精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025年秋期高2024级开学考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案. 【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以． 故选：D． 2. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“：”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以：. 故选：D. 3. 在中，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D. 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 6. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论结合一元二次不等式的解法可求不等式的解. 【详解】原不等式等价于或， 故或，故原不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 8. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出外接球半径，根据勾股定理逆定理得到，且，求出点D到平面ABC的距离，求出点D所在球的截面的半径及三角形ABC的外接圆半径，设点D在平面ABC上的投影为E，当CE最长时CD最长，结合，求出CD长度的最大值. 【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故， 而，，，故，故， 故， 设点D到平面ABC的距离为h，则，故， 点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧， 设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，则， 故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为， 设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点， 当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为非零实数，复数，，则（ ） A. 的实部为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则逐项计算判断ABC；根据两虚数不能比较大小判断D. 【详解】因为复数，，所以， 所以的实部为，故A错误； ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 因为，所以， ，所以，故C正确； 当时，，则，又，根据两虚数不能比较大小，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（） A. 函数的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象与直线有3个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，可求出最小正周期；B选项，代入验证；C选项，换元，令，转化成在对应区间上的单调性问题；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合可得到答案. 【详解】A选项， ， 故的最小正周期为，A正确； B选项，， 故不是的一个对称中心，B错误； C选项，，令， 由于在上不单调，故在上不单调，C错误； D选项，同一坐标系内画出与，如下： 可以看出两函数有3个交点，D正确． 故选：AD 11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ） A. B. 边的取值范围是 C. 面积取值范围是 D. 周长取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围. 【详解】A选项，由题意得，即， 因为，所以，A正确； B选项，由正弦定理得， 故， 因为锐角中，，所以， 解得，故， ，B正确； C选项，由B可知，，故， 面积取值范围是，C正确； D选项，由正弦定理得，故， 因为，所以， 故， 所以周长取值范围是，D错误. 故选：ABC 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式可得的值，再由位于第一象限，可知取正值，由此可得答案. 【详解】由二倍角的余弦公式，可得， 因为，所以，故. 故答案为：. 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 14. 设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解. 【详解】作出函数的图像如下： 令，关于x的函数恰好有五个零点， 则有两个不同的实根，设两根分别为，有五个零点，即与共有五个交点. 则由图像可知， ，或者， 当3是方程的一个根时，,方程的另一个根，不合题意； 当1是方程的一个根时，,方程的另一个根，不合题意； 令，据二次函数根分布的关系，可得或 解不等式组得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）若，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可先根据二倍角余弦公式求出与的关系，进而求出； （2）先求出的值，再结合的取值范围确定其具体值. 【小问1详解】 已知，根据二倍角余弦公式， 且，可得：  设，则，即，解得. 因为，所以，则. 【小问2详解】 将代入二倍角正切公式可得：. 再根据两角和的正切公式. 因为，所以，又，所以. 在这个区间内，正切值为的角是，而，所以. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用过点，可求得，利用过点，结合周期可求，可求解析式； （2）由已知要得，进而可求得，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求值. 【小问1详解】 由题意可得，又因为过点，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为过点，所以， 所以，所以， 所以，又函数的最小正周期，所以， 所以，解得，又，所以，所以； 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以 17. 如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. （1）用，表示、； （2）若，求的值； （3）求. 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 N为的中点，故， ， 故； 【小问2详解】 ， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； 【小问3详解】 由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 18. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． （1）若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； （2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； （3）当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（1）3 （2） ∵，平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴， 又平面，平面，∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上取一点，使得，连接、，， ，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴， 又，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 19. 若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” （1）若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； （2）若函数是“型函数”，求和的值； （3）已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）解方程，，即可得出满足条件的实数对； （2）根据函数是型函数，可得出，结合等式恒成立可得出，即可解出实数、的值； （3）分析可知在上的值域是在上的值域的子集，等价于对任意，都有，然后利用函数是“型函数”并结合参变量分离法可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为是“型函数”， 所以存在实数对使得等式成立，即， 代入，可得，即，. 所以满条件的实数对为. 【小问2详解】 由是型函数，得， 则， 因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得，，所以，． 【小问3详解】 因为对任意时，都存在，使得， 所以在上的值域是在上的值域的子集， 因为，当时，， 则对任意，都有， 因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以． 当时，， 则只需满足对任意，都有且， 即对任意，都有即可， 即不等式对任意恒成立且． ①当时，时满足条件； ②当时，，满足条件； ③当时，该不等式等价于． 当时，恒成立，易知：； 当时，恒成立，所以， 因为， 当且仅当时，即当时，取等号．即. 综上可得，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高2024级开学考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为非零实数，复数，，则（ ） A. 的实部为 B. 的最小值为 C. D. 当时， 10. 已知函数，则（） A. 函数的最小正周期为 B. 是的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数图象与直线有3个交点 11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ） A. B. 边的取值范围是 C. 面积取值范围是 D. 周长取值范围是 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________． 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 14. 设函数，若关于x的函数恰好有五个零点，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）若，且，求. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 17. 如图，中，，，，，N为的中点，设，，PN与相交于点. （1）用，表示、； （2）若，求的值； （3）求. 18. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，． （1）若点M在棱PC上，，若平面DMB，求的值； （2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：平面ABCD； （3）当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 19. 若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” （1）若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； （2）若函数是“型函数”，求和的值； （3）已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $