7.2认识证明 练习-2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

7.2认识证明 练习 一、单选题 1．要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．能说明“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 4．下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 5．下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 6．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 7．下列命题中，是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．一个直角三角形必能分成一个等腰三角形和一个等边三角形 C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D．在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 8．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 9．下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 10．已知下列命题，其中真命题的个数（   ） （1）27的立方根是； （2）有理数与数轴上的点一一对应； （3）平方根是它本身的数有和0； （4）同位角相等； （5）等腰三角形两腰上的高相等； （6）若，则． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 12．在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期 ． 13．有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了 场． 14．推理：谁是小雷锋？ 学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．” 乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．” 已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ． 15．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 三、解答题 16．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 17．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． (1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） (2)请选择一个真命题加以证明． 18．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的题设和结论； (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 19．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例说明． (1)一个角的补角必是钝角； (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线． 20．命题：全等三角形的对应角的平分线相等． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式为______． (2)结合图形，补全此命题的已知和求证． 已知：如图，①______， 平分交于点D， ②______． 求证：③______． (3)此命题是______命题．（填“真”或“假”） 《7.1认识证明 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A D C B D B D 1．B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 根据实数的大小比较法则、实数的立方、假命题的概念解答． 【详解】解：A．时，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B．时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C．，，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； D．时，，而，说明命题“若，则”是假命题，符合题意； 故选：D 3．C 【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可． 【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书， 所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书， 因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书， 所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读， 故选C． 4．A 【分析】根据所学的知识，理解判断解答即可． 本题考查了基础知识的综合，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 【详解】解：①“相等的角是对顶角”是假命题，本结论正确； ②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题，本结论正确； ③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，本结论正确； ④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 当高在等腰三角形的内部时，； 当高在等腰三角形的外部时，； 故这个等腰三角形的顶角的度数为或，本结论错误． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【详解】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】根据所学的数学知识，理解判定解答即可． 本题考查了命题的判定，正确判定命题是解题的关键． 【详解】A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，不符合题意； B. 一个直角三角形可以分成一个三角形和一个四边形，错误，符合题意； C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，正确，不符合题意； D. 在角的平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，正确，不符合题意； 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 10．D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断， 根据定义，定理判断正确的命题即可解答. 【详解】解：27的立方根是3，故（1）中的命题是假命题； 有理数与数轴上的点不是一一对应，故（2）中的命题是假命题； 平方根是它本身的数只有0，故（3）中的命题是假命题； 如果两直线不平行时，同位角就不相等，故（4）中的命题是假命题； 等腰三角形两腰上的高相等，故（5）中的命题是真命题； 若，则，故（6）中的命题是假命题； 所以真命题有1个. 故选：D． 11．如果两个角是对顶角，那么它们相等 【分析】本题主要考查了命题的改写，熟知命题的结构是正确解答此题的关键． 命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面，即可得答案． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果……那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 12．四 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题干条件以及甲乙说话内容进行分析，即可作答． 【详解】解：∵甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话，且今天甲说：“昨天是我说谎的日子． ∴甲只有在星期一和星期四才能说:“昨天是我说谎的日子”， ∵乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．且今天乙说：“昨天也是我说谎的日子．” ∴乙只有在星期四和星期日才能说:“昨天是我说谎的日子”； 综合起来，今天是星期四； 故答案为：四 13．3 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，正确推论是解题关键．先分析第五个队，再依次分析第一个队，第二个队、第三个队、第四个队，由此即可得． 【详解】解：第五个队赛了5场，说明第五个队和第一个队、第二个队、第三个队、第四个队、第六个队各进行了1场， 第一个队赛了1场，说明第一个队只和第五个队赛了1场， 则第四个队是和第二个队、第三个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共4场， 则第二个队是和第四个队、第五个队各进行了1场，共2场， 则第三个队是和第四个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共3场， 综上，第六个队赛了3场， 画出表格如下： 第一个队 第二个队 第三个队 第四个队 第五个队 第六个队 第一个队 — ╳ ╳ ╳ √ ╳ 第二个队 ╳ — ╳ √ √ ╳ 第三个队 ╳ ╳ — √ √ √ 第四个队 ╳ √ √ — √ √ 第五个队 √ √ √ √ — √ 第六个队 ╳ ╳ √ √ √ — 故答案为：3． 14．丙 【分析】本题考查了逻辑推理．解题的关键在于找出矛盾关系，再结合只有一人说了真话这一条件来推断出实际情况． 【详解】解：∵甲说 “我没打扫图书馆卫生”，丁说 “是甲打扫的图书馆卫生”， ∴甲和丁的话相互矛盾． ∴甲和丁之中必有一个人说的是真话，一个人说的是假话． ∵ 4 人中只有 1 人说了真话，而真话在甲和丁之中， ∴乙和丙说的都是假话． ∵乙说 “是丁打扫的图书馆卫生” 是假话， ∴不是丁打扫的． ∵丙说 “我没打扫图书馆卫生” 是假话， ∴是丙打扫的图书馆卫生． 综上，主动打扫图书馆卫生的是丙． 故答案为：丙． 15． 4 3 【分析】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字并验证是否为整数即可． 【详解】解：黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数， 红色球只可能有4、5、6个， 若红色球6个，则黄色球1个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球1个，黑色球2个，   则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球2个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球1个，黑色球3个， 则红色球标的数字为： ； 若红色球4个，黄色球2个，黑色球2个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球3个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 红色球上标的数字是4；拿出黑色球的个数是3． 故答案为：4，3． 16．(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 17．(1)， (2)见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是选择合适的判定方法证明． （1）根据全等三角形的判定方法选择条件和结论即可； （2）根据选择的条件结合全等三角形的判定方法分别证明即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 18．(1)题设为，结论为， (2)假命题，举例见解析 【分析】本题考查命题的含义，真假命题的判断，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键； （1）如果后面的部分为条件，那么后面的部分为结论； （2）先说明命题的真假性，然后举出反例即可求解； 【详解】（1）解：此命题的题设为，结论为，． （2）解：此命题是假命题， 当a为负数，b为正数时，，但是，， 例如：当，时，，但是，． 19．(1)假命题，反例见解析 (2)真命题 【分析】本题考查命题，关键是掌握补角，钝角的定义． （1）如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，由此即可判断； （2）由相交线的定义，即可判断． 【详解】（1）解：假命题， 反例：如果一个角是，则它的补角是，而的角不是钝角． （2）解：过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线是真命题． 20．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等 (2)，平分交于， (3)真 【分析】（1）根据命题的结构，结合问题中，已知，结论，在结论前面加上那么即可． （2）结合图形，根据已知，结论，具体化写出来即可． （3）根据全等三角形的性质和判定证明即可得此命题是真命题． 本题考查了命题的结构：任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，以及判断命题的真假，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分清命题的题设和结论部分． 【详解】（1）解：将此命题改写成“如果，那么”的形式为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角的平分线相等． （2）解：已知：如图，， 平分交于点， 平分交于， 求证：． 故答案为：，平分交于，． （3）解：此命题是真命题，理由如下： ∵， ，，， 平分，平分， ，， ， 又，， ， ， 全等三角形的对应角的平分线相等． 故答案为：真． 学科网（北京）股份有限公司 $