精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列选项中的代数式，是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母． 利用分式定义进行解答即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法进行计算，即可判断出正确答案． 【详解】解：A、根据积的乘方法则得（﹣2a）2＝4a2， ∴原式错误； B、根据完全平方公式得（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴原式错误； C、根据同底数幂的乘法法则得a2•2a2＝2a4， ∴原式正确； D、根据同底数幂的乘法法则得a•2a2＝2a3， ∴原式错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的相关运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 3. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，进行逐一化简即可判断． 【详解】，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 5. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，逆用法则是解决本题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， 则 ． 故选：D． 6. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 7. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，则此项符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 8. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为，需分子的值为且分母的值不为，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得， 故选：． 9. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵与关于直线AD对称， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算． 10. 如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、等腰三角形的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC， ∴PA＝PC， 故①正确； ∵PA＝PB，PA＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA， ∵∠BPC＝∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA， ∴∠BPC＝2∠BAC， 故②错误； 同理：∠APC＝2∠ABC， 故④正确； ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC， ∵∠BPC+∠PCB+∠PBC＝180°， ∴2∠BAC+2∠PCB＝180°， ∴∠ABP+∠BCP+∠CAP＝90°， 故③正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质等知识，根据线段垂直平分线性质证明PA＝PB＝PC是解题关键． 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 将0.000000068用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学计数法的表示方法即可得出答案． 【详解】将0.000000068用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答． 【详解】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（-2，3）． 故答案为：（-2，3）． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标．解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征． 13. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 14. 分式有意义，字母x满足的条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件．根据分式有意义的条件可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 16. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是对积的乘方及幂的乘方的考查，熟练掌握积的乘方是解决本题的关键． 根据积的乘方及幂的乘方直接计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 17. 若实数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式应用及平方的非负性的应用，先把原方程化为，根据平方的非负性求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 中，，的垂直平分线交直线于点，若，则是_______度． 【答案】61或29##29或61 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图1，∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故是61或29度． 故答案为：61或29． 19. 若x＝+1，y＝﹣1，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】原式先化简，再把x与y的值代入计算即可． 【详解】 当x＝+1，y＝﹣1时， 所以的值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分及二次根式的运算，本题先化简后再求值更简单． 20. 如图，中，，点D在上，连接为的角平分线，过的中点F作的垂线，点G为垂足，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形综合，熟练掌握等腰三角形性质，三角形内角和定理，等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，是解题的关键． 根据等腰三角形性质可得，得，得，根据角平分线计算与三角形外角性质可得， ，∴可得为等边三角形，在上截取，连接，得，可得，由，可得．结合中点性质可得，即得． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴． ∴． ∴为等边三角形． ∴． 在上截取，连接． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵F为中点， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三．解答题（60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据分式的乘除法和加法可以解答本题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 22. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的端点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出等腰，点C在小正方形顶点上； （2）在（1）的条件下确定点C后，再确定点D，点D在小正方形顶点上，请你连接，使，直接写出四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析；3 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格及勾股定理画出三角形即可； （2）利用网格确定点D，且，再利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求． 四边形面积为：． 故答案为：3． 23. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 先根据完全平方公式和单项式乘以多项式计算，再合并，然后代入x与y的值，即可求出答案． 【详解】解： 当时， 原式． 24. 如图，中，，点D、E分别在上，交于点F． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）、、、． 【解析】 【分析】（1）先证，再由平行线的性质进而得，则，因此，然后证，即可得出结论； （2）由（1）得：，，，则、是等腰三角形，，，得是等腰三角形，，则是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图中所有的等腰三角形为、、、， 理由如下： 由（1）得：，，， ∴、是等腰三角形，，， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 25. 甲、乙两个筑路队，甲筑路队每天比乙筑路队每天多筑路100米，甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米； （2）甲、乙两个筑路队合作筑路30000米，若要求乙筑路队筑路不超过30天，甲筑路队至少筑路多少天？ 【答案】（1）甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 （2）甲队至少筑路天 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； 【小问2详解】 解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 26. 中，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点D在的延长线上，连接，过点B作的垂线交于F，点E为垂足，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在上，连接，若，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再由勾股定理解答即可； （2）证明，即可求证； （3）延长至M，使，连接，延长至点N，使，连接，证明，可得，设，则，，根据三角形外角的性质可得，再由，可得，从而得到，可证明，从而得到，进而得到，继而得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图2，延长至M，使，连接，延长至点N，使，连接， 由（2）得：， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在的延长线上，，且实数满足． （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，连接，若平分，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点E在的延长线上，连接，若，，求点A的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得 得出， 可证得结论； （2）在轴上取点，使， 连接， 证明，由全等三角形的性质得出， 由四边形内角和证得， 则可求出答案； （3）在x轴的正半轴上取点G，使，过点C作轴于点H，根据角平分线及等边三角形的判定得出为等边三角形，过点D作于M，根据等腰三角形的性质确定，得出，再由全等三角形的性质及三角形内角和定理得出，得出，证明，根据等量代换得出，设，确定，理由各角之间的关系得出，再由等角对等边得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 如图，在轴上取点，使，连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 在x轴的正半轴上取点G，使，过点C作轴于点H， ∵平分， ， ， 为等边三角形， ∴， 过点D作于M， 由（2）得， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，与交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年八年级上学期期末考试数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列选项中的代数式，是分式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 6. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 7. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 分式的值为，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P．以下结论：①PA＝PC；②∠BPC＝90°＋∠BAC；③∠ABP＋∠BCP＋∠CAP＝90°；④∠APC＝2∠ABC．一定正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 将0.000000068用科学记数法表示为_______． 12. 点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为__________ ． 13. 化简：______． 14. 分式有意义，字母x满足的条件为______． 15. 分解因式：a3－a=___________ 16. 计算______． 17. 若实数满足，则的值为______． 18. 中，，的垂直平分线交直线于点，若，则是_______度． 19. 若x＝+1，y＝﹣1，则的值为_____． 20. 如图，中，，点D在上，连接为的角平分线，过的中点F作的垂线，点G为垂足，若，则的长为______． 三．解答题（60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的端点A、B均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出等腰，点C在小正方形顶点上； （2）在（1）的条件下确定点C后，再确定点D，点D在小正方形顶点上，请你连接，使，直接写出四边形的面积为______． 23. 先化简，再求代数式的值，其中． 24. 如图，中，，点D、E分别在上，交于点F． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形． 25. 甲、乙两个筑路队，甲筑路队每天比乙筑路队每天多筑路100米，甲筑路队筑路18000米所用时间与乙筑路队筑路15000米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米； （2）甲、乙两个筑路队合作筑路30000米，若要求乙筑路队筑路不超过30天，甲筑路队至少筑路多少天？ 26. 中，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点D在的延长线上，连接，过点B作的垂线交于F，点E为垂足，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点G在上，连接，若，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在的延长线上，，且实数满足． （1）如图1，求证：为等边三角形； （2）如图2，连接，若平分，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点E在的延长线上，连接，若，，求点A的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $