第十四章 全等三角形重难点检测卷-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

该初中数学讲义围绕全等三角形单元知识体系，通过思维导图、表格对比和典型例题串联核心概念，系统呈现判定条件、性质应用与实际问题的转化路径，清晰标注高频考点如“SSS”“SAS”“ASA”及“HL”的适用情境，突出中线倍长、角平分线构造等解题策略的内在逻辑联系。 讲义亮点在于融合数学眼光、思维与语言三大素养设计练习，如第24题探究“两边一角”能否判定全等，引导学生用几何直观发现多解情形，培养推理意识；第21题利用中点构造全等三角形测距离，体现模型观念与应用意识；第26题倍长中线法解决取值范围问题，强化运算能力与逻辑表达。每类题型均配方法总结与易错提示，助力基础薄弱生掌握通法，优等生拓展思维，教师可据此精准定位学情，实现分层教学与高效复习。

第十四章 全等三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第十四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025八年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列四组三角形中一定是全等三角形的是（　　） A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形 C．周长相等的两个等边三角形 D．斜边相等的两个直角三角形 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，下列三角形中，与全等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 7．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 8．（24-25八年级上·河南南阳·期中）南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如果点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 ． 12．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，，，，则 ． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当 时，． 18．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是 ． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，≌，点在上，，求的长. 20．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论？ 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在学习“利用三角形全等测距离”之后，七（1）班数学实践活动中，杨老师让同学们测量池塘、之间的距离（无法直接测量）．小涵设计的方案是：如图，先在平地上取一个可以直接到达点的点，取的中点，连接并延长至点，使，连接，测量得米，请你帮小涵计算池塘、之间的距离，并说明理由． 22．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 23．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴( )． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 24．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 26．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册第十四章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2025八年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合， 将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形， 故A、B、D中的三个图形全等， 分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列四组三角形中一定是全等三角形的是（　　） A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形 C．周长相等的两个等边三角形 D．斜边相等的两个直角三角形 【答案】C 【分析】由全等三角形的概念可判断A，B，D，由三边对应相等的两个三角形全等可判断C，从而可得答案． 【详解】解：两条边对应相等的两个锐角三角形不一定全等，故A不符合题意； 面积相等的两个钝角三角形不一定全等，故B不符合题意； 周长相等的两个等边三角形满足三边对应相等，所以一定全等，故C符合题意； 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练的利用全等三角形的判定方法判断两个三角形全等是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，下列三角形中，与全等的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据边边边公理逐一进行分析判断即可． 【详解】三角形ABC的三边长分别为6、8、10， ①中的三条边分别为6、9、9，三边不对应相等，不与△ABC全等，故不符合题意； ②中的三条边分别为3、4、5，三边不对应相等，不与△ABC全等，故不符合题意； ③中的三条边分别为6、8、10，三边对应相等，与△ABC全等，故符合题意； ④中的三条边分别为8、8、9，三边不对应相等，不与△ABC全等，故不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握边边边公理是解本题的关键． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，，B、C、D三点在同一条直线上，且，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（   ） A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，可以确定唯一三角形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以组成两个完整的角和两个角的夹边，根据，可以确定唯一三角形，符合题意；其他组合均不能得到唯一三角形， 故选D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 7．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期中）南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法证明，A选项符合题意； 若添加，可根据证明，B选项不符合题意； 若添加，可根据证明，C选项不符合题意； 若添加，可根据证明，D选项不符合题意； 故选：A． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质．根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得，再利用等高模型求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B； 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如果点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标．根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得， 故答案为：． 12．（2025·福建·模拟预测）在中，，，则边上的中线的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，延长到E，使得，连接，可证明，得到，根据三角形三边的关系可求出的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形周长相等填空即可． 【详解】解：∵， ∴与形状和大小一致，能重合， ∴它们周长相等， 若的周长为 ，则的周长为 ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，，，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    【答案】/97度 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据尺规作图的步骤可知平分，进而求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据题意可知平分，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据当点在射线上时，当点在的反向延长线上时，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】， ，，，， 如图，当点在射线上时，在上，， ，， ， ． 如图，当点在的反向延长线上时，，， ，， ， ． 综上所述，当或时，， 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等知识的应用，熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据题意可得：，，判断出≌，得到，即可求出答案． 【详解】解：如图： 是和的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 小明离地面的高度支点到地面的高度， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，≌，点在上，，求的长. 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，进一步求解即可. 【详解】解：≌， ， ， . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 20．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，，、分别是，的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论？ 【答案】，证明见解析 【分析】由结合中线的定义，进而证出，再根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】解：． 证明：∵， ∴，，(全等三角形的对应边相等，对应角相等) ． 又和分别是和边上的中线， ∴，， ∴． 在和中，， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题关键． 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在学习“利用三角形全等测距离”之后，七（1）班数学实践活动中，杨老师让同学们测量池塘、之间的距离（无法直接测量）．小涵设计的方案是：如图，先在平地上取一个可以直接到达点的点，取的中点，连接并延长至点，使，连接，测量得米，请你帮小涵计算池塘、之间的距离，并说明理由． 【答案】、之间的距离为米，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键．根据证明即可得出结论． 【详解】（1）解： 、之间的距离为米，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴池塘、之间的距离米． 22．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 23．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴( )． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出的面积呢？假设，请你尝试求出. 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由作图可得，即可由求证； （2）先证明，则，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴ 24．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等吗？下面请你来探究． 任务：已知，求作，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)【实践与操作】请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）； ①作线段； ②在线段的上方作； ③作，交射线于点； ④连接得所求三角形． (2)【观察与小结】观察你作的图形，你会发现满足条件的三角形有___________个；其中___________（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是：_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1)见解析 (2)2；；假 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定； （1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，，其中与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． 【详解】（1）解：作图如下， ； （2）解：观察所作的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中（填三角形的名称）与不全等． 因此可得：“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形全等”是假命题． 故答案为：2；；假． 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量电线塔的距离． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量电线塔的距离？ 组内探究：由于河中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流的宽度． 成果展示：下面是某同学的测量方案： 测量示意图 测量说明 小刚站在河边的A点处，他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步 (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小刚一步大约米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可． （）根据题意所述画出示意图即可； （）根据可得出，即求出的长度也就得出了之间的距离； 【详解】（1）解：先画一条水平直线代表河边，在直线上 取点表示小刚最初的位置； 从点向正前方画一条线段，按比例取步的长度确定点，表示树的位置； 再从点继续向正前方画线段，按比例 取一定长度(这里未明确后续行走步数对应的长度，不影响整体思路)，然后向左转画一条线段，当小刚走到电线塔、树与自己现处的位置成一条直线 时，确定终点位置；如图所示： （2）∵小刚站在河边的点处，向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处， ∴ 在和中， ， ， ， ∵当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了140步， ∴从点到点走的步数， 又∵小刚一步大约米， 米， 故小刚在点处时他与电线塔的距离为米． 26．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $