精品解析：陕西省西安建筑科技大学附属中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各选项中能构成集合的是（ ） A. 比较大的数 B. 中国农业人才 C. 地球上的七大洲 D. 高中学生中的跳远能手 2. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B.  C.  D. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 8. 某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（ ） A. 21 B. 26 C. 31 D. 37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C的等和子集有2个 D. 若集合，则D的等和子集有24个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定为___________. 13. 若集合，且，则___________． 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为50的矩形（）花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则当______m时，矩形的面积最小，且最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 17. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 18. 已知集合，，. （1）若，求； （2）若，求m的取值范围； （3）若，求m的取值集合. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各选项中能构成集合的是（ ） A. 比较大的数 B. 中国农业人才 C. 地球上的七大洲 D. 高中学生中的跳远能手 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的三要素判定选项即可. 【详解】比较大的数、中国农业人才、高中学生中的跳远能手研究的对象都是不确定的， A，B，D错误. 地球上有亚洲、非洲、欧洲、北美洲、南美洲、大洋洲和南极洲七大洲， 研究的对象是确定的，C正确. 故选：C 2. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 3. 若，则的最小值为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因，则，则， 等号成立时， 故的最小值为. 故选：D 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出交点坐标，利用交集的定义求解即可. 【详解】由,解得：,所以， 故选：C 5. 金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断. 【详解】由“甲是金钱豹”可推出“甲是猫科动物”，由“甲是猫科动物”不能推出“甲是金钱豹”， 所以“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B.  C.  D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集定义判断A，根据集合间关系判断B，C，D. 【详解】因为集合， 所以，故A选项错误； ，且不相等，故C，D选项错误； ，故B选项正确. 故选：B. 7. 已知关于x的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据不等式的解集得出，8是关于x的方程的两个不相等的实数根再应用韦达定理计算即可判断选项. 【详解】由题意得，8是关于x的方程的两个不相等的实数根， 则，得， 所以，. 故选：A. 8. 某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（ ） A. 21 B. 26 C. 31 D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】先设出参加不同比赛的人数，再利用容斥原理列出等式，进行求解. 【详解】设该单位共有职工人数为，， 参加比赛的人数为， 设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为， 则，，， 设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数， 同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数， 则，， 设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为， 则，， 则由容斥原理得， 代入相应数值得， 解得， 设只参加羽毛球比赛的人数为， 则由容斥原理得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则（ ） A. p是存在量词命题 B. q是全称量词命题 C. p是假命题 D. 是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词、全称量词命题的定义、及相关概念判定真假即可. 【详解】由题意知：p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确； 因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误； 因为有些梯形（例如直角梯形）的对角线不相等，所以q是假命题，是真命题，D正确. 故选：ABD 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】由，，得，则，即，A错误，B正确. 由，，得，则，，C正确，D错误. 故选：BC 11. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C的等和子集有2个 D. 若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定为___________. 【答案】，. 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式回答即可. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“，”的否定为，. 故答案为：，. 13. 若集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想结合集合元素的互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性. 故答案为： 14. 如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为50的矩形（）花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽0.5m，东西两侧的草坪宽1m，则当______m时，矩形的面积最小，且最小值为______. 【答案】 ①. 5 ②. 72 【解析】 【分析】利用基本不等式可求面积的最小值及何时取最小值. 【详解】设的长度为，的长度为，得， 则矩形的面积为， 而，当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集、并集的定义求解即可； （2）根据推出，再求的范围即可. 【小问1详解】 因为集合 ，由 ，解得 ， 所以集合 ， 可得当时，集合 ， 又因为全集 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以 ， 又因为集合 ， 所以 ， 即实数的取值范围为 ． 16. 已知，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 由题意得， 则，， 得， 所以. 【解析】 【分析】（1）应用不等式的性质计算可得范围 （2）应用不等式的性质计算即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先根据基本不等式得出最小值,再计算写出取等条件； （2）先由条件等式得出1，再应用基本不等式计算即可得出最小值. 【小问1详解】 因为， 所以 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 【小问2详解】 由题意得， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为3. 18. 已知集合，，. （1）若，求； （2）若，求m的取值范围； （3）若，求m的取值集合. 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得出集合A,再应用并集运算得出集合即可； （2）分和两种情况根据集合相等列不等式组可解； （3）分和两种情况列不等式组可解. 【小问1详解】 由，得或，则或. 若，则，， 所以或. 【小问2详解】 当时，，得. 当时，，不等式组无解. 故m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得. 先研究， 当时，，解得； 当时，或，解得或. 所以时，或. 再研究， 当时，，解得； 当时，，解得. 所以时，或. 综上，m的取值集合为或. 19. 若任意满足（），都有不等式恒成立，则称该不等式为“不等式” （1）已知不等式为“不等式”，求m的取值范围； （2）判断不等式是否为“不等式”，并说明理由； （3）若，，，证明：不等式是“不等式”. 【答案】（1） （2）不是“不等式”. 理由如下： （方法一）二次函数图象的对称轴为直线， 当时，二次函数取得最小值，且最小值为， 所以不是“不等式”. （方法二）由，得， 解得. 因为，所以对不恒成立， 所以不是“不等式”. （3）证明：由题意得， ①当时，，则，符合题意. ②当时，，研究二次函数的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线， 则当时，二次函数取得最小值，且最小值为，符合题意. ③当时，，由二次函数的图象可知， 当或时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，. 故是“不等式”. 【解析】 【分析】（1）根据题意判断在上恒成立即可； （2）当时即可判断； （3）判断最小值，最大值都大于0即可. 【小问1详解】 由及，得. 因为，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $