7.1 为什么要证明 练习 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

7.1为什么要证明 练习 一、单选题 1．以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．9的平方根是3 C．的相反数是它本身 D．点到两条坐标轴的距离都是1 2．下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果是线段的中点，那么 C．若，则 D．如果，那么点是的中点 3．下列命题中，真命题的是（） A．若是正数，则的平方根是 B．若，则 C．无理数在数轴上无法表示 D．一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定是1 4．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两个负数的积是正数；②如果，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④时，钟面上的时针与分针所成的角是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题是真命题的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的算术平方根是0 C．是3的立方根 D．无限小数都是无理数 7．已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 8．判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以是（   ） A．1 B． C．0 D． 9．在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（    ） A．因为当时，，所以该命题是真命题 B．因为当时，，所以该命题是真命题 C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题 D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题 10．要证明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（　　） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ． 12．命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）． 13．请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是 ． 14．命题“若，则．”是假命题，举一个反例时，可以是 ． 15．四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询问各自的名次． A说：“是第一名，我是第三名”． 说：“我是第一名，是第四名”． 说：“是第二名，我是第三名？” 是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这些信息，请你推断出获得第一名的是 ． 三、解答题 16．图中的线段a和b哪一条长？请与同伴交流，并用直尺检验你的结论． 17．同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历． (1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？ (2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 18．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）； (2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立； (3)利用（2）的结论计算：． 19．（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例． （2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于． 20．某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 《7.1为什么要证明 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C A B A B C C 1．D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，不等式的性质，平方根的定义，相反数，点到坐标轴的距离等知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或性质即可判断． 【详解】解：A． 若a，b，两边同乘时不等号方向改变，即，故A错误． B． 9的平方根是，而3是算术平方根，故B错误． C． 的相反数为，显然不等于原数，故C错误． D． 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，均等于1，故D正确． 故选：D 2．B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角的概念、线段中点的概念、平方根的概念逐一判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行时的同位角相等，但并非对顶角，故A为假命题； B、若C是线段的中点，则，因此，符合中点定义，故B为真命题； C、由可得或，但命题仅给出，未包含负数解，故C为假命题； D、仅说明C到A、B距离相等，但C未必在线段上（如的垂直平分线上任意一点均满足），因此C不一定是的中点，故D为假命题． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了判断命题的真假，实数与数轴立方根等知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或运算规则即可． 【详解】A．正数a的平方根应为，而选项仅给出，故原说法错误． B．由两边平方得，且满足非负条件，故原说法正确． C．实数与数轴上的点一一对应，则无理数可在数轴上表示，故原说法错误． D．立方根等于本身的数有、、，选项限定为，故原说法错误． 故选∶B． 4．C 【分析】本题考查了真命题的判断，解题的关键是熟练掌握相关数学知识． 本题需要根据有理数乘法法则、立方根的性质、垂线的性质以及钟面角的计算方法，对每个命题进行分析判断． 【详解】①根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 因为两个数都是负数，同号相乘得正，所以两个负数的积是正数，该命题是真命题； ②如果，对等式两边同时开立方，可得，该命题是真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没有强调“在同一平面内”，在空间中过一点与已知直线垂直的直线有无数条，所以该命题是假命题； ④时，分针指向6，时针在3和4的正中间． 钟面—圈为，共被分成12个大格，每个大格的角度为． 此时时针与分针之间的夹角为2.5个大格，所以夹角为，不是直角，该命题是假命题． 综上，真命题有①②，共2个， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查的是利用举反例说明假命题，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的反例即可． 【详解】解：验证选项A：当时，满足条件，但，此时，结论不成立．因此，是反例． 验证其他选项： 选项B：，满足，但，结论成立． 选项C：，满足，但，结论成立． 选项D：，满足，但，结论成立． 综上，只有选项A满足条件且结论不成立， 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义，结合平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义进行判断． 【详解】选项A：1的平方根是，故A错误． 选项B：0的算术平方根是0，符合定义，故B正确． 选项C：3的立方根是，而的立方为，故不是3的立方根，C错误． 选项D：无限小数包含无限循环小数（如0.333…）和无限不循环小数，前者为有理数，后者为无理数，故D错误． 综上，真命题为B． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了反例法证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、直角三角形三条高线的交点为直角顶点，位于三角形边上，不在外部，不符合反例要求； 、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 故选：． 8．B 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，有理数的分类，要证明命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，需找到满足n是正数但n不是整数的反例，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、1是正数且是整数，不满足反例条件，不符合题意； B、是正数且不是整数，满足反例条件，符合题意； C、0不是正数，不满足条件，不符合题意； D、是负数，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了举例判断命题真假，要判断，那么所举的例子要覆盖所有实数时，成立，才能证明原命题是真命题，据此可判断A、B、D；所举例子只要存在实数满足或，那么该命题是假命题，据此可判断C． 【详解】解：A、仅举的例子成立，但未覆盖所有实数，无法证明命题为真，不符合题意． B、列举时成立，但未考虑的情况，无法证明命题为真，不符合题意． C、若存在使或，则原命题不成立，符合题意． D、存在使不能说明命题对所有成立，无法证明命题为真，不符合题意． 故选；C． 10．C 【分析】本题考查的是举反例，要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子. 【详解】解：选项A：，， 满足，但，，，结论成立，不能作为反例； 选项B：，， 不满足，不符合条件，排除， 选项C：，， 满足，但，，，结论不成立，符合反例要求； 选项D：，， 满足，且，，，结论成立，排除； 综上，只有选项C满足条件且结论不成立， 故选C 11． 15 甲 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． 先确定了乙与丙打了8局，乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，进而确定三人一共打的局数， 根据甲当了8局裁判员，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，由此能求出结果． 【详解】甲当了裁判8局， 乙、丙之间打了8局， 又乙、丙分别进行了12局、11局比赛， 乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局， 甲、乙、丙三人共进行了局比赛， 又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数， 甲当裁判的局为奇数局， 最后一局比赛的裁判是：甲， 故答案为：15；甲． 12． 两个角是同位角 这两个角相等 假 【分析】本题考查了命题。解题的关键是会判断命题的真假． 对命题进行分析，写出题设和结论，判断真假即可． 【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， ∵同位角不一定相等， ∴这是一个假命题， 故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查举反例，要说明命题是假命题，可取使题设成立，但结论不成立的x的值即可． 【详解】解：当时，成立，但不成立， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是． 故答案为： 14．（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例． 任举一个小于等于的数即可． 【详解】解：当时，满足，但此时， 故答案为：（答案不唯一） 15． 【分析】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据“你们三个都说对了一半”这一条件进行假设推理． 通过假设A说的话的前半部分或后半部分正确，结合其他条件进行推理，判断是否符合“ 【详解】三人都说对了一半“的情况，从而得出第一名是谁， 解：假设A说的前半句是第一名是正确的，那么A是第三名是错误的， 那么说他是第一名是错误的，是第四名是正确的， 那么说的是第二名是错误的，而是第三名也是错误的，故假设不成立； 那么假设A说的A是第三名是正确的，C是第一名错误的， 那么说的他是第三名是错误的，是第二名是正确的， 那么说的是第四名是错误的，是第一名是正确的， 则第一名是． 故答案为：． 16．题图，题图中的线段与一样长，题图中的线段比长． 【分析】本题考查了比较线段的长短，根据度量比较法即可比较线段的长短，掌握比较线段的长短的方法度量比较法和重合比较法是解题的关键． 【详解】解：通过度量比较法可得， 题图，题图中的线段与一样长， 题图中的线段比长． 17．(1)对角两数之和相等 (2)移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等。证明见解析 【分析】本题考查了月历中数字的排列规律及用字母表示数的运算，解题的关键是通过观察月历中相邻数字的关系（横向差1，纵向差 7），用字母表示方框中的数，进而通过整式运算验证规律． （1）计算阴影方框中两组对角数字的和，对比结果得出关系； （2）移动方框后重复计算，猜想结论；设方框中左上角数字为字母，分别表示出其他三个数，通过整式运算证明对角之和相等． 【详解】（1）解：以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，； 以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，． 答：带阴影的方框中，对角两数之和相等． （2）解：结论：不改变方框大小，移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 证明：设方框中左上角的数为 ∵月历中同一行相邻两数相差1，同一列相邻两数相差7， ∴方框中其他三个数分别为（右上角）、（左下角）、（右下角）． 则左上角与右下角两数之和为： 右上角与左下角两数之和为：． ∵ ∴方框中对角两数之和相等． 答：移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 18．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子． （1）根据示例，可得第5个等式：不用化简； （2）； （3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简， 故答案为：； （2）第n个等式为正整数为：， 证明：因为n为正整数， 所以有： ； （3） ． 19．（1）假命题；举例见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题设和结论． （1）根据一个命题可以举例推翻的原则来判断假命题，进而当a为正数和b为负数是就可推翻此命题； （2）先假设与题设相反的结论，中三个内角都小于，然后根据三角形内角和为，证明假设错误，即可得出原结论正确． 【详解】解：（1）此命题是假命题； 如，，符合，但不满足； （2）假设中三个内角都小于， ∴三个内角和小于， ∵三角形的内角和为， ∴假设不成立， ∴中至少有一个角的度数大于等于． 20．9个 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理与论证，假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾，则老实人最多有9人，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，那么只要满足第k个人报的数只要大于k且小于，就可推出第k个人没有说谎，据此可得答案． 【详解】解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 学科网（北京）股份有限公司 $