精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高二上学期9月份联合考试数学试卷

辽宁省名校联盟2025年高二9月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心佳木斯市 第一中学 单丽波 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过交集的定义即可求出答案. 【详解】，，. 故选：B. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数，再化简复数，得到，求出，确定复平面内的点的坐标，得到点所在的象限. 【详解】因为，所以，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D 3. 已知，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题给向量坐标，利用向量平行和模长公式构造关于的方程，联立求出，从而得出答案. 【详解】因为，，若， 所以①. 因为，则②， 联立①②解得或， 所以或. 故选：C. 4. 已知直线和四个不重合的平面，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系直接判断. 【详解】若，，则或，相交，A选项错误； 若，，则或，相交，B选项错误； 若，，，则，可以成任何大小的角，如图所示，C选项错误； 因为，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直性质定理可知，则. 同理，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直性质定理可知，则， 又，所以，D选项正确； 故选：D. 5. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧长公式可得，进而利用勾股定理求解圆锥的高，由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆半径为， 则，即，解得， 所以该圆锥的高， 可得圆锥的体积. 故选:B. 6. 已知函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用方程组法计算得出解析式，再应用指数函数及对数函数数形结合得出，最后应用单调性得出选项. 【详解】因为，所以， 联立得，且在上单调递减， 在同一坐标系中作，，，的图象，如图所示： 所以，故. 故选:A. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，由求解即可. 【详解】由题可得：， 得或，又因为，所以，所以. 故选：C. 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析并作出与满足条件的图象，结合图象求解. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，， 则当时，，函数， 又由对任意，都有， 则，即的一个周期为2， 又由函数在区间内恰有5个不同的零点， 即函数与的图象在区间上有5个不同的交点， 如图， 则满足且，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列，，可以使的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象向右平移个单位，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象 B. 函数的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象 C. 函数的图象横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数的图象 D. 函数的图象的横坐标变为原来的，再向右平移个单位得到函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数图像的伸缩变换、左右平移规则逐项判断即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，A项错误； 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，B项正确； 函数的图象横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再向右平移个单位得到函数的图象，C项正确； 函数的图象的横坐标变为原来的得到函数的图象，再向右平移个单位得到函数的图象，D项错误. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为1，，分别为棱和面对角线上的动点（含端点），则（ ） A. 若，，，四点不共面，则四面体的体积为定值 B. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 C. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 D. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据为定值与到平面的距离即可判断A；根据到平面距离的最大值即可判断B；确定当Q与、与重合时四面体的体积取得最大值，即可判断C；过点作，，，设，求出确定四面体的体积为，即可判断D. 【详解】对于A项，如图， 点，，都在平面上，， 点在线段上，与平面的距离为定值， 所以，为定值，A项正确； 对于B项，如图， 点，，都在平面上，， 点在线段上，与平面距离的最大值为， 所以，B项错误； 对于C项，如图， 点，，都在平面上，， 点到平面距离的最大值为（当与重合时取得）， 所以，C项正确； 对于D项，如图， 过点作，于点，于， 设，，则，， ，， ，， 故四面体的体积为，其最大值为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则__________；若满足，则___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对数运算及指对数互化即可求解. 【详解】由，得，，. 由，得，， 所以. 故答案为：，. 13. 在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设边上的高为，要使只有一个三角形满足，可得或，即可求解. 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为_________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥， 头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形， 底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为， 截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为， 设底面面积为，则，解得. 故答案为：18. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （1）求出表中，及图中的值； （2）若该校高三年级学生有840人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.（结果精确到0.01） 【答案】（1），， （2）210 （3）17.08 【解析】 【分析】（1）根据题意结合频数、频率和样本容量之间的关系运算求解； （2）分析可知在上的频率是0.25，进而估计人数； （3）分析可知中位数在区间上，根据题意结合中位数的定义运算求解. 【小问1详解】 由频率分布表可得，， 所以，. 【小问2详解】 因为该校高三年级学生有840人，在上的频率是0.25， 所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为. 【小问3详解】 因为，且，所以中位数在区间上， 设样本中位数为，则，解得. 所以估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是. 16. 交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 【答案】（1）当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时 （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）解不等式和，求交集即可； 【小问1详解】 因为， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，因为， 所以当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时. 【小问2详解】 当时，由，解得，当时，满足题意，即； 当时，由及， 可得， 即，解得，即. 故汽车的平均速度应在范围内. 17. 如图，三棱柱的各条棱长均为4，且平面，为的中点，，分别在线段和线段上，且，. （1）证明：平面平面； （2）求几何体的体积. 【答案】（1） 证明：取线段的中点，线段的中点，连接，，， 由题意可得. 因为为的中点，所以， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则. 因为为的中点，所以， 因为平面，所以，则， 因为，所以平面，则平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设线段的中点，连接，，，易证为平行四边形，再证平面，结论得证; （2）先求得三棱柱的体积，再求四棱锥和三棱锥的体积，利用三棱柱的体积减去四棱锥和三棱锥的体积可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解法一：因为三棱柱的各条棱长均为4，且平面， 所以，， 因为，，所以， 所以的面积. 由（1）可得， 故三棱锥的体积， 所以几何体的体积为. 解法二：如图，连接，， ， ， 所以几何体的体积为. 18. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若，且函数在区间上单调，求的取值范围； （3）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合数量积的坐标运算化简函数的解析式，由条件确定的周期，结合周期公式求，由此可得结论， （2）方法一：由（1），由条件可得，，结合正弦函数的单调性列不等式求结论， 方法二：由（1）知，求函数的单调区间，由条件列不等式可求结论， （3）原方程可化为或，确定函数的单调性及各区间的函数值的范围，分情况确定方程的解的个数，由此确定的取值范围. 【小问1详解】 由向量，，得， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，所以，即， 所以. 【小问2详解】 解法一：由（1）知， 因为，所以， 又因为，可得， 所以，， 则或， 解得或， 所以的取值范围为. 解法二：由（1）知， 令，，解得，， 所以函数的单调区间为，， 因为函数在区间上单调， 则满足，， 可得，解得，， 因为，，所以或， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 等价于， 解得或. 因为，所以，， 当时，是增函数，， 当时，是减函数，， 当时，是增函数，， 方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解. ①当或时，不符合题意； ②当时，则，有一个实数解，有一个实数解，不符合题意； ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意； ④当时，则，有两个不同的实数解；有两个不同的实数解，不符合题意； ⑤当时，，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意； ⑥当时，，有一个实数解，有一个实数解，不符合题意. 综上，的取值范围为. 19. 函数（，，，）的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为，，在轴上的射影分别为，.已知图象过点，，，沿轴将坐标平面折叠，使平面平面，此时. （1）求的解析式； （2）求四面体外接球的表面积； （3）若为已知图象上一点，且，设四面体外接球的半径为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）由题得，，设， ③ ， 因为，所以， 即，所以， 又（为外接圆半径）， 当且仅当时等号成立，此时，不满足， 所以等号取不到，所以，由（2）知. 【解析】 【分析】（1）结合图象确定函数的最小正周期，根据周期公式求，由图象过点，列方程求， 由关系列方程，结合，求，由此可得结论， （2）由条件利用余弦定理求，再求，再由正弦定理求的外接圆半径，再求四面体外接球的半径，根据球的表面积公式求结论， （3）设，由向量夹角余弦公式和基本不等式可得，由此可求的范围，由此可求的范围，结合（2）可得结论， 【小问1详解】 由题得，，所以， 由图象过点，，得，① ，② 由①②可得， 所以（舍去）或，， 因为，，，所以，又， 所以， 所以，所以， 代入①，解得， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 因为，，， 所以，即，又， 解得，， 所以. 【小问2详解】 由（1），又，， 所以，，，故，， 在中，由余弦定理可得，， 设外接圆半径为，则，所以， 由（1），故，，， 所以，又平面平面，是截面圆的直径， 所以平面所在截面圆半径就是外接球半径， 所以四面体外接球的半径为， 所求外接球表面积. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高二9月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心佳木斯市 第一中学 单丽波 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或1 D. 或2 4. 已知直线和四个不重合的平面，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列，，可以使的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象向右平移个单位，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象 B. 函数的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍得到函数的图象 C. 函数的图象横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位得到函数的图象 D. 函数的图象的横坐标变为原来的，再向右平移个单位得到函数的图象 11. 已知正方体的棱长为1，，分别为棱和面对角线上的动点（含端点），则（ ） A. 若，，，四点不共面，则四面体的体积为定值 B. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 C. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 D. 若，，，四点不共面，则四面体体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则__________；若满足，则___________. 13. 在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 14. 如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （1）求出表中，及图中的值； （2）若该校高三年级学生有840人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.（结果精确到0.01） 16. 交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 17. 如图，三棱柱的各条棱长均为4，且平面，为的中点，，分别在线段和线段上，且，. （1）证明：平面平面； （2）求几何体的体积. 18. 已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若，且函数在区间上单调，求的取值范围； （3）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围. 19. 函数（，，，）的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为，，在轴上的射影分别为，.已知图象过点，，，沿轴将坐标平面折叠，使平面平面，此时. （1）求的解析式； （2）求四面体外接球的表面积； （3）若为已知图象上一点，且，设四面体外接球的半径为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $