四川省华蓥中学2025-2026学年高三上学期暑期提升第二次月考（8月）数学试题

高2026届2025年暑期提升第二次月考 数学试卷 考次标识： ▭▬▬▭▬▬▭▬▬ 考试日期：2025年08月 注意事项 1. 本试卷满分150分，考试时间150分钟。 2. 答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 3. 答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 4. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 5. 考试结束后,将答题卡、试卷、草稿纸全部交回。 ▼预祝你们考试成功▲ 请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，其中为虚数单位，则 A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 3．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是 A．32 B．64 C．80 D．16 4．已知，则 A． B． C． D． 5．计算的值为 A．2 B． C． D．4 6．过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为 A． B． C． D． 7．若的角，，所对边，，，且满足，则的最大值为 A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 9．已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．圆C的半径为2 B．满足的点M有1个 C．的最大值为 D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个 10．已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则 B．若是奇函数，则的最小值为1 C．当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为 D．若在区间上有且仅有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题 5 分，共15分。 12．已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 13．已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 14．某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为 .（用具体数字作答） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．的内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设，求的最大值及取得最大值时的面积． 16．通用人工智能（AIGC）是指具有高效的学习和泛化能力且能够根据所处的复杂动态环境自主产生并完成任务的通用人工智能体．对某个通用智能人工智能模型进行评测，让该通用人工智能模型做数学、物理、化学、生物考试，当模型完成不同学科的试卷时，通过计算模型的损失函数值来评测模型是否“有效”．当模型完成不同学科考试时，损失函数的“参考值”也不同，如下表所示． 问题类型 数学 物理 化学 生物 损失函数参考值 8.5 10.3 9.0 10.5 下表为该模型在过去一个月内完成各种卷子的损失函数“实际值”． 数学 6.46   5.77   8.79   11.62   8.13 化学 6.31   14.50   5.98   7.08 物理 9.02   9.43   8.68   15.15   10.49   7.93 生物 7.96   8.78   15.25   10.94   10.03   8.37   9.02 当模型的损失函数的“实际值”小于“参考值”时，模型运行“有效”，否则，则称模型运行“无效”． 假设用频率估计概率，且模型每次运行是否“有效”相互独立． (1)在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，求模型均“有效”的概率； (2)在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交，设模型运行“有效”的总次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； (3)若某次模拟考试中，允许你在数学、物理、化学、生物中的两个学科使用该模型进行作答．为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，你会选择哪两科？（直接写出学科名称即可） 17．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)设与平面所成角为，且．求四棱锥的体积． 18．已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 19．已知函数. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)当时，，求的最大值； (3)证明：方程在上有唯一实数解. 试卷第4页，共4页 数学试卷 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高2026届2025年暑期提升第二次月考 数学试卷参考答案 考次标识： ▭▬▬▭▬▬▭▬▬ 考试日期：2025年08月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D B C B A A B B AC AD BCD 114 15．【解】（1）因，则， 利用正弦定理可化为， ， 又因为，故，故，即， 又，所以，得到. （2）由题意及（1）知，， 由正弦定理可得，则， 故 ， 其中，且， 因为，故，而， 故当，即时，取最大值1，的最大值为， 故， 所以， 又， 故， 此时. 16．【解】（1）因为在模型完成的四次化学考试中有3次模型“有效”，1次模型“无效”， 所以在模型完成的四次化学考试中随机挑选两次，模型均“有效”的概率为； （2）的所有可能取值为， 在某次模拟考试中，小明在物理、化学、生物三个学科考试中直接使用该人工智能模型答题并提交， 物理、化学、生物三个学科考试“有效”的概率依次为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望； （3）物理、化学、生物、数学四个学科考试“有效”的概率依次为， 从小到大排列为：， 设选取的两科考试“有效”的概率依次为，设在该次考试中模型运行“有效”次数为随机变量， 则的所有可能取值为， 则， 所有， 为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大， 只需最大即可， 而， 故只需令即可， 即为了使得在该次考试中模型运行“有效”次数的数学期望最大，应选择化学、生物这两个学科. 17．【解】（1）证明：四边形是矩形， 又中平面，平面， 平面，又因为平面， 平面平面， （2）在等边中，为的中点， 侧面为矩形，． 又，平面 平面 平面， 又， . （3）过作的垂线，垂足为， 由（1）（2）可知平面， 平面 又平面， 又，且两直线在平面内， 平面， 又，则就是与平面所成的角， ， 在中由余弦定理可得， 所以，易知，即为的中点， ， 又且，且两直线在平面内， 平面， 四边形为梯形且， 平面， . 18．【解】（1）由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； （2）由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线.      19．【解】（1）因为，所以,， 则， 当时，即时，，单调递增； 当时，即时，，单调递减； 当，即时，，单调递增. 故所求单调递减区间为. （2）因为，所以，故由得. 设，则. ①当时，则，所以在上单调递增. 从而，解得，此时，. ②当时，在上恒成立，单调递增， 则需，即，此时； 当时，则时，，单调递减； 时，，单调递增. 所以，变形可得. 此时，. 设，，则. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，即，当且仅当，时取等号. 综合可知的最大值为e. ③当时，在上单调递减. 从而，解得. 此时. 综上，的最大值为e. （3）证明：设， 则， 设，则， 设，则， 而的导数， 所以在上单调递减. 因为，， 所以存在唯一，使得. 当时、，单调递增，当时，，单调递减. 又因为,,. 所以存在唯一，使得. 当时，即单调递增，当时，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又因为，，， 所以存在唯一，使得， 即方程在上有唯一实数解. 答案第6页，共18页 数学答案 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $