专题01 全等三角形性质及其判定重难点题型专训（4个知识点+12大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题01 全等三角形性质及其判定重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 过直线外一点作已知直线的平行线 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 旋转模型 题型十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和 拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度 拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度 拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 拓展训练五 全等三角形的综合问题 知识点一： 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是 ．（填序号） 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，，点A，D是对应点，，则的长为 ． 知识点三：全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图是两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形中， ；在四边形中， ， ． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形四边形，若，，，则 ．    3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    4．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 1．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 3．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）如图，，，则 ． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【经典例题三 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例3】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 3．（24-25八年级上·湖北随州·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是全等三角形的 ．三角形全等的依据是 ． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 【经典例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 【经典例题五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例5】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 4．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【经典例题六 用HL证全等（HL）】 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    4．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【经典例题七 尺规作图——作三角形 】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25八年级上·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【经典例题八 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例8】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．同旁内角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（　　） A．以为圆心，长为半径的弧 B．以为圆心，长为半径的弧 C．以为圆心，长为半径的弧 D．以为圆心，长为半径的弧 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 ． 3．（2025·北京东城·模拟预测）阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P的直线m，使得m∥l． 小东的作法如下： 作法：如图2， （1）在直线l上任取点A，连接PA； （2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C； （3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D； （4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m． 老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，每个小方格都是边长为1 的正方形，网格中有三个格点A、B、P．按要求进行下列用直尺作图，并标出相应的字母． ① 画线段，且； ② 在上找一点N，使线段的长度最短． （2）如图2，已知，点M在边上，利用直尺和圆规在上作一点N，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·开学考试）在和中，，若证，还需补充一个条件，错误的补充方法是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，已知，添加下列哪个条件不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 3．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，在中，过点C作，点D是上一点，连接交于点E，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例10】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，给出下列四个条件，，，，，从中任选三个条件能使的共有 组． 3．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在和中，下列三个论断：    （1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果 ，那么 （填序号）． 4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【经典例题十一 旋转模型】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AB＝，△AB'C'可以由△ABC绕点A逆时针旋转得到（B与B'对应，C与C'对应），连接CB'，且C、B'、C'恰好在同一条直线上，则CC'的长为（　　）    A．4 B． C． D．3 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点重合，点正好在的延长线上，，，，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【经典例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【例12】（2025八年级上·江苏南通·模拟预测）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8； 如果将图中格点三角形面积记为S，频数记为x，根据上述信息计算:当S=3时，x= ．                                   3．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．只用直尺（不带刻度） (1)如图1，如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上，请在这个网格中作线段AB的垂直平分线； (2)如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度】 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，点，在线段上，，，．若，，求的度数． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度】 1．（24-25八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，请你利用“转化策略”求出图中阴影部分的面积． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求证； (2)如果，，求的面积． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【拓展训练五 全等三角形的综合问题】 1．（24-25八年级上·山西·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下面是几个大小相同的正六边形，请仔细观察A，B，C，D四选项中的图案，其中与所给原图形不相同的是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，是四个社区服务中心．在一条直线上，，之间也有道路相连，且道路与垂直，，之间隔了一个湖泊．现决定在湖泊上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥的长至少为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，于点E，于点F，则下列条件中，能判定的有 ．（请填写序号）①；②；③；④． 9．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 12．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 13．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，是射线上的一点，在射线上求作一点，连接，使得．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 15．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形性质及其判定重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念与性质 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 过直线外一点作已知直线的平行线 题型九 添加条件使三角形全等 题型十 灵活选用判定方法证全等 题型十一 旋转模型 题型十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和 拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度 拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度 拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积 拓展训练四 全等三角形中的动点问题 拓展训练五 全等三角形的综合问题 知识点一： 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是 ．（填序号） 【答案】⑤和⑦ 【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答． 【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形， 故答案为：⑤和⑦． 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键． 知识点二：全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查了全等的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由图可知：是的对角，根据全等三角形对应角相等可得，计算求解即可． 【详解】解：由全等的性质可知，， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，，点A，D是对应点，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，直接根据全等三角形性质得出结论即可． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：7． 知识点三：全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等． 根据全等三角形的性质可得，，，再根据边长的关系求解即可． 【详解】解：∵≌， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的长为4． 故选：C ． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图是两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形中， ；在四边形中， ， ． 【答案】 10 H 6 【分析】本题考查了全等形的性质，根据全等形的对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形全等， ∴，，， 故答案为：10，H，6． 知识点四：全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，，结合的判定方法，添加两边的夹角即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 故应添加的条件为． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形四边形，若，，，则 ．    【答案】105 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和定理．根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数． 【详解】解：四边形四边形， ′，． ， ， ，， ． 故答案为：105． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图是由与四边形全等的6个四边形拼成的图形，若，则的长为 cm．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质即可求解． 【详解】∵图形与四边形全等的6个四边形拼成的图形 ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析． 【分析】（1）根据图形和已知条件进行选择即可； （2）由题意可知，和是直角三角形，再利用“”，即可证明全等． 【详解】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为， 故答案为：，； （2）证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【经典例题二 全等三角形的概念与性质】 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键． 1．（24-25八年级上·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和和全等三角形的性质，根据三角形的内角和求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 3．（2025八年级上·黑龙江·模拟预测）如图，，，则 ． 【答案】/度 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： 4．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形，关键是由全等三角形的性质推出，． （1）由全等三角形的性质推出,,由邻补角的性质得到, 求出, 推出是等腰直角三角形； （2）求出的面积的面积, 得到的面积的面积,即可求出四边形的面积. 【详解】（1）证明: ∵, ∴,, ∵, ∴, ∴是等腰直角三角形； （2）解：， ∴的面积的面积, ∵, ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积． 【经典例题三 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例3】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 1．（24-25八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得． 【详解】解：①根据还需要添加一个条件是， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②根据还需要添加一个条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或）． 3．（24-25八年级上·湖北随州·期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是全等三角形的 ．三角形全等的依据是 ． 【答案】 对应角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有． 从作图可知，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：， 理由是：从作图可知， ∵在和中 ， ， ∴（全等三角形的对应角相等）， 故答案为：对应角相等，． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等． 先根据等式性质，得到，再根据即可判定． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴． 【经典例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此解答即可． 【详解】解：根据题意得， 在和中， ， ， 故选：C． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．若，则的度数是 ． 【答案】/96度 【分析】根据SAS证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据，求出，根据全等三角形的判定定理可推出，进而得出． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，做题的关键是找出证三角形全等的条件． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴． 【经典例题五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例5】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 2．（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第 块去商店． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用，显然第③中有完整的三个条件，用易证需要的三角形与原三角形全等，学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及它们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．由题意可求得，利用即可判定． 【详解】证明：， ， ． 在与中， ， ． 【经典例题六 用HL证全等（HL）】 【例6】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，角（）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当角为脊柱侧弯．已知，，，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若小明是轻度脊柱侧弯（），直接写出与相等的角： ． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键． （1）根据可证明与全等； （2）根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴即 ∴； （2）解：∵，， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴又， ∴． 故答案为：，． 【经典例题七 尺规作图——作三角形 】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项D正确． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 作射线，在射线上截去，尺规作出，两线相交于点A，连接，则即为所求． 【详解】解：如答图，即为所求． 【经典例题八 过直线外一点作已知直线的平行线】 【例8】（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．同旁内角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两直线平行，内错角互补 【答案】B 【分析】本题主要考查命题真假的判断、对顶角、平行线性质、平行公理等知识点，掌握平行线的性质以及平行公理成为解题的关键． 根据对顶角、平行线性质、平行公理逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 若两直线不平行，同旁内角大小不确定，故此命题为假命题，不符合题意； B．根据对顶角定理，对顶角一定相等，故此命题为真命题，符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若该点在已知直线上，则无法作平行线．题干未限定为“直线外一点”，表述不严谨，故此命题为假命题，不符合题意； D． 根据平行线性质定理，两直线平行时，内错角相等，而非互补，故此命题为假命题，不符合题意． 故选：B． 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（　　） A．以为圆心，长为半径的弧 B．以为圆心，长为半径的弧 C．以为圆心，长为半径的弧 D．以为圆心，长为半径的弧 【答案】C 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】由作图可知作图步骤为： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于，， ②以点为圆心，以为半径画弧，交于， ③以点为圆心，以为半径画弧，交弧于， ④过点作射线， 根据内错角相等两直线平行，可得． 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，所用方法正确的是 ． 【答案】甲、乙 【分析】本题考查了平行线的判定、尺规作图、等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图是解题关键．甲：根据同位角相等，两直线平行即可判断甲所用方法正确；乙：如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可得，从而可得，然后根据同位角相等，两直线平行即可判断乙所用方法正确． 【详解】解：如图，甲所用方法正确． 由作图可知，， 则． 如图，乙所用方法正确． 由作图可知，，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所用方法正确的是甲、乙， 故答案为：甲、乙． 3．（2025·北京东城·模拟预测）阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P的直线m，使得m∥l． 小东的作法如下： 作法：如图2， （1）在直线l上任取点A，连接PA； （2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C； （3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D； （4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m． 老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断． 【详解】∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）（1）如图1，每个小方格都是边长为1 的正方形，网格中有三个格点A、B、P．按要求进行下列用直尺作图，并标出相应的字母． ① 画线段，且； ② 在上找一点N，使线段的长度最短． （2）如图2，已知，点M在边上，利用直尺和圆规在上作一点N，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查网格作图，尺规作图，作平行线掌握知识点是解题的关键。 （1）根据网格作图的特点，即可作图解答； （2）利用尺规作图作出，即可解答。 【详解】解：（1）如图所示， ∴，； （2）作图如图 作出， ∴． 【经典例题九 添加条件使三角形全等】 【例9】（24-25八年级上·安徽合肥·开学考试）在和中，，若证，还需补充一个条件，错误的补充方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形全等的判定的应用．根据全等三角形的判定定理即，直角三角形可用定理，判断求解即可． 【详解】解：∵， A、补充，则，故A正确，不符合题意； B、补充，则，故B正确，不符合题意； C、补充，则，故C正确，不符合题意； D、补充，不能证明，故D符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，已知，添加下列哪个条件不一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定条件可直接排除选项． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， A、添加，满足边边角，无法得到，故本选项不符合题意； B、添加，则，因而，满足角边角，可以证明，故本选项符合题意； C、添加，满足角角边，可以证明，故本选项符合题意； D、添加，满足边角边，可以证明，故本选项符合题意； 故选：A 2．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，和中，，，满足两组对角相等，根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：和中，，， 添加或，利用即可得到两三角形全等， 添加，利用即可得到两三角形全等， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，在中，过点C作，点D是上一点，连接交于点E，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由平行线的性质可得，则可添加，利用可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 【经典例题十 灵活选用判定方法证全等】 【例10】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用． 图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，可以通过画出与书上完全一样的三角形， 故选：A． 1．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是明确判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、HL．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 【详解】解：甲图中只有一边和一角的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，给出下列四个条件，，，，，从中任选三个条件能使的共有 组． 【答案】 【分析】要使的条件必须满足、、、，可据此进行判断． 【详解】解：第组：，，，满足，能证明； 第组：，，，满足，能证明； 第组：，，，满足，能证明． ∴能使的共有组． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个一般三角形全等的方法有：、、、；判定两个直角三角形全等的方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．掌握三角形全等判定的方法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在和中，下列三个论断：    （1）；（2）；（3），将两个论断作为条件，另一作为结论，构成一个正确的命题．如果 ，那么 （填序号）． 【答案】 ②③ ① 【分析】如果②；③，那么①；利用证明，即可得到结论． 【详解】解：如果②；③，那么①； 证明：在和中，， 所以， 所以.（答案不唯一） 故答案为：②③；①． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解． 4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【经典例题十一 旋转模型】 【例11】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝1，AB＝，△AB'C'可以由△ABC绕点A逆时针旋转得到（B与B'对应，C与C'对应），连接CB'，且C、B'、C'恰好在同一条直线上，则CC'的长为（　　）    A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接BB′，根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1，根据等腰三角形的性质得到∠ACC′＝∠C＝45°，求出∠CAC′＝∠BAB′＝90°，根据勾股定理得到BB′＝AB＝，根据勾股定理得到CB′＝3，于是得到结论． 【详解】解：如图，连接BB′， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′， ∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠C′＝∠ACB＝45°，B′C＝BC＝1， ∴∠ACC′＝∠C′＝45°， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°， ∴BB′＝AB＝， ∵∠ACB＝∠ACC′＝45°， ∴∠BCB′＝90°， ∴CB′＝＝3， ∴CC′＝CB′+B′C′＝4． 故选：A．    【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，判断出ABB′是等腰直角三角形是解题关键． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1＋∠2＋∠A=180°，∠1＋∠3＋∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP=CO=6． 【详解】解:如图， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上， ， ， ， ， 在和中 故选： 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，按顺时针方向转动40°得，点D恰好在边BC上，则∠C＝ °． 【答案】70 【分析】由于△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】∵△ABC按顺时针方向转动一个角后成为△AED， ∴△ABC≌△AED， ∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°， ∴∠C＝＝＝70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，在同一平面内，将两个完全相同的直角三角尺按如图放置，使直角顶点重合，点正好在的延长线上，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得到BC=2AC=4，证得得到，得到，继而证得，从而求得结论． 【详解】在中，，，， ∴，， ∵，，， ∴(AAS)， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，证得，继而证得是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 又，，， ； （2）证明：①， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【经典例题十二 利用全等图形求正方形网格中角度之和】 【例12】（2025八年级上·江苏南通·模拟预测）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 【答案】135 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，以线段AB为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8； 如果将图中格点三角形面积记为S，频数记为x，根据上述信息计算:当S=3时，x= ． 【答案】4 【分析】由题意直接依据三角形的面积公式进行填表即可得出答案. 【详解】解：由题意可知 格点三角形面积（S）    1    2    3    4 频数（x）            8    6    4    2 故答案为：4. 【点睛】本题考查网格问题中的三角形，熟练掌握三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键. 3．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．只用直尺（不带刻度） (1)如图1，如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上，请在这个网格中作线段AB的垂直平分线； (2)如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点C，D，M，N，连接BD、AM，BN交于点F，AC交于点E，根据格点特点及正方形的性质，可得BE=AE，BF=AF，可知点E、F在AB的垂直平分线上，作直线EF即可； （2）根据格点特点，取格点R，J，连接BR，CJ交于点I，连接AJ，延长AI交BC于点H，可得CJ、BR分别是AB、AC的高线，线段AH即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线EF即为所求； 取格点C，D，M，N，连接BD、AM，BN交于点F，AC交于点E， ∴四边形ABCD、ABMN是正方形， ∴BE=AE，BF=AF， ∴点E、F在AB的垂直平分线上，EF即为所求． （2）解：如图2中，取格点R，J，连接BR，CJ交于点I，连接AJ， 根据网格特点可知CJ、BR分别是AB、AC边的高线， ∵三角形三条高线交于一点， ∴AH是BC边上的高线，AH即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的高线性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可． 【详解】（1）如图1，线段为所求； 证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图， 结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN， ∵∠PAM+∠MPA=90°， ∴∠PBN+∠MPA=90°， ∴在△PBH中，∠PHB=90°， 即AH⊥BC， AH符合要求； （2）①如图2，点为所求； ②如图2，点为所求． ①证明：结合网格图和勾股定理，可得，， 即，， 即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， 即有：AC⊥AD，，即D点满足要求； ②证明：由割补法，可求得的面积为， 根据，则的面积， ∴与的面积相等， 根据网格作图可知，线段的中点为， ∴， ∴， 则线段平分四边形的面积． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【拓展训练一 利用全等三角形的判定与性质求角度】 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，点，在线段上，，，．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考査了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． 由，利用线段的和差得到，证明，由全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理来求解． 【详解】解：∵， ∴， ， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰直角中，，点在射线上运动（不与点，重合），连接，以为直角边作等腰直角（点与点在直线的两侧），，连接．设． (1)如图1，点在线段上运动． ①求的度数（用含的代数式表示）； ②用等式表示线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上运动，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角的和差计算． （1）①先得到，再由角的和差计算即可； ②在延长线上截取，连接，先证明，再证明，再，进行线段和差计算证明即可； （2）同上证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②， 证明：在延长线上截取，连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 在延长线上截取，连接， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 利用全等三角形的判定与性质求长度】 1．（24-25八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小圣想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，小圣测得C，D之间的距离为，请你帮小圣求出锥形瓶底面的内径的长． 【答案】锥形瓶内部底面的内径的长是 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．根据定理和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意，得，． ∵与是对顶角， ∴． ∴． ∴． 即锥形瓶内部底面的内径的长是． 3．（24-25八年级上·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 【拓展训练三 利用全等三角形的判定与性质求面积】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，请你利用“转化策略”求出图中阴影部分的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴图中阴影部分面积． 2．（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求证； (2)如果，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可证得结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，，又， ∴， ∴，又， ∴，又，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，为上一动点，连接，，垂足为．过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）根据已知证明，，即得； （2）根据，，得，结合，证明； （3）由（2）可得，，得出，由（1）得，即得的面积为4． 【详解】（1）证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 即； （2）全等，理由如下： 证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图，连接， ， ， ∴ ∵ ∴ 由（1） ∴ 【拓展训练四 全等三角形中的动点问题】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，，直线l经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动，点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束，在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为，则与全等时，t的值为 ． 【答案】2或或8 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①如图1，当Q在上，点P在上时，作，， 由题意得，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ∴，， 当时， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当或或8时，与全等． 故答案为：2或或8． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【拓展训练五 全等三角形的综合问题】 1．（24-25八年级上·山西·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键． 延长交于N，延长交于M，可证，有；同理可证明，有，再证明，则有；由即可求解． 【详解】解：如图，延长交于N，延长交于M， ∵， ∴； ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 同理可证明，有； 在与中， ， ∴， ∴； ∵，， ∴ ． 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下面是几个大小相同的正六边形，请仔细观察A，B，C，D四选项中的图案，其中与所给原图形不相同的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形不相同的即为所求． 【详解】解：观察图形可知， 只有选项B中的图形旋转后与图中的正六边形不相同． 故选：B 【点睛】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，关键是掌握旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，先证明，得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，是锐角，点A在上，，点C在上，点A到直线的距离为3，当时，的形状、大小唯一确定，则m的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，点到直线的距离，关键是要分三种情况讨论． 当时，，的形状、大小唯一确定；当时，有两个；当时，的形状、大小唯一确定，于是得到m的取值范围． 【详解】解：当时，，由判定的形状、大小唯一确定； 当时，C的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴m的取值范围是或． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出图形中的全等三角形是解题关键．证明出，可判断①②结论；证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，，， ， ，，，②结论正确； ， ，即，①结论正确； ，，， ，③结论正确； ， ， ， 又，， ， ，， 但无法证明，④结论错误； 故选：A． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，是四个社区服务中心．在一条直线上，，之间也有道路相连，且道路与垂直，，之间隔了一个湖泊．现决定在湖泊上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥的长至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键．根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ， ， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，倍长中线构造全等是关键．延长到E，使，证明 ，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：延长到E，使， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，即， ∴中线的最小整数值为， 故答案为： 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，于点E，于点F，则下列条件中，能判定的有 ．（请填写序号）①；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，依据可得可判定①，依据可得可判定②，依据可得可判定③，依据可得可判定④． 【详解】解： ， ， 对①和中， ∵， 则依据可得， 故①正确； 对②由于， 所以， 则在和中， ∵， 那么依据可得，故②正确； 对③在和中，， 则依据可得，故③正确； 对④由于， 所以， 则在和中，， 那么依据可得，故④正确. 故答案为：①②③④． 9．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、 ∴， ∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE， ∵ 所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°， 面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小， 在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小， 此时，， ，解得：AP=， 面积的最小值为：． 【点睛】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，．若这两个三角形全等，求的值． 【答案】的值是8或9 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，代数式求值，分两种情况讨论：当时和当时，分别求出x、y的值，再代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当时， 解得， ； ②当时， 解得， ． 综上所述，的值是8或9． 12．（2025八年级上·全国·模拟预测）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 13．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，是射线上的一点，在射线上求作一点，连接，使得．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 【答案】见解析 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定掌握知识点是解题的关键． 作出，根据“同位角相等，两直线平行”，得到，即可解答． 【详解】解：作图如图 ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a和，求作，使，，根据作图痕迹补全作法．      作法： (1)作________； (2)以点________为圆心，以________的长为半径在射线上画弧，交于点B； (3)以点________为顶点作________，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】(1) (2)A；a (3)B； 【分析】本题考查了基本的尺规作图及作法，熟练掌握基本的尺规作图及作图语言的规范性是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角解答； （2）根据作一条线段等于已知线段解答； （3）根据作一个角等于已知角解答． 【详解】（1）解：作； 故答案为：； （2）解：以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； 故答案为：A；a； （3）解：以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $