专题24.3 比例线段（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.3 比例线段（第2课时） 教学目标 1. 学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2. 利用黄金分割求线段的长； 3. 黄金分割数的应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道黄金分割点、黄金分割数等，并学会运用求解； （2）比例线段的性质在黄金分割中的应用； （3）黄金分割数的实际应用、几何应用等； 2.难点 （1）比例线段性质、黄金分割结合的化简、变形等； （2）黄金分割的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 黄金分割 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 由AB=l，AP= ，得 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点. 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练】 1．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，或，即可求解． 【解析】解：依题意，或 故答案为：或． 2．已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义即得出，代入数据，求解即可． 【解析】解：由题意得，， 故答案为：． 3．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【解析】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 4．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解析】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 5．若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点是线段的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【解析】解：∵点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项， ∴点是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 6．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 知识点2 黄金分割点的作图 作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 【即学即练】 1．已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】先作线段的垂直平分线得到的中点O，过点B作的垂线，再在上截取，连接，在上截取，然后在上截取，则点C满足条件． 【解析】解：如图，点C为所作． 理由：设， 由垂直平分线的性质可得，， 由作图可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即线段的黄金分割点为C． 【点睛】此题考查了黄金分割点、垂直平分线的作图和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，准确作图是解题的关键． 2．如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．    （1）过点B作的垂线，并在垂线上取． （2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E． （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理． 【答案】见解析 【分析】设长为x，则长为，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解． 【解析】解：设长为x，则长为， ， ． ， ， ， ， 即点D是线段的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键． 知识点3 黄金分割的应用 1. 古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”.符合这种分割的物体或几何图形，使人感到和谐悦目，被认为是最优美的.黄金分割被广泛地应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面.例如古希腊的帕特农神殿(见下图),是黄金分割应用的杰作，成为人类建筑史中的经典建筑. 2. 黄金分割和勾股定理，被誉为几何学中的“双宝”. 【即学即练】 1．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割，列出比例式，进行求解即可． 【解析】解：设最美人体的头顶至肚脐的长度为， 由题意，得：， ∴， ∴人的身高为：； 故选B． 2．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【解析】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 3．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米． 【答案】2 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算；若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比为，据此求解即可． 【解析】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 题型01 解黄金数、证黄金分割点 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【答案】黄金比为． 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可. 【解析】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得：（舍去负值）， ， 答：黄金比为． 【变式1】．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 【答案】见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 设参化参思想，一元二次方程在几何应用中的重要性。 题型02 已知全线段，求较长线段（的长） 【典例1】．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，黄金分割点的计算，掌握线段成比例的计算方法，黄金分割点的计算是解题的关键． 根据黄金分割点的计算可得，代入计算即可求解． 【解析】解：线段，是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式1】．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的黄金分割点，理解并掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【解析】解：点是线段的黄金分割点（），如果， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式2】．点是线段的黄金分割点，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金分割比是关键．根据黄金分割点的定义解答，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项． 【解析】解：点C是线段的黄金分割点，， 设， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为：． 题型03 已知全线段，求较短线段（的长） 【典例1】．已知点是线段的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得，然后把，代入计算求解即可，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 【变式1】．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【变式2】．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据先求出，再求出即可． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4 求全线段的长 【典例1】．已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，利用黄金分割的定义计算即可，若是的黄金分割点，且，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 【解析】解：线段，C是的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【解析】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则，即 ∴ 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 【变式2】．已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，且，得出，代入数据即可得答案． 【解析】解：由于P为线段的黄金分割点，且， ∴， 即. ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的 ． 题型5 一条线段的两个黄金分割点 【典例1】．如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得． 【解析】设线段， ∵C、D是线段的两个黄金分割点， ∴较长线段， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍． 【变式1】．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【解析】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 【变式2】．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意代入数据，分两种情况即可得出AP的长． 【解析】解：当AP＞BP时， ， 当AP＜BP时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；熟记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的是解题关键．注意有两种情况． 题型6 比例中项在黄金分割中的应用 【典例1】．已知线段点P是线段上的一点，长8厘米且，那么的长是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，再根据可得出，再将的值代放计算即可． 【解析】解：是线段上的一点，且满足， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ∴， ∴， ∵厘米， ∴（厘米）， 故答案为：． 【变式1】．已知点C是线段上一点，并且，如果，那么、中较短的那条长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，由可得点C是线段的黄金分割点，根据黄金分割比即可解答，熟知黄金分割比是解题的关键． 【解析】解：点C是线段上一点，并且， 点C是线段的黄金分割点， 、中较短的那条长为， 故答案为：． 【变式2】．若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点是线段的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【解析】解：∵点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项， ∴点是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 【变式3】．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是……（ ） A．；B．； C．； D． 【答案】B 【解析】试题分析：把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． AC2=BC•AB， AC2-BC•AB=0， AC2-（AB-AC）AB=0， AC2+AB•AC-AB2=0， AC=， ∵边长为正值， ∴AC=AB，BC=AB-AC=， ∴ , 即选项A、C、D错误，只有选项B正确； 故选B． 考点：黄金分割. 利用比例线段的性质，灵活运用比例中项有关的比例式与黄金分割的比例式。 题型7 其他求值问题 【典例1】．已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到，再把把AB=6代入可计算出AP的长，然后计算AB-AP即可． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，， ∴， ∴BP=AB-AP=4-=， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 【变式1】．已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 【变式2】．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是” ，理解黄金分割点的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义列可得答案． 【解析】点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】．线段的长度是8，点为线段上的一点，，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】由题意得点是线段的黄金分割点，再列式计算即可． 【解析】解：点为线段上的一点，， 点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 题型8 黄金分割的实际应用 【典例1】．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 cm． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【解析】解：由题知， 因为点是的黄金分割点，且， 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 【变式1】．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【解析】解：由题意知米， ∴， ， 米， 故主持人从舞台一侧点进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 题型9 黄金分割的综合辨析 【典例1】．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 【变式1】．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 【变式2】．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【解析】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 【变式3】．已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比等于即可得到答案． 【解析】解：由于M是线段上的黄金分割点， ， 故选项A正确，选项B、C错误； 由比例中项定义可知，选项D错误． 故选A． 【变式4】．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是线段的黄金分割点，且，则，即可． 【解析】∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∴ ∴A、B、C等式成立，D等式不成立 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金比例的公式． 题型10 黄金分割的几何应用 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形和矩形的面积进行分析计算．据此即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 【变式1】．如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 【答案】剩下的矩形也是一个黄金矩形 【分析】根据黄金分割设出矩形的长和宽，然后表示出矩形的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【解析】证明：设矩形的长为， 四边形为黄金矩形， 宽为， 四边形是正方形， ， ， 与的比是黄金比， 剩下的矩形也是一个黄金矩形 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比． 【变式2】．作黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB． ②连接DA，在DA上截取DE=DB． ③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点． 【答案】见解析 【解析】 【变式3】．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【解析】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 【变式4】．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 一、单选题 1．已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割点．根据黄金分割点分线段对应成比例，分成的两条线段中的较长的线段与原线段的比值为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故选C． 2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】∵C是线段AB的黄金分割点C，AC>CB， ∴AC=AB= 故答案选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练的掌握黄金分割的比值． 3．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义即可解答．应该熟记黄金分割的公式：较长线段原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 4．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 5．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 6．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 二、填空题 7．已知线段，点是线段的黄金分割点（），则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段成为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，由此进行计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点（）， ， ， ， 故答案为：． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 【答案】2 【分析】根据黄金比值为计算即可求解． 【详解】解：如图，∵是线段的黄金分割点，且， ∴， 即， ∴AP=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟知黄金比值为是解题关键． 9．已知点P是线段的黄金分割点，若厘米，那么 厘米． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义和黄金分割比即可进行解答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴， ∵厘米， ∴，解得：厘米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，取其前三位数字的近似值是0.618． 10．点在线段上，且，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点P为线段AB的黄金分割点，再根据“较长线段是整个线段的倍”即可算出BP的值． 【详解】在线段上，，即 点P是线段AB的黄金分割点且 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，熟记黄金分割点的概念并能正确判断较长线段和较短线段是解决本题的关键． 11．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则 【答案】/ 【分析】如图，点P是线段上的黄金分割点，，则，再代入数据计算即可． 【详解】解：如图，点P是线段上的黄金分割点，且，， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键． 12．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则= ． 【答案】． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为． 点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键． 13．悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据“点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点”．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点C是小提琴长的黄金分割点（）， ， 故答案为：． 14．已知点C是线段AB的黄金分割点，若，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比进行分析即可得出． 【详解】解：根据黄金分割点的概念得：， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查成比例线段，注意掌握黄金分割点以及成比例线段的性质是解题的关键． 15．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， 根据旋转的性质得， ∵， ∴ ∵H是线段的一个黄金分割点，且， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 16．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 17．已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【答案】 【分析】由题意得点P是线段的黄金分割点，再列式计算即可． 【详解】解：点P在线段上，， 点P是线段的黄金分割点，且， ， 线段的长度为， ． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 18．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 19．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 20．【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 【答案】(1) (2)菱形；理由见解析 (3) (4)见解析 【分析】本题考查几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． （1）利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断． （4）根据黄金矩形的定义即可判断． 【详解】（1）解：连接，如图③， 由题知四边形为正方形，且， ， 又两个矩形相等，， ． （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，又图为矩形纸片， ，则， ， ， 四边形为菱形． （3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形、四边形． ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， ， 故四边形为黄金矩形． （4）解：选其中一种写理由均可 四边形是黄金矩形的，理由如下： ， ， 则， 故四边形为黄金矩形， 或者四边形是黄金矩形的理由如下： ， 故四边形为黄金矩形． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 比例线段（第2课时） 教学目标 1. 学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2. 利用黄金分割求线段的长； 3. 黄金分割数的应用。 教学重难点 1.重点 （1）知道黄金分割点、黄金分割数等，并学会运用求解； （2）比例线段的性质在黄金分割中的应用； （3）黄金分割数的实际应用、几何应用等； 2.难点 （1）比例线段性质、黄金分割结合的化简、变形等； （2）黄金分割的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 黄金分割 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 由AB=l，AP= ，得 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点. 注意：一般来说，一条线段的黄金分割点有两个. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练】 1．已知点是线段的黄金分割点，那么 ． 2．已知点是线段的黄金分割点，，且，则 ． 3．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 4．已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 5．若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于 ． 6．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 黄金分割点的作图 作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 【即学即练】 1．已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 2．如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．    （1）过点B作的垂线，并在垂线上取． （2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E． （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理． 知识点3 黄金分割的应用 1. 古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”.符合这种分割的物体或几何图形，使人感到和谐悦目，被认为是最优美的.黄金分割被广泛地应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面.例如古希腊的帕特农神殿(见下图),是黄金分割应用的杰作，成为人类建筑史中的经典建筑. 2. 黄金分割和勾股定理，被誉为几何学中的“双宝”. 【即学即练】 1．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 2．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么 厘米． 题型01 解黄金数、证黄金分割点 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【变式1】．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 题型02 已知全线段，求较长线段（的长） 【典例1】．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么 ． 【变式1】．已知点是线段的黄金分割点（），如果，那么线段 ． 【变式2】．点是线段的黄金分割点，且，，则的长为 ． 题型03 已知全线段，求较短线段（的长） 【典例1】．已知点是线段的黄金分割点，，则 ． 【变式1】．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【变式2】．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 题型4 求全线段的长 【典例1】．已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【变式1】．已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是 ． 【变式2】．已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，那么的长为 ． 题型5 一条线段的两个黄金分割点 【典例1】．如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为 ． 【变式1】．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 【变式2】．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 题型6 比例中项在黄金分割中的应用 【典例1】．已知线段点P是线段上的一点，长8厘米且，那么的长是 厘米． 【变式1】．已知点C是线段上一点，并且，如果，那么、中较短的那条长为 ． 【变式2】．若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于 ． 【变式3】．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是……（ ） A．；B．； C．； D． 题型7 其他求值问题 【典例1】．已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则 ． 【变式1】．已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【变式2】．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 【变式3】．线段的长度是8，点为线段上的一点，，则线段的长是 ． 题型8 黄金分割的实际应用 【典例1】．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”， 如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是 cm． 【变式1】．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    题型9 黄金分割的综合辨析 【典例1】．已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【变式4】．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型10 黄金分割的几何应用 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【变式1】．如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 【变式2】．作黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB． ②连接DA，在DA上截取DE=DB． ③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点． 【变式3】．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【变式4】．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 一、单选题 1．已知点为线段的黄金分割点，如果，那么的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ） A． B． C． D． 3．已知，点P是线段的黄金分割点且，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D． 4．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 5．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 6．如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 二、填空题 7．已知线段，点是线段的黄金分割点（），则的长为 ． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 9．已知点P是线段的黄金分割点，若厘米，那么 厘米． 10．点在线段上，且，，那么的长为 ． 11．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则 12．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则= ． 13．悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为 ．    14．已知点C是线段AB的黄金分割点，若，则 ， ． 15．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 16．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 三、解答题 17．已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 18．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 19．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 20．【探究与证明】 【问题情境】：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④矩形就是黄金矩形，图④的矩形______也是黄金矩形； (4)请你选择图④的其中一个黄金矩形来说明理由． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $