精品解析：四川省华蓥中学2025-2026学年高三上学期暑期提升第二次月考（8月）数学试题

高2026届2025年暑期提升第二次月考 数学试卷 考试日期：2025年08月 注意事项 1.本试卷满分150分，考试时间150分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.考试结束后，将答题卡、试卷、草稿纸全部交回. 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：D 2. 设全集，集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合中的不等式的解集，然后根据集合的补集、交集进行运算即可. 【详解】因为集合， 所以解得不等式的解集为. 所以或，又集合， 所以. 故选：B. 3. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式. 【详解】， 又，则 故选：B 5. 计算的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数和组合数公式和性质计算即可. 【详解】. 故选：A. 6. 过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可设，再由切点弦直线得到，，再利用面积公式结合三角恒等变形求值域即可. 【详解】设，由题知， 则同时也在圆上， 又在圆上，则的方程为， ，，. 故选：A. 7. 若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及正弦定理，同角三角函数的基本关系式将化简得，再将用和来表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】，，即， 由正弦定理得，， ，即， ，① 当时，，，， 此时，不满足题意，， ①式两边同时除以得，， 不妨设，则， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两两垂直，三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球，从而求出外接球半径，得到表面积. 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 9. 已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的半径为2 B. 满足的点M有1个 C. 的最大值为 D. 若点P在x轴上，则满足的点P有两个 【答案】AC 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D． 【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确； 选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是， 最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误； 选项C：令，则，所以， 将点的坐标代入圆的方程并整理，得， 依题意有，即， 解得，因此的最大值为，故C正确． 选项D：不妨设，由于，所以， 整理得． 因为点在圆上，所以，则， 因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点， 所以，得， 所以符合要求的点是唯一的，故D错误． 故选：AC. 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断ABD，作差可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：， 因为，所以，不确定， 所以符号不确定，故C错误； 对于D：因为，所以，又，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 若是奇函数，则的最小值为1 C. 当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有两个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简得，进而根据周期可判断A，，由题意可得，结合已知可判断B，根据函数图象的平移可判断C，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D. 【详解】 ， 对于A： 若相邻对称轴距离为，则周期，由得，故A错误． 对于B： ，若为奇函数， 则，所以，又，所以最 小 值 为 1， 故B正 确 ． 对于C： 时，向左平移个单位后，解析式为 ，故C正确． 对于 D： 时，， 即， 需有且仅有两个零点，故，解得，故D正确． 故选：BCD, 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解. 【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得， 即对一切实数x恒成立． 当时，不可能恒成立， 从而由二次函数的性质可得，只能，解得． 因此实数a的取值范围为． 解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得， 令，则原问题转化为对恒成立． 当时，抛物线开口向下，显然不合题意； 当时，，其图像是一条直线，也不合题意； 当时，抛物线开口向上，只要，即． 解得或，∴，因此实数a的取值范围为． 解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）： ∵恒成立． ∴问题转化为对恒成立，从而． 令，则， 令，则或． 从而在，上单调递增，在上单调递减． 又，且当时，，故． 于是，因此实数a的取值范围为． 故答案为：. 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 14. 某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为__________.（用具体数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】根据分布计数原理以及不相邻问题插空法研究得到答案. 【详解】吹奏节目排在最前或最后，共有2种排法； 剩余2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，要求2个弹拨节目不能相邻， 所以排列非弹拨节目，共有种排法，其非弹拨节目3个，形成4个空， 再排放个弹拨节目，共有排法，因为弹拨节目有顺序，所以弹拨节目插入方式共有种排法， 所以除吹奏外，排列方式共有种； 所以不同的排法种数为， 故答案为：144. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）设，求的最大值及取得最大值时的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得出，进而得出，即可求出； （2）先利用正弦定理得出，进而化简得出，即可求出最值并得出此时，即可求出，最后利用面积公式即可. 【小问1详解】 因，则， 利用正弦定理可化为， ， 又因为，故，故，即， 又，所以，得到. 【小问2详解】 由题意及（1）知，， 由正弦定理可得，则， 故 ， 其中，且， 因为，故，而， 故当，即时，取最大值1，的最大值为， 故， 所以， 又， 故， 此时. 16. 通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46 5.77 8.79 11.62 8.13 物理 9.02 9.43 8.68 15.15 10.49 7.93 化学 6.31 14.50 5.98 7.08 生物 7.96 8.78 15.25 10.94 10.03 8.37 9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 （3）化学、生物 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）的所有可能取值为，物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为，求出对应的概率可得分布列，进一步结合期望公式求解期望即可； （3）设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量，的所有可能取值为，计算出对应的概率，进一步得，故只需所选的两科目在该次考试中模型运行“有效”的概率分别是最大和第二大即可. 【小问1详解】 因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望； 【小问3详解】 物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量， 则的所有可能取值为， 则， 所有， 为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大， 只需最大即可， 而， 故只需令即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科. 17. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， 又中平面，平面， 平面，又因为平面， 平面平面， . （2） 在等边中，为的中点， ， 侧面为矩形，． ， 又，平面， 平面， 平面，， 又，. （3） 【解析】 【分析】（1）先用线面平行判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理即可； （2）先用线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的定义得出，结合，可得； （3）先找到直线与平面所成的角，用余弦定理求出，再根据线面垂直判定定理得出平面，找到棱锥的高，计算底面梯形的面积，最后根据锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过作的垂线，垂足为， 由（1）（2）可知平面， 平面 又平面， ， 又，且两直线在平面内， 平面， 又，则就是与平面所成的角， ， 在中由余弦定理可得， 所以，易知，即为的中点， ，， 又且，且两直线在平面内， 平面， 四边形为梯形且， ， 平面， . 18. 已知和，直线与椭圆切于点. （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上，可得，再根据直线与椭圆相切，列方程，可得椭圆方程，进而可得离心率； （2）设点，由已知可确定方程与，结合三角形面积可得，再由点在椭圆上，可得方程组，联立方程组即可得解. 【小问1详解】 由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； 【小问2详解】 由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线. 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 【答案】（1） （2） e （3） 证明：设， 则， 设，则， 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解； （2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可； （3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论. 【小问1详解】 因为，所以,， 则， 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届2025年暑期提升第二次月考 数学试卷 考试日期：2025年08月 注意事项 1.本试卷满分150分，考试时间150分钟. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 4.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.考试结束后，将答题卡、试卷、草稿纸全部交回. 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，，则（    ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 9. 已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆C的半径为2 B. 满足的点M有1个 C. 的最大值为 D. 若点P在x轴上，则满足的点P有两个 10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 若相邻两条对称轴的距离为，则 B. 若是奇函数，则的最小值为1 C. 当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D. 若在区间上有且仅有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分. 12. 已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为__________． 13. 已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 14. 某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为__________.（用具体数字作答） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）设，求的最大值及取得最大值时的面积． 16. 通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如表1所示． 表1 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 表2为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 表2 数学 6.46 5.77 8.79 11.62 8.13 物理 9.02 9.43 8.68 15.15 10.49 7.93 化学 6.31 14.50 5.98 7.08 生物 7.96 8.78 15.25 10.94 10.03 8.37 9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，代表模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． （1）在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； （2）在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为，求的分布列和数学期望； （3）若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 17. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． （1）求证：； （2）求证：； （3）设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 18. 已知和，直线与椭圆切于点. （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 19. 已知函数. （1）求函数在上的单调递减区间； （2）当时，，求的最大值； （3）证明：方程在上有唯一实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $