精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期收心考试数学试卷

高2026届高三第一学期收心考试数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是，则 = A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为函数的两个零点是，所以，由等比数列性质可知，故选D. 考点：等比数列性质、函数零点、韦达定理. 2. 若复数z为纯虚数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数为纯虚数，即可求解. 【详解】由题意，复数， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：D. 3. 集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 因为，求得，则，得到集合，结合集合并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，所以，解得，则 所以集合，所以. 故选：D. 4. 设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断. 【详解】 时，, 为偶函数； 为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 5. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（ ） A. 直线是图像的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再平移图像得到的解析式，然后利用对称轴，周期，对称中心和单调性即可逐个选项判断. 【详解】由 ， 则图像向右平移个单位长度可得， ， 因为， 所以不是图像的一条对称轴，A错； 由，得的最小正周期为，B错； 由， 所以点是图像的一个对称中心，C正确； 由，则， 所以在上有增有减，D错. 故选：C 6. 双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为 A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：假设点在右支上，由双曲线定义可知 的面积为，故选A 考点：双曲线方程及性质 【方法点睛】双曲线椭圆的焦点三角形面积的问题是常考的题目，求解时主要利用余弦定理和双曲线椭圆定义，双曲线的焦点三角形面积公式为椭圆的焦点三角形面积公式为其中，以椭圆为例，公式推导如下： ，双曲线焦点三角形面积公式推导与椭圆类似 7. 正方体的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知,形成的各个曲线是以A为球心，半径为的球与正方体形成的交线，进而根据弧长公式即可求得长度. 【详解】正方体表面上与点A距离是的点形成的曲线，为以A为球心，半径为的球与正方体形成的交线， 六个面与球A的切面形成的曲线有两类:、、平面与球的截面形成的曲线为大圆弧， 半径为，又，故每个圆心角的度数为； 、、平面与球的截面形成的曲线为小圆弧，， 故每个截面圆的半径为，每个圆心角的度数为， 所以各个曲线的长度总和为. 故选：D. 8. 设函数，若不等式仅有1个正整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式，即，两边除以，则，转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象，即可求解． 【详解】由函数的定义域为， 不等式，即，两边除以，则， 注意到直线恒过点，不等式仅有1个正整数解， 即函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方， 由图象可知，这个点，可得，即，故选B． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中转化函数图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线的下方，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可. 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称， 利用对称性知，故C正确； D选项：因为， 所以，，故D错误. 故选：AC 10. 已知，其中，则下列说法正确的是（　　） A. 函数可能有两个零点 B. 函数可能有三个零点 C. 函数可能有四个零点 D. 函数可能有五个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，求得或或，设，得到，结合单调性和，分，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由函数，其中， 令，即， 可得或，则或或， 设，则， 又由函数在上为单调递减函数，且， 当时，方程在上无解，即无解， 此时只有两个实数根，即函数可能有两个零点； 当时，可得，解得， 此时只有三个实数根，即函数可能有三个零点； 当时，方程在上有一解， 则在上有两个解，此时只有四个实数根，即函数可能有四个零点， 综上，函数可能有两个或三个或四个零点. 故选：ABC. 11. 数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（ ） A. B. 曲线经过点 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目所给已知条件进行化简，得到，然后根据曲线图象所过点、曲线方程、导数与极值、换元法以及判别式（或者三角恒等变换）的方法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，所以， 利用关系式得，…（*） A选项：因为曲线图象过点，所以此时， 代入（*）得，所以，故A正确； B选项：因为，所以（*）化为， 所以直角坐标系下的曲线方程为， 代入点满足，故B正确； C选项：，设， 则，令，得或， 时，，所以， 时，， 则有极值，由对称性，所以，故C错误； D选项：方法1：由两边平方整理得: ，令， 则（*），由判别式，得. 令，由于方程（*）在有解， （1）当对称轴，即或时， 由得，所以； （2）当对称轴，即时， 由，得，所以， 综上，.故D正确. 方法2：， 所以.故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：求解参数的取值范围，可以考虑利用导数来进行求解，也可以利用换元法来进行求解.其中换元法可以转化为一元二次方程，然后结合判别式来求解，也可以考虑利用三角换元，利用三角恒等变换的知识来求解. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成长方体，利用它们有相同的外接球，求出长方体的体对角线长即可得解. 【详解】依题意，不妨令，于是得直三棱柱共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，， 则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱有相同的外接球， 外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即，此球的体积为， 故答案为：. 13. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，且， 即， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，即 所以面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出甲乙打卡相同景点的概率，根据对立事件的概率计算，即可得答案. 【详解】甲乙打卡相同景点的概率为， 所以甲、乙打卡不相同景点的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）求导，再根据在点处的切线方程为，由求解； （2）由，令，得到单调性，再利用极值的定义求解. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， ， 由得或， 由得， 所以在上递增； 在上递减， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值； 16. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*. （1）求λ的值及通项公式an； （2）求数列的前n项和Sn. 【答案】（1）λ=2，an=2n-1；（2）Sn=2n+2-n2-2n-4. 【解析】 【分析】 （1）设等差数列{an}的公差为d，然后退项相减便可得出结果； （2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出前n项和. 【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 由2an+1=λan+4(n∈N*)， ① 得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)， ② 两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2. 将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=4，所以d=2. 又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1； （2）由（1）可得=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)， 所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]==2n+2-n2-2n-4. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型. 17. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面． （1）试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； （2）若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积． 【答案】（1） 该四面体是鳖臑，理由如下： 平面，平面，，， ，均为直角三角形， 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面，，， ，均为直角三角形， ，，，均为直角三角形，该四面体为鳖臑. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质定理分别判断，，，均为直角三角形，从而证明结论； （2）设中点为，连接，先证明二面角的平面角为，从而求得四面体的各棱长，计算各侧面的面积从而求得四面体的全面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设中点为，连接， 分别为的中点，是的中位线，， 平面，平面，平面，， 又是的中点，均为直角三角形，， 是等腰三角形，，从而二面角的平面角为，即， 分别为的中点，是的中位线，， 又平面，平面，平面，， 则，解得，， ，又，， ，， 四面体的全面积. 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得，， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． 【小问3详解】 由抛物线定义可知 所以， 由（2）知， ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 19. 已知函数的极值点构成数列为． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明：当时，令，， 令所以单调递增， 当时， 所以在上单调递增，所以， 即得，所以； （2） 函数的单调增区间为，，单调减区间； 证明如下： 令，即得，所以， 结合单调区间知函数的极值点为， 因为，所以， 即得，所以是以为首项以为公差的等差数列； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构造函数再求出导函数正负得出函数的单调性即可得出即可证明； （2）根据导函数的正负得出函数的单调区间，再根据极值点是，最后应用等差数列的定义证明； （3）先根据（2）得出进而参数分离构造函数，再作差得出单调递减，即可计算求参. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，所以，又因为， 当时，即或，单调递增； 当时，即单调递减； 所以函数的单调增区间为，，单调减区间； 证明略； 【小问3详解】 由（2）知，则， 因为不等式对一切恒成立，即不等式对一切恒成立， 令， 因为， 令，当单调递增，当单调递减， 当时， 当时， 所以当时，， 所以单调递减，所以， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三第一学期收心考试数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设数列{an}是等比数列，函数y=x2－x－2的两个零点是，则 = A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 2. 若复数z为纯虚数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 集合，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（ ） A. 直线是图像的一条对称轴 B. 的最小正周期为 C. 的图像关于点对称 D. 在上单调递增 6. 双曲线的两焦点为，P在双曲线上，且满足，则的面积为 A. 1 B. C. 2 D. 4 7. 正方体的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 （ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若不等式仅有1个正整数解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 已知，其中，则下列说法正确的是（　　） A. 函数可能有两个零点 B. 函数可能有三个零点 C. 函数可能有四个零点 D. 函数可能有五个零点 11. 数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（ ） A. B. 曲线经过点 C. 当点在曲线上时， D. 当点在曲线上时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为___________. 13. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 14. 嵊（shèng）州是历史文化名城，早在秦朝已设郡县，古称剡（shàn）县，赡县、嵊县，古往今来无数文人墨客都醉心于嵊州的山水风景之中，李白曾梦到：湖月照我影，送我至剡溪.杜甫有诗曰：剡溪蕴秀异，欲罢不能忘，其中万年小黄山，千年唐诗路，百年越剧是三张重要历史文化名片，现有甲、乙两人到达高铁嵊州新昌站，前往旅游集散中心，再分赴万年小黄山、千年唐诗路之谢灵运垂钓处、越剧诞生地打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两人前往三地打卡的概率分别是和，则甲、乙打卡不相同景点的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）讨论的单调性，并求的极值． 16. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*. （1）求λ的值及通项公式an； （2）求数列的前n项和Sn. 17. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面． （1）试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； （2）若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积． 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． （1）求抛物线的方程； （2）当点为弦的中点时，求直线的方程； （3）求的最小值． 19. 已知函数的极值点构成数列为． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $