第21章 一元二次方程（单元测试）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•杭州期中）观成数学节的“π徽章”深受同学们喜爱，据统计，2023年观成定制“π徽章”1000个，2025年定制1300个，设“π徽章”定制量的年平均增长率为x，（x＞0），则可列方程为（　　） A．1000（1+x）2＝1300 B．1000（1+x2）＝1300 C．1000（1+2x）＝1300 D．1000x2＝1300 2．（2025春•太湖县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 3．（2025•深圳模拟）方程x（x﹣6）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣6 B．x1＝0，x2＝6 C．x＝6 D．x＝0 4．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 5．（2025•濮阳一模）一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 6．（2024秋•天河区期末）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 7．（2024秋•金沙县期末）将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 8．（2025春•徐汇区校级期中）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．“两个相等的实数根 D．无法确定 9．（2024秋•西吉县校级期末）已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 10．（2024秋•恩平市期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝9 二．填空题（共5小题） 11．（2025•正阳县二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 12．（2025•前郭县三模）关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　 ． 13．（2025•林周县一模）已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 　 　 ． 14．（2024秋•安定区期末）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　 　 ． 15．（2025•普陀区二模）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根，那么a的值等于　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2025春•重庆校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣2）x2+x+m﹣4＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 17．（2025春•濉溪县期中）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 18．（2025春•钱塘区期末）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0 （2）x2+4x﹣5＝0 19．（2024秋•娄底校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥12，求m的取值范围． 20．（2025春•博山区校级期中）用适当的方法解方程： （1）x2+2x+3＝0； （2）3x（x﹣2）＝8﹣4x． 21．（2025春•哈尔滨校级月考）阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）． 解决问题： （1）验证关系： 给定一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和﹣2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式　 　 ； （3）能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝11，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根， ∵x1+x2＝1﹣2a，，又∵（x1+2）（x2+2）＝11，∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝5． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 22．（2025春•包河区期中）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元． （1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率； （2）如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份． 23．（2025•象州县一模）商场某种新商品每件的进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售 　 　 件商品，商场获得的日盈利是 　 　 元； （2）在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 第21章 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•杭州期中）观成数学节的“π徽章”深受同学们喜爱，据统计，2023年观成定制“π徽章”1000个，2025年定制1300个，设“π徽章”定制量的年平均增长率为x，（x＞0），则可列方程为（　　） A．1000（1+x）2＝1300 B．1000（1+x2）＝1300 C．1000（1+2x）＝1300 D．1000x2＝1300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】利用2025年观成定制“π徽章”的个数＝2023年观成定制“π徽章”的个数×（1+“π徽章”定制量的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1300． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2025春•太湖县期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝1 D．x2﹣2xy﹣y2＝0 【考点】一元二次方程的定义． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A． ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，不符合题意； C． （x﹣1）（x+2）＝1，整理可得x2+x﹣3＝0，是一元二次方程，符合题意； D．x2﹣2xy﹣y2＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 3．（2025•深圳模拟）方程x（x﹣6）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣6 B．x1＝0，x2＝6 C．x＝6 D．x＝0 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；一元二次方程及应用． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解可得． 【解答】解：∵x（x﹣6）＝0， ∴x＝0或x﹣6＝0， 解得：x1＝0，x2＝6， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型． 4．（2024秋•海港区期末）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴，x1x2＝﹣2024，x1+x2＝1， 4049， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，注意正确化简计算． 5．（2025•濮阳一模）一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，k的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的方程，求出k的值即可． 【解答】解：由题意可得：Δ＝22﹣4k＝0， 解得：k＝1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键． 6．（2024秋•天河区期末）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程（　　） A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm， ∴原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm． 根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20， 即（30+2x）（20+2x）＝1200． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2024秋•金沙县期末）将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；符号意识． 【答案】C 【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 8．（2025春•徐汇区校级期中）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+1不经过第四象限，则关于x的方程x2+x﹣k＝0的实数根的情况为（　　） A．无解 B．两个不相等的实数根 C．“两个相等的实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式；一次函数的性质． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】由直线解析式求得k≥0，然后确定Δ的符号即可． 【解答】解：∵直线y＝x+k不经过第四象限， ∴k≥0， ∵关于x的方程x2+x﹣k＝0， ∴Δ＝12+4k＞0， ∴关于x的方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9．（2024秋•西吉县校级期末）已知方程x2+2x+1＝0的两个实数根分别是m，n，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．2 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；模型思想． 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 10．（2024秋•恩平市期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝9 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】计算题． 【答案】A 【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝5， 配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6， 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•正阳县二模）已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0， 解得k， 即k的取值范围为k． 故答案为：k， 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 12．（2025•前郭县三模）关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　c＜2　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】c＜2． 【分析】由原方程由两个不相等的实数根，可得出根的判别式Δ＞0，解之即可得出c的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4×1×2c＞0， 解得：c＜2， ∴c的取值范围为c＜2． 故答案为：c＜2． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 13．（2025•林周县一模）已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 　3　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．（2024秋•安定区期末）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ 　﹣2　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1， 所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．（2025•普陀区二模）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根，那么a的值等于　0　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】0． 【分析】先化为一般形式，再根据Δ＝0列式计算即可． 【解答】解：由（x﹣1）2＝a得x2﹣2x+1﹣a＝0， ∵关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝a有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即4﹣4（1﹣a）＝0， 解得a＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握Δ＝0时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 三．解答题（共8小题） 16．（2025春•重庆校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣2）x2+x+m﹣4＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得x1＝1，x2＝2，分别代入一元二次方程x2﹣3x+k＝0求出对应的m，同时满足m﹣2≠0即可． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k≥0， 解得：； （2）∵； ∴k的最大整数为2， 方程x2﹣3x+k＝0则为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 由条件可知当x＝1时，（m﹣2）+1+m﹣4＝0， 解得； 当x＝2时，4（m﹣2）+2+m﹣4＝0， 解得m＝2， 而m﹣2≠0， ∴m的值为． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． 17．（2025春•濉溪县期中）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）（x1+1）（x2+1）； （2）． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x22，x1x2， （1）利用乘法公式展开得到原式＝x1x2+x1+x2+1，然后利用整体代入的方法计算； （2）通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x1+x22，x1x2， （1）原式＝x1x2+x1+x2+12+1； （2）原式． 【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 18．（2025春•钱塘区期末）解下列方程： （1）x2﹣3x＝0 （2）x2+4x﹣5＝0 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可； （2）利用因式分解法把原方程化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3； （2）（x+5）（x﹣1）＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝1.. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 19．（2024秋•娄底校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2﹣x1﹣x2≥12，求m的取值范围． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）m≤4； （2）1≤m≤4． 【分析】（1）根据方程根与系数，结合方程根的判别式Δ≥0时，方程有两个实数根来求解； （2）先求出x1+x2＝﹣6，x1x2＝2m+1，再结合2x1x2﹣x1﹣x2≥12及（1）的结论求解． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×（2m+1）＝﹣8m+32≥0， ∴m≤4． （2）∵方程的两个实数根为x1，x2， ∴，， ∴2x1x2﹣（x1+x2）＝2×（2m+1）+6． ∵2x1x2﹣x1﹣x2≥12， ∴2×（2m+1）+6≥12， ∴m≥1． ∵m≤4， ∴1≤m≤4． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“Δ≥0时，方程有两个实数根”，（2）根据根与系数的关系结合2x1x2﹣x1﹣x2≥12及（1）的结论来求解． 20．（2025春•博山区校级期中）用适当的方法解方程： （1）x2+2x+3＝0； （2）3x（x﹣2）＝8﹣4x． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】运算能力． 【答案】（1）方程无实数根； （2）． 【分析】（1）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，可通过判别式Δ＝b2﹣4ac判断根的情况； （2）先将方程进行变形，再通过因式分解求解． 【解答】解：（1）对于一元二次方程x2+2x+3＝0，其中a＝1，b＝2，c＝3． 根据判别式Δ＝b2﹣4ac，将a＝1，b＝2，c＝3代入可得：Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8， ∵Δ＝﹣8＜0， ∴此方程无实数根； （2）3x（x﹣2）＝8﹣4x， 3x（x﹣2）+4（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x+4）＝0， 即x﹣2＝0或3x+4＝0， 解得：． 【点评】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法，如判别式判断根的情况，因式分解法等． 21．（2025春•哈尔滨校级月考）阅读材料：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a≠0），其两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：． 这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta'sformulas）． 解决问题： （1）验证关系： 给定一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，请验证其两个根的和与积是否分别满足和； （2）应用关系： 若一元二次方程的两个根分别为3和﹣2，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式　x2﹣x﹣6＝0　 ； （3）能力素养： 学习了根与系数的关系后，陶老师布置了一道课后思考题，题目是：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）＝11，求a的值． 小秦同学的解法如下： 解：x1和x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2＝0的两个实数根， ∵x1+x2＝1﹣2a，，又∵（x1+2）（x2+2）＝11，∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0，解得a1＝﹣1，a2＝5． 你认为小秦同学的解法是否正确？如果正确，请写出数学理论依据；如果不正确，请写出错因并改正． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）是； （2）x2﹣x﹣6＝0（答案不唯一）； （3）小秦同学的解法不正确，理由见详解． 【分析】（1）根据求根公式求出2x2﹣5x+1＝0的两个根，再根据题意求出x1+x2和x1•x2即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据题意得出Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解答即可． 【解答】解：（1）2x2﹣5x+1＝0， 解得，， ∴， ； （2）设一元二次方程的一般式是x2+bx+c＝0， ∴， 解得：b＝﹣1，c＝﹣6， ∴这个一元二次方程的一般形式为x2﹣x﹣6＝0； 故答案为：x2﹣x﹣6＝0； （3）小秦同学的解法不正确， 理由：x2+（2a﹣1）x+a2＝0， ∴x1+x2＝1﹣2a，， 又∵（x1+2）（x2+2）＝11， ∴（x1•x2）+2（x1+x2）+4＝11， 则a2+2（1﹣2a）﹣7＝0，即a2﹣4a﹣5＝0， 解得：a1＝﹣1，a2＝5， 又∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2≥0，解得：， ∴a＝﹣1． 【点评】此题考查了一元二次方程中根与系数和根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中根与系数之间关系和根的判别式Δ＝b2﹣4ac． 22．（2025春•包河区期中）某水果店今年1月份的销售利润是2万元，2、3月份的销售利润均有所增长，3月份的销售利润达到4.5万元． （1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率； （2）如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破10万元的月份． 【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算． 【专题】一次方程（组）及应用． 【答案】（1）该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是50%； （2）月销售利润首次突破10万元的是5月份． 【分析】（1）设该水果店2、3月份月平均增长率为x，根据题意列方程2（1+x）2＝4.5求解即可； （2）将（1）求得的增长率求出五月份的销售利润，然后与10万元比较，若不能突破，继续计算下一个月，直至突破10万元为止． 【解答】解：（1）设该水果店2、3月份月平均增长率为x， 则2（1+x）2＝4.5，解得x＝0.5，（不合题意，舍去）， 答：该水果店2、3月份的销售利润月平均增长率是50%； （2）由（1）得4月份销售利润为4.5×（1+50%）＝4.5×1.5＝6.75＜10， 5月份销售利润为4.5×1.52＝10.125＞10， 答：月销售利润首次突破10万元的是5月份． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、代数式求值等知识点，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 23．（2025•象州县一模）商场某种新商品每件的进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售 　30　 件商品，商场获得的日盈利是 　1500　 元； （2）在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（1）30；1500； （2）当每件商品的售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元． 【分析】（1）根据题意，可得每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设每件商品的售价定为x元，列出方程，进行解答，即可． 【解答】解：（1）∵当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件， ∴当每件商品售价定为170元时，比每件商品销售高170﹣130＝40（元）， ∴每天可销售70﹣40＝30（件），商场获得的日盈利为：（170﹣120）×30＝1500（元）； 故答案为：30；1500； （2）设每件商品的售价定为x元， ∴每件商品的利润为：（x﹣120）元，每天销售的商品数量为：70﹣（x﹣130）＝200﹣x（件）， ∴（x﹣120）（200﹣x）＝1600， ∴（x﹣160）2＝0， 解得：x1＝x2＝160， ∴当每件商品的售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握一元二次方程方应用，根据题意，得到等量关系，列出方程，进行解答，即可． 学科网（北京）股份有限公司 $