精品解析：四川省绵阳东辰高级中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试卷

绵阳东辰高级中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一.单项选择题.（每题5分，共40分） 1. 下列五个关系式中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的概念和集合间的关系分别判断五个关系式即可. 【详解】因为集合中的元素具有无序性，所以，故①正确； 因为且，所以，故②正确； 因为空集是不含任何元素的集合，所以，故③错误； 因为空集是任意非空集合的真子集，所以，故④正确； 因为集合中有一个元素0，所以，故⑤正确； 故选：C. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2， B. 的最小值为4， C. 的最小值为 D. 的最大值为1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式与二次函数性质求解即可. 【详解】解：对于A，由基本不等式的性质可知，当时，，当且仅当时等号成立，所以当且仅在处取得最小值2，由于，故无最小值，故A错误； 对于B，由基本不等式的性质可知，则当且仅当时等号成立，但，，则等号不成立，故B错误； 对于C，当时，取得最小值1，而非，故C错误； 对于D，，当且仅当时，取得最大值1，故D正确. 故选：D. 3. 已知三个函数，，，则（ ） A. 对任意的，三个函数定义域都为 B. 存在，三个函数值域都为 C. 对任意的，三个函数都是奇函数 D. 存在，三个函数在其定义域上都是严格增函数 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数、对数函数、幂函数的性质逐一判断即可． 【详解】若且时，的定义域为，故A错误； 对任意的，函数，值域不是，故B错误； 对任意的，且时，，都是非奇非偶函数，故C错误； 当时，函数，，在其定义域上都是增函数，故D正确． 故选：D． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将均转化为以2为底的指数形式，由指数函数的单调性与值域， 可判断；再由对数函数的单调性知，即可比较大小． 【详解】， 又， 所以：， 故选：D． 5. 化简 A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑分母化简，利用降次公式，正切的两角和与差公式打开，整理，可得答案． 【详解】化简分母得 . 故原式等于.故选D． 【点睛】本题主要考查了两角和与差公式以及倍角公式．属于基础题． 6. 已知点、、、，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断C；利用平面向量夹角公式的坐标表示可判断D选项. 【详解】对于A，，，则，故，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，所以，，故C正确； 对于D，，则，∴，故D错误. 故选：D. 7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A. B. ； C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理可判定A，根据面面平行的性质定理可判定B，根据线面平行的判定定理可判定C，根据线面平行的性质定理可判定D. 【详解】选项A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A错误； 选项B：由面面平行的性质定理可知B正确； 选项C：由线面平行的判定定理可知，m可能在内，故C错误； 选项D：由线面平行的性质定理可知，m，n可能异面，故D错误； 故选：B. 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解. 【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确； 对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有： 全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误； 对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确； 对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确； 故选：ACD. 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出C的方程，然后求出选项A，B，C，D给定条件对应的轨迹方程，最后探讨它们的关系而得解. 【详解】设点P(x，y)，由得， 化简得，则曲线C是斜率为2的动直线， 对于A：点到直线C的距离为，即曲线C上存在点与距离小于2，故A错误； 对于B：因，则到点与的距离之和为6的轨迹是中心在原点，长轴长为6的椭圆， 当时，直线C：与这个椭圆有两个交点，故B正确； 对于C：因，则到点与的距离之差为2的轨迹是中心在原点，实轴长为2的双曲线右支， 直线C：与此双曲线渐近线平行，直线C：与这个双曲线右支最多有一个公共点，故C错误； 对于D：当时，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是顶点在原点，焦点在轴上的抛物线， 由消去得，， 当，直线C与抛物线交于两点，故D正确. 故选：BD. 三.填空题.（每题5分，共15分） 12. 请写出集合的一个特性：_____ 【答案】确定性，互异性，无序性（三个中任填一个） 【解析】 【分析】根据集合的性质求解. 【详解】集合中元素具有确定性，互异性，无序性. 故答案为：确定性，互异性，无序性（三个中任填一个） 13. 如果（是正整数，为常数），其中为数列的前项和，那么是等差数列吗？_____（在此空填写“是”或者“不是”或者“无法确定”，如果填写“不是”或者“无法确定”你无需作答后面的空）如果是，这是一个首项为_____，公差为_____的等差数列 【答案】 ①. 是 ②. ③. 【解析】 【分析】根据等差数列定义先判断数列为等差数列，从而求出，然后利用等差数列的定义再一次判断为等差数列，求出它的首项和公差即可. 【详解】因为（是正整数，为常数）， 当时，， 当时，有， 所以为常数， 又， 所以数列以首项为，公差为的等差数列， 所以等差数列的前项和为： ， 所以， 当时，， 当时，有， 所以为常数， 又， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 故答案为：是；，. 14. 下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有_____（填写序号）. 【答案】①② 【解析】 【分析】本题需要依次判断四个关于统计概念的说法的正误，从而确定错误说法的个数. 【详解】对于①，例如：3,3,3,3,4,4,4,4,1,2,5，有两个众数，故①错误； 对于②，一组数据的方差不一定是正数，也可能为0，故②错误； 对于③，对于方差，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变，故③正确； 对于④，小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距频率，故④正确. 故答案为：①②. 四.解答题.（共5题，77分） 15. 在中，是的中点，，，. （1）求的面积. （2）若为上一点，且，求值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）首先由两边平方得到：，再带入夹角公式即可. （2）化简得到，根据，，三点共线，可得到，解方程即可. 【详解】（1）由，可得： . 即：. 求得，. 所以，. （2）因为，所以 又因为，，三点共线， 所以，解得. 【点睛】本题第一问考查了平面向量加法的平行四边形法则，同时考查了数量积和夹角公式的应用，第二问考查了平面向量的基本定理，属于中档题. 16. 如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量计算出线面角的正弦值. （2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值. 【详解】因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，所以， 因为， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的法向量，而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2），， 设平面的法向量， 则，即， 取，平面的法向量， 所以， 由图可知，二面角为钝角，所以其余弦值． 【点睛】本小题主要考查线面角、面面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17. 有一条直线：与长轴长为，短半轴长为，且焦点在轴的椭圆交于两点A和B. （1）请写出该椭圆方程的表达式以及该椭圆离心率的表达式（用含，的式子进行表达）； （2）设点，，请用含，，，的表达式来表达，，，； （3）请用含题目给到的字母（）的式子来表达三角形的面积，并写出你求该三角形面积最大值的思路（无需给出答案，你只需要写出你的思路即可，评卷人员将根据你提供的思路的完整度以及清晰度来进行评分）. 【答案】（1）； （2） ，， ， （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据条件结合椭圆方程的结构形式以及离心率定义即可求出方程和离心率； （2）联立方程组，利用韦达定理即可求出； （3）根据面积公式化简即可求出面积，再将视为常数，视为变量即可求出最值. 【小问1详解】 因为椭圆长轴为，短半轴为，且焦点在轴， 所以椭圆标准方程为，离心率为. 【小问2详解】 联立，， 得， 则由韦达定理得，， 则， . 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 由（2）可得， ， 则， 先将视为常数，视为变量， 则是关于的二次函数且开口朝下， 则当时，最大值为， 故. 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线平行． ①求实数的值； ②对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数存在极小值，试用零点存在定理证明：存在，使得等于函数的极小值． 【答案】（1）①；② （2）证明：函数的定义域为， 且， 当时恒成立，所以在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当时，，的关系如下所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 令， 则，， （，所以，则，所以）， 所以，又在上为连续函数， 所以在上存在零点， 即使得，此时， 所以存在，使得等于函数的极小值. 【解析】 【分析】（1）①求出函数的导函数，依题意，求出的值，再代入检验即可；②依题意可得恒成立，所以在上单调递减，令，，则在上恒成立，再参变分离可得在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可得解； （2）首先分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极小值点，令，结合零点存在性定理说明存在零点，即可得证. 【小问1详解】 ①函数的定义域为，， 因为函数的图象在处的切线与直线平行，即，解得或； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线平行，符合题意； 当时，则， 则函数的图象在处的切线为，与直线重合，不符合题意； 所以. ②对于任意，，当时，不等式恒成立， 即恒成立， 所以在上单调递减， 令，， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则在上单调递递增， 所以， 所以在上单调递递增，所以， 所以，即实数的取值范围为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 ， （3） 由题意得， 当时， 即， 整理得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，即，易知单调递增 所以. 【解析】 【分析】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，再利用全概率公式即可求解； （2）可取值为，分别求出相应的概率，从而可列出分布列，求出期望值； （3）当时，整理可得，再结合数列知识由递推公式数列的构建等比数列，从而可求解. 【小问1详解】 设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，. 由全概率公式得 ， 该操作员第二次降落成功的概率为. 【小问2详解】 由题意得，，，，. 的所有取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳东辰高级中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一.单项选择题.（每题5分，共40分） 1. 下列五个关系式中正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2， B. 的最小值为4， C. 的最小值为 D. 的最大值为1， 3. 已知三个函数，，，则（ ） A. 对任意的，三个函数定义域都为 B. 存在，三个函数值域都为 C. 对任意的，三个函数都是奇函数 D. 存在，三个函数在其定义域上都是严格增函数 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 化简 A. B. C. 1 D. 6. 已知点、、、，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（ ） A. B. ； C. D. . 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（ ） A. 存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2 B. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6 C. 存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2 D. 存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等 三.填空题.（每题5分，共15分） 12. 请写出集合的一个特性：_____ 13. 如果（是正整数，为常数），其中为数列的前项和，那么是等差数列吗？_____（在此空填写“是”或者“不是”或者“无法确定”，如果填写“不是”或者“无法确定”你无需作答后面的空）如果是，这是一个首项为_____，公差为_____的等差数列 14. 下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.其中错误的有_____（填写序号）. 四.解答题.（共5题，77分） 15. 在中，是的中点，，，. （1）求的面积. （2）若为上一点，且，求值. 16. 如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值. 17. 有一条直线：与长轴长为，短半轴长为，且焦点在轴的椭圆交于两点A和B. （1）请写出该椭圆方程的表达式以及该椭圆离心率的表达式（用含，的式子进行表达）； （2）设点，，请用含，，，的表达式来表达，，，； （3）请用含题目给到的字母（）的式子来表达三角形的面积，并写出你求该三角形面积最大值的思路（无需给出答案，你只需要写出你的思路即可，评卷人员将根据你提供的思路的完整度以及清晰度来进行评分）. 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线平行． ①求实数的值； ②对于任意，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数存在极小值，试用零点存在定理证明：存在，使得等于函数的极小值． 19. 某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第i次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第i次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. （1）求该操作员第二次降落成功的概率； （2）记该操作员前两次降落成功的次数为X，求X的分布列和数学期望； （3）设第i次降落成功的概率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $