4.4一次函数的应用 强基训练 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

一次函数的应用 强基训练 一、单选题 1．如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 3．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或小时．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点分别为线段的中点，点为上一动点，值最小是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 6．如图，l1反映了某产品的销售收入（单位：元）与销售量（单位：t）之间的关系，l2反映了该产品的销售成本（单位：元）与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始赢利．下列说法不正确的是（　　） A．当销售量为0t时，销售收入为0元 B．当销售量小于4t时，没有赢利 C．当销售量为6t时，赢利1000元 D．当赢利为4000元，销售量为10t 7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小乐比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C．小乐的速度为 D．小文比小乐提前到达客人位置 二、填空题 9．气温随着高度的增加而下降，其一般规律是：从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃；高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为30℃，高空中xkm处的气温为y℃，则当0≤x≤11时，y与x之间的函数关系式是 ． 10．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 11．（1）一元一次方程的解是 ． （2）已知函数，当 时，函数值． （3）直线与x轴的交点坐标是 ． （4）由上述问题可知，一元一次方程的解就是一次函数中当时所对应的 的值；从图象上看，就是一次函数的图象与 轴交点的 ． 12．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 13．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加（不足按计）需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 ． 14．直线与x轴的交点为，则方程的解是 ． 三、解答题 15．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的关系式； (2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？ 16．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息，解决下列问题： (1)求乙离开A城的距离y与x的关系式； (2)求乙出发后几小时追上甲车？ (3)从图象上看，x为何值时，两车之间的路程最大？通过计算说明，最大路程是多少千米？ 17．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题： (1)求轿车出发时，货车与甲地的距离； (2)求线段对应的函数表达式； (3)货车行驶多少时间，两车相距30千米？ 18．我们在地理课上学过，海拔高度每上升，温度下降．某时刻，A市地面温度为．设高出地面处的温度为． (1)写出y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (2)已知A市一山峰高出地面，则这时山顶的温度大约是多少？ (3)此刻，有一架飞机飞过A市上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为，则飞机离地面的高度为多少? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C C D C C 1．A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 2．C 【分析】把方程变形为用x表示y即可． 【详解】解：方程用x表示y为：， 故将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线上， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程的关系，解题关键是明确方程与一次函数的关系，会把方程转化为一次函数． 3．C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为20，可求得t，得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】解：由图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得， 解得， ， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误； 当乙追上甲后，令，， 解得：， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距20千米时，或．故④正确； 综上可知正确的有①②④，共3个． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称中最短路径问题，解题关键是找出点的坐标并求出点的坐标． 作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，利用勾股定理即可求出的最小值． 【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，如图． 令中，则， ∴点B的坐标为； 令中， 则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段、的中点， ∴点，点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∴的最小值为， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 6．D 【分析】利用图象交点得出公司赢利以及公司亏本情况，进而可以求解． 【详解】解：A、当销售量为0t时，销售收入为0元，正确，不符合题意； B、当销售量小于4t时，没有赢利，正确，不符合题意； C、设l1的解析式为y1＝kx， 由题意得：4k＝4000，解得：k＝1000， ∴l1的解析式为y1＝1000x， 设l2的解析式为y2＝k′x+b， 由题意得：，解得：， ∴l2的解析式为y2＝500x+2000， ∴当销售量为6t时，y1＝1000×6＝6000，y2＝500×6+2000＝5000， y1﹣y2＝6000﹣5000＝1000（元）， ∴当销售量为6t时，赢利1000元，正确，不符合题意； D、当赢利为4000元，y1﹣y2＝4000， ∴1000x﹣（500x+2000）＝4000，解得：x＝12， ∴当赢利为4000元，销售量为12t， ∴当赢利为4000元，销售量为10t，错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是要数形结合利用待定系数法求一次函数解析式. 7．C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据，点A的坐标为，得，又直线平分的面积，可得，用待定系数法得直线解析式为，而将直线向上平移2个单位长度后得到直线，即知，，从而得到答案． 【详解】解：∵，点A的坐标为， ∴， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入得： ， 解得 ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移2个单位长度后得到直线， ∴，，， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：结合图象可知，由图象可知，小乐的图象从开始，小文的图象从开始，所以小乐比小文先出发，故A选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故B选项错误，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：， ∴， ∴， ∴小乐的速度为， ∴C选项说法正确符合题意； ∴； ∴，故D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．y=30-6x 【分析】利用地面的气温减去升高xkm下降的温度即可． 【详解】解：根据题意得：y=30-6x（0≤x≤11）． 故答案为：y=30-6x． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，找出基本数量关系，列出解析式是解决问题的关键． 10． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 11． 2 横坐标 【分析】本题考查一元一次方程与一次函数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．一次函数与x轴的交点坐标即令后得到的一元一次方程的解，利用这个知识解答问题即可． 【详解】解（1）， ， ； （2）把代入函数解析式得：， 解得：； （3）与x轴的交点坐标即令，得： ， 解得：， 故坐标为：； （4）由上述问题可知，一元一次方程的解就是一次函数中当时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：①②③④⑤⑥横坐标． 12．4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 13． 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14． 【分析】一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax＋b＝0的解． 【详解】直线与x轴的交点为， ， ， 方程的解为， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键． 15．(1) (2)6元，110千克 【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 观察图象，将，代入得， 解得， 故y与x之间的关系式为； （2）解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为元，日销量为千克， 则， 整理得， 解得或（不合题意，舍去） 当时，， 故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克． 【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解． 16．(1) (2)乙车出发后1.5小时追上甲车 (3)相遇前、相遇后时两车之间的路程最大,最大路程60千米 【分析】（1）设乙对应的函数关系式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式； （2）联立甲乙两车对应的函数解析式求解即可； （3）结合图象，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大，代入求解即可． 【详解】（1）解：设乙对应的函数关系式为 将点（4，300），（1，0）代入得： 解得： ∴乙对应的函数关系式； （2）联立两个函数得： 解得： （小时） ∴乙车出发后1．5小时追上甲车； （3）从图上看，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大 当时，两车之间的路程是（千米） 当时，两车之间的路程是（60千米）． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，从函数图象获取相关信息，求函数值等，理解题意，从函数图象获取相关信息是解题关键． 17．(1)90千米 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）根据函数图象可得货车5小时行驶了300千米，则可得货车的行驶速度，再利用速度乘以时间即可得； （2）利用待定系数法求解即可得； （3）设货车行驶小时，两车相距30千米，先求出直线的解析式，则可得当货车行驶小时，货车与轿车相遇，再分五种情况：①、②、③、④和⑤，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，货车的行驶速度为（千米/小时）， ∵轿车比货车晚出发小时， ∴（千米）， 答：轿车出发时，货车与甲地的距离为90千米． （2）解：设线段对应的函数表达式为， 将点和代入得：，解得， 所以线段对应的函数表达式为． （3）解：设货车行驶小时，两车相距30千米， 由函数图象可知，货车的行驶速度为（千米/小时）， 在段，轿车的行驶速度为（千米/小时）， 在段，轿车的行驶速度为（千米/小时）， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 所以直线的解析式为， 联立，解得， 即当货车行驶小时，货车与轿车相遇， ①当时，则，解得，符合题设； ②当时，则，解得，不符题设，舍去； ③当时，则， 解得，符合题设； ④当时，则， 解得，符合题设； ⑤当时，则，解得，不符题设，舍去； 综上，当或或时，两车相距30千米， 答：货车行驶小时或小时或小时，两车相距30千米． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数的解析式是解题关键． （1）求出高出地面，温度会下降，由此即可得； （2）将代入（1）的结论，求出的值即可得； （3）将代入（1）的结论，求出的值即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，高出地面，温度会下降， 则． （2）解：， 将代入得：， 答：这时山顶的温度大约是． （3）解：将代入得：， 解得， 答：飞机离地面的高度是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $