． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，在第二象限， 故选：B． 【变式2】．抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数对称轴的求解，关键在于识别抛物线形式中缺少的一次项，从而直接得出对称轴为y轴．抛物线的形式为顶点式变形后的结果，其对称轴可通过顶点坐标公式或观察标准抛物线的形式推导得出． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线沿y轴平移得到， ∴抛物线的对称轴为直线． 故答案为：直线x＝0． 【变式3】．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 【详解】依题意得，开口向下，经过点， ∴抛物线的表达式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式4】．二次函数的截距是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的截距，理解截距的定义是解题关键． 【详解】解：， 当时，， ∴截距为， 故答案为：． 题型02 二次函数的平移问题 【典例1】．如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是． 故答案为：． 【变式1】．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 【变式2】．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例1】．如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标都满足该二次函数的解析式，把点代入抛物线方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：把点代入抛物线， 则， 解得， 故答案为：2． 【变式1】．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点，结合系数符号判断其经过的象限． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 【变式2】．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 【答案】下降 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分呈现下降的趋势， 故答案为：下降． 【变式3】．如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，求二次函数值．根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】．已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，随的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：A． 【变式5】．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意可知，函数对称轴为，而由可知，位于对称轴的右侧，且距离大于与对称轴的距离． 【详解】解：函数的对称轴为， 根据可知，、两点位于对称轴的两侧， 又， ，即距离对称轴较远， ∵抛物线开口方向向上，可见，． 故选：A． 题型04 二次函数与坐标轴的交点问题 【典例1】．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【变式1】．直线与抛物线的交点坐标是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象和抛物线的交点问题，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函数的交点坐标． 【详解】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 【变式2】．抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式3】．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 题型05 求参数问题 【典例1】．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】．已知二次函数的图象与x轴交点都位于左侧，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，由于无论k取任何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点，根据题意时，，对称轴，解不等式即可得答案． 【详解】解：∵， ∴无论k取任何值，二次函数的图象与轴都有两个交点， ∵二次函数的图象开口向下，且与x轴交点都位于左侧， ∴时，，且对称轴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，数形结合是关键．根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在x的正半轴，得，整理得，因为函数与y轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 【变式3】．如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称得出，求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移1个单位长度后关于轴对称， ∴， 化简得：， 故答案为：． 题型06 最值问题的综合应用 【典例1】．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于的方程是解题的关键．求出对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最大值，可知当时，，即可得到，解方程组即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最大值， 当时，， ， 解得或， ， 的值为． 故答案为：． 【变式1】．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 题型07 新定义题 【典例1】．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的顶点坐标公式，将抛物线的顶点的横坐标和纵坐标分别用含有a的代数式表示出来，进而可得与之间的关系式． 本题主要考查了抛物线的顶点坐标公式，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的顶点坐标公式可得抛物线的顶点的 横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∴抛物线的“顶线”是． 故答案为：． 【变式1】．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出的顶点坐标为，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴这个二次函数的顶点坐标为， 则关于原点对称的点为 ∴二次函数的梦函数解析式为， 故答案为： 【变式2】．已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是读懂题意． 首先配方得到，求出，，然后根据题意得到，求出或，然后结合得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴， 根据题意得， 整理得， 解得或 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴抛物线的“开口大小”为2． 故答案为：2． 【变式3】．定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标，设抛物线，把，代入得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：利用特殊情况，当抛物线的顶点在y轴上时，则，，顶点坐标， 设抛物线，把，代入，得：， 解得：， 故答案为：． 【变式4】．定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 题型08 解答题—二次函数的几何应用 【典例1】．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线的表达式，再化为顶点式，写出顶点D的坐标即可； （2）先求出，再根据坐标两点的距离公式和勾股定理逆定理，得到是直角三角形，且，进而推出，得到，再结合等腰直角三角形的性质，得出，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形，则也是锐角三角形，且点在第四象限，利用待定系数法求出直线的表达式，进而设，过点作于点，则，，根据相似三角形的判定定理分两种情况讨论：利用角的正切值分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴分别交于点B、点， ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点D的坐标为； （2）解：抛物线与y轴交于点A， 当时，， , ,， ，，， ， 是直角三角形，且， ，， ， ， ，， ， ，即， 若以O、P、C为顶点的三角形与相似，且是锐角三角形， 也是锐角三角形，且点在第四象限， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 点P在直线上， 设， 如图，过点作于点，则，， 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 当时，则， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为． 综上可知，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式1】．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 【变式2】．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移得到，用待定系数法解答即可； （2）求出，用待定系数法求出直线的解析式为，设直线与轴交于点E，则点E的坐标为，进一步根据即可求出答案； （3）设对称轴交线段与点N，交轴于点F，证明，得到，即,证明，设点D的坐标为，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为，把代入得到， ， 解得， ∴平移后的抛物线为， 如图， 把代入得到，解得， ∴， 在中， （2）把代入得到，解得（不合题意，舍去）， ∴ 如图， 设直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 设直线与轴交于点E，则点E的坐标为 ∴ （3）如图，设对称轴交线段与点N，交轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，即, ∵ ∵ ∴， ∴， 设点D的坐标为， ∵，即 解得（负值已舍去） ∴ 【点睛】此题考查了二次函数的平移、待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确画图和数形结合是关键． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）把点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）先求出抛物线①的顶点D坐标为，过点D作轴于E，则，根据求解即可； （3）在中，由勾股定理求得，分两种情况：当点F在点C下方时，过点F作于G，根据，则，所以，则，解求得，从而求得，即可求得点F坐标，当点F在点C上方时，由于，则不会在轴上方与轴相交，故此种情况不存在． 【详解】（1）解：∵抛物线①是由抛物线经过平移所得 ∴抛物线①的解析式为， 把点、代入，得 ， 解得：， ∴抛物线①的解析式为． （2）解：∵ ∴抛物线①的顶点D坐标为， 过点D作轴于E，如图， 则， ∵ 又∵、 ∴ ； （3）解：∵， ∴ 在中，， 当点F在点C下方时，过点F作于G，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点F在点C上方时， ∵，， ∴ ∴不会在轴上方与轴相交，故此种情况不存在； 综上，点在轴上，且，点的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键，注意数形结合思想和分类讨论思想的应用． 【变式4】．我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． (1)已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； (2)已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C． ①求它的开口半径； ②求的余弦值． 【答案】(1)； (2)①4；② 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的图象与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）根据新定义可求抛物线的对称轴为直线，，设抛物线的表达式为，根据旋转得出，，分P在Q上方和P在Q下方讨论即可； （2）①求出顶点，对称轴为直线，，设开口中心点C的坐标为，则，则可求，代入，求出或，即可求解； ②由①可得，过B作于D，则，，根据勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解∶∵开口中心为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的表达式为， ∴， ∵开口半径为1， ∴， ∵顶点P绕着点逆时针旋转得到点 ， ∴，， ∴当P在Q上方时，， ∵抛物线的开口向上， ∴点P是抛物线的最低点， ∴，不符合题意，舍去； 当P在Q下方时，，， ∴ 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设开口中心点C的坐标为，点A绕点C逆时针旋转后的对应点为， ∴， ∴， ∴， 代入，得， ∴， ∴或， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴开口半径为4； ②∵， ∴， ∴， 过B作于D， ∴，， ∴， ∴． 【变式5】．如图，在直角坐标平面中，抛物线与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，其中点，该抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的关系式，并写出抛物线的顶点D； (2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点E，点是第三象限内一点，且满足，求的余切值； (3)在（2）的条件下，设点是该抛物线上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合、三角函数、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入抛物线中即可； （2）过点作轴交轴于点，证明∽，结合点坐标求解； （3）过点作轴交轴于点，可以求出的面积，进而求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，有： ， 解得：， ∴抛物线的关系式为：； ∵， ∴顶点； （2）解：如图：过点作轴交轴于点，则， 由（1）知抛物线的对称轴为：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴∽， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：（正值已舍去）， ∵∽， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图：过点作轴交轴于点， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ， ， 解得：或， ∴或． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．正确识别二次函数是解题的关键． 【详解】解：A. 不是二次函数，不符合题意； B. 不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. 不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； B．，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意； C．，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意； D．，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 3．抛物线y=-（x+1）2-2可以由抛物线y=-x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】B 【分析】抛物线图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据平移规律可得答案. 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位可得 再向下平移2个单位可得： . 故选：B 【点睛】本题考查的是抛物线图象的平移，掌握抛物线图象的平移规律是解题的关键. 4．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系； 由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的， 把代入得 ∴抛物线经过， 故选：C． 5．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将代入解析式，可得，即可判断①，根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得，可得，即可判断②；将点代入解析式可得，即可判断③，观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，即可判断④． 【详解】解：二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和， ∴，，故①③正确； ∵根据抛物线开口方向得，利用对称轴在轴的右侧得， ∴，故②正确； 观察函数图象得到时，抛物线有部分在轴上方，有部分在轴下方，则或或，故④不正确， 故选：C． 二、填空题 7．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上下移动，纵坐标相加减，左右移动横坐标相加减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是， 故答案为：． 8．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式．将点A的坐标代入解析式求出的值，再把点B的坐标代入，求出的值即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故答案为：． 9．二次函数图像的最高点的横坐标是 . 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数解析式化为顶点式，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 二次函数图像的最高点的横坐标是， 故答案为：． 10．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用二次函数的性质：0时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴． ∴的取值范围是：． 故答案为：． 11．已知抛物线的最高点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，把代入即可求出的值，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入得，, ∴， 故答案为：． 12．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 【详解】依题意得，开口向下，经过点， ∴抛物线的表达式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 13．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴对称轴为， ∵开口向上， ∴对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：． 14．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定a的取值范围即可．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的， ∴． 故答案为：． 15．如果点和点都在抛物线的图像上，那么 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】∵抛物线, ∴对称轴为， ∵点和点都在抛物线的图像上，纵坐标相同， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解答本题的关键． 16．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 【答案】6． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 17．定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、解直角三角形，由题意可得，再分两种情况：当直线在点的左侧时，当直线在点的右侧时，再结合轴对称的性质、解直角三角形，计算即可得解，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 当直线在点的左侧时， ∵该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴点的纵坐标为， 连接交轴于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当直线在点的右侧时，同理可得：， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 18．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】分两种情况：∠BAC=90°，则由题意得OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】由题意得：A(m，h)，且， 上式中令x=0，得， ∴． ∵点A在直线上， ∴， 即，， ∵点B、点C关于x轴的对称， 则． ①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线， ∴OA=OB， ∵，， 则， 由于m≠0， 解得：或， 所以点A的坐标为或； ②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同， 即， ∴，m=0（舍去）， 所以点A的坐标为； 综上所述，点A的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象，直角三角形的性质等知识，注意分类讨论，避免遗漏． 三、解答题 19．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为；顶点坐标为； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可得． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， ， 抛物线表达式为； ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 与该抛物线的对称轴交于点，抛物线的对称轴为直线， 当时，． ． 20．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 21．已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【详解】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 22．已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点坐标为 令，则， ； （2）解：设平移后得解析式 把代入得, ， 当时，, 另一个交点， , ， ， 在中，, ． 23．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为 10 米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为25米、垂直距离为 5米，得到点的横坐标为27，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）解：发射石块在空中飞行的最大高度为， ． 石块运行的函数解析式为． 把代入解析式，得， 解得：． ． （2）解：石块能飞越防御墙． 理由如下： 点与点的水平距离为，墙宽， 点的横坐标为． 把代入， 得 点与点的垂直距离为与轴平行， 点与点的垂直距离也为． ， 该石块能飞越防御墙． 24．已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 25．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.6 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第3课时） 教学目标 1. 掌握常考考点； 2. 熟悉二次函数有关的一些专业术语。 教学重难点 1.重点 （1）教材基本要求及应用； （2）中考常考考点、题型； （3）二次函数的图像与性质。 2.难点 （1）新定义题；含参数的二次函数问题； （2）二次函数的几何应用；分类讨论思想。 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（第3课时） 1. 掌握上海常考考点或题型； 2. 学会上海描述二次函数的一些专业术语（如沿着x轴的正方向看，如果某抛物线在y轴左侧的部分是上升的或下降的）； 3. 第24题通常考查二次函数与几何图形的综合应用，涉及抛物线的对称性、顶点坐标、开口方向及与坐标轴的交点等知识点；要求学生能结合平面直角坐标系，通过代数运算解决与三角形、四边形相关的面积、距离或角度问题；同时需掌握在不同条件下对参数a、b、c的分析与推导，理解其几何意义，并能准确进行数形结合与分类讨论。 【即学即练】 1．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 2．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 3．沿着x轴正方向看，抛物线在直线左右两部分的图像增减性完全相反，则b的值为 ． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是 ． 题型01 概念综合辨析、填空 【典例1】．下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．抛物线的对称轴为 ． 【变式3】．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 【变式4】．二次函数的截距是 ． 题型02 二次函数的平移问题 【典例1】．如果二次函数，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得的新抛物线的表达式是 ． 【变式1】．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 题型03 二次函数的图像与性质 【典例1】．如果抛物线经过原点，那么m的值等于 ． 【变式1】．抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．抛物线在y轴右侧部分呈现 的趋势填“上升”或者“下降” 【变式3】．如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”） 【变式4】．已知抛物线上的两点，，如果，那么下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】．已知函数（c为常数）的图象上有两点，．若且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 题型04 二次函数与坐标轴的交点问题 【典例1】．抛物线与y轴的交点坐标为 【变式1】．直线与抛物线的交点坐标是 ， ． 【变式2】．抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 【变式3】．已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 题型05 求参数问题 【典例1】．如果抛物线有最低点，那么a的取值范围是 ． 【变式1】．已知二次函数的图象与x轴交点都位于左侧，则k的取值范围是 ． 【变式2】．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如果二次函数的图像向左平移1个单位长度后关于轴对称，那么 ．（用含的代数式表示） 题型06 最值问题的综合应用 【典例1】．已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【变式1】．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 题型07 新定义题 【典例1】．如果抛物线的顶点的轨迹是一个规则的图形，那么称这个轨迹为该抛物线的“顶线”．那么抛物线的“顶线”是 ． 【变式1】．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为 ． 【变式2】．已知是抛物线上的一点，且满足，如果使用的值定义抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【变式3】．定义：若一个抛物线和x轴有两个交点，那么这两交点与抛物线顶点组成的三角形为“x轴三角形”；若开口向下的抛物线和x轴交于M、N，且MN的长度为m，当抛物线的“x轴三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的二次项系数是 ． 【变式4】．定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为 ． 题型08 解答题—二次函数的几何应用 【典例1】．如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B、点，点D是抛物线的顶点． (1)求：抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)点P在直线上，连接，若以O、P、C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【变式1】．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【变式2】．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移使之经过点，平移后的抛物线交轴于点． (1)求的正切值； (2)点在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，联结、，求的面积； (3)点在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结、，当时，求点的坐标． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线①是由抛物线经过平移所得，且抛物线①过点、，它与轴的另一个交点为A ． (1)求抛物线①的表达式； (2)设抛物线①的顶点为D，求的面积； (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【变式4】．我们定义：如果一条抛物线的顶点P绕着它的对称轴上的另一个点Q逆时针旋转，顶点P的对应点也在这条抛物线上，那么称线段的长为该抛物线的开口半径，点Q为该抛物线的开口中心． (1)已知一条抛物线的开口向上，开口半径为1，开口中心为，求这条抛物线的表达式； (2)已知抛物线顶点为点A，与y轴交于点B，开口中心点C． ①求它的开口半径； ②求的余弦值． 【变式5】．如图，在直角坐标平面中，抛物线与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，其中点，该抛物线的顶点为点D． (1)求抛物线的关系式，并写出抛物线的顶点D； (2)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为点E，点是第三象限内一点，且满足，求的余切值； (3)在（2）的条件下，设点是该抛物线上一点，且的面积是面积的3倍，求点P的坐标． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．抛物线y=-（x+1）2-2可以由抛物线y=-x2 平移得到，则下列平移过程正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 4．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 5．已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，二次函数的图像的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．将抛物线向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是 ． 8．如果抛物线经过两点和，那么的值是 ． 9．二次函数图像的最高点的横坐标是 . 10．已知抛物线开口向上，那么a的取值范围是 ． 11．已知抛物线的最高点为，则 ． 12．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 13．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么 ．（填“”“”或“”） 14．已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是 ． 15．如果点和点都在抛物线的图像上，那么 ． 16．如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为 m． 17．定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．如图，已知抛物线，顶点为A，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果，（是锐角）则m的值是 ． 18．已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ． 三、解答题 19．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线表达式并写出顶点坐标； (2)联结，与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 20．二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 21．已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 22．已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 23．如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为． (1)求该抛物线的解析式； (2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙． 24．已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 25．在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $