精品解析：陕西省西安市新城区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025~2026学年度第一学期九年级摸底测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名和座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果电梯上升5层，记作层，那么电梯下降6层可记作（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一次函数（a为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D为的边上一点，连接，，与的面积之比为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（ ） A. B. 一次函数的图象经过点 C. 对于一次函数，当时， D. 若点，均在一次函数的图象上，则 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 一些大小相同的★按如图所示的规律摆放：第1个图形有4颗★，第2个图形有7颗★，第3个图形有10颗★，第4个图形有13颗★，，依此规律，第70个图形有______颗★． 11. 某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利40元，设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为______． 12. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为______． 13. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 14. 如图，在中，，，，点D在边上，点E是边上的动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 解不等式组：并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 18. 如图，在中，请用尺规作图法在线段上求作一点D，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：． 20. 京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． （1）“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； （3）从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 21. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 运用所学知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，阳阳在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，此时，测得的度数，发现与互余，同时测得，，利用激光笔测得点A、点Q和点P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 安全 测量过程中注意自己及他人的安全． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 22. 在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：）与身高x（单位：）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 160 161 162 … 标准体重 54 54.9 55.8 … （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差，求他们的标准体重相差多少？ 23. 西安，这座见证了千年历史的城市，以其深厚的文化底蕴和丰富的旅游资源吸引着各地游客．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区8月份某天的游客中随机抽取若干名游客对景区的服务质量进行评分，评分结果用x（单位：分）表示，将全部评分结果按以下四组进行整理，并绘制了如下不完整的统计图表： 分组 评分分 人数（频数） 各组总分/分 A 16 1100 B m 3000 C 94 8000 D 50 4900 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取游客评分的中位数落在______组； （2）求所抽取游客评分的平均分数； （3）若规定游客评分不低于80分，则认定此游客对该景区的服务质量较为满意．假设这天该景区有2000名游客，请你估计这2000名游客中对该景区的服务质量较为满意的有多少名？ 24. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，过点E作交于点F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求四边形的周长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． （1）求直线和直线的函数表达式及点的坐标； （2）在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图1，在中，点D、E分别在、边上，连接、，过点作的平行线，交的延长线于点，若，，求证：； 问题解决 （2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图 2 所示，在四边形中，，设计师计划在边上取点，在边上取其中点，连接、、，使得，将区域规划为研发区，为合理预算，需要知道、、之间的数量关系．请你帮助设计师求出、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期九年级摸底测试 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、年级、姓名和座位号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果电梯上升5层，记作层，那么电梯下降6层可记作（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，熟知正负数可以表示相反意义的量是解本题的关键．根据正负数代表相反意义的量，上升记为正，则下降记为负，解答即可． 【详解】解：∵电梯上升层记作层，上升与下降是表示相反意义的量， ∴电梯下降层记为层， 故选：A． 2. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、C中的图案是轴对称图形，故A、B、C不符合题意． D中图案不是轴对称图形，故D符合题意；   故选：D． 3. 如图，，点C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义，求出的度数，再根据平行线的性质，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则计算并判断A、B；根据单项式除以单项式法则计算并判断C；根据积的乘方与幂的乘方法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：如图， A、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； B、，，可以证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，故符合题意； 故选：D． 6. 一次函数（a为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式判断其图象是解题的关键．根据一次函数的性质可得，一次函数经过点，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：一次函数， 当时，， ∴一次函数经过点， 只有C符合题意 故选：C． 7. 如图，点D为的边上一点，连接，，与的面积之比为，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，等边对等角，三角形内角和定理． 作交于，作交于，根据与的面积之比为得到，即是的角平分线，进而根据等边对等角及三角形内角和定理计算即可． 【详解】如图，作交于，作交于， ∵与的面积之比为， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 8. 已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（ ） A. B. 一次函数的图象经过点 C. 对于一次函数，当时， D. 若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项． 先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论． 【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数向上平移5个单位得，故． A、由平移规律计算得，此选项不符合题意； B、将代入，得，故图象经过点，此选项不符合题意； C、∵中，随增大而减小，当时，， ∴时，，此选项不符合题意； D、∵，随增大而减小，又， ∴，此选项符合题意； 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 10. 一些大小相同的★按如图所示的规律摆放：第1个图形有4颗★，第2个图形有7颗★，第3个图形有10颗★，第4个图形有13颗★，，依此规律，第70个图形有______颗★． 【答案】211 【解析】 【分析】本题考查了整式的图形规律探索，求代数式的值，熟练掌握整式的图形规律探索是解题的关键．通过列举前4个图的★的个数，找出一般规律，并表示为整式，然后令，代入计算即可． 【详解】解：第1个图形有4颗★， 第2个图形有颗★， 第3个图形有颗★， 第4个图形有颗★， ， 第n个图形有颗★， 当时，， 所以第70个图形有211颗★． 故答案为：211． 11. 某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利40元，设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据折扣价等于原价乘以折扣，利润等于售价减去进价，列出方程即可． 【详解】解：设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为； 故答案为：． 12. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．勾股定理与图形的面积存在密切的关系，如图是由、组成的图形，其中，已知，，，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，先求解，可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 的面积为． 故答案为：6． 13. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 14. 如图，在中，，，，点D在边上，点E是边上的动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作于点M，取中点Q，连接，则可证明，则，根据知，垂直平分，则；由等边三角形的性质知，则，从而点F在线段的垂直平分线上运动，当点F在上时，取得最小值，且最小值为线段的长． 【详解】解：如图，过点E作于点M，取中点Q，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上运动， ∵， ∴当点F在上时，取得最小值，且最小值为线段的长， ∵， ∴取得最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练运用这些知识并确定点F的运动路径是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，求立方根，化简绝对值． 先计算零指数幂，求立方根，化简绝对值，再去括号，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 17. 解不等式组：并把解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】 ，解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与解集的数轴表示，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，准确求出不等式组的公共解集。 分别求解不等式①和不等式②，再确定两个解集的公共部分，得到不等式组的解集。 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 18. 如图，在中，请用尺规作图法在线段上求作一点D，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示（作法不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（作线段的垂直平分线）及线段垂直平分线的性质． 用尺规作的垂直平分线，其与的交点为． 【详解】如图： ； 分别以、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别相交于两点；过这两点作直线，该直线与的交点即为所求的点． 证明： 由作图步骤可知，所作直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等． 因为点在的垂直平分线上， 所以． 19. 如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可得，由，可得，结合已知条件，可证，从而题目可解． 【详解】证明：， ， ， ， 在与中， ， ． ． 20. 京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有生、旦、净、丑等．现有四张不透明卡片（如图），正面分别印有“生”、“旦”、“净”、“丑”四种角色的卡通人物，卡片除正面图案不同外其余都相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放在桌上． （1）“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） （2）洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下图案后放回，记作随机抽卡片1次．随机抽取卡片10次，其中抽到印有“生”角色卡通人物的卡片2次，则这10次抽卡片中，抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为______； （3）从这四张卡片中随机抽取一张，求抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率． 【答案】（1）随机 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了事件分类，频率计算，概率公式应用，解题的关键是熟练掌握概率计算公式． （1）根据事件的分类方法，进行求解即可； （2）根据频率的计算公式，进行求解即可； （3）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：“从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上印有‘生’角色的卡通人物”这一事件属于随机事件； 【小问2详解】 解：抽到印有“生”角色卡通人物的卡片的频率为； 【小问3详解】 解：从这四张卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上恰好印有“净”角色的卡通人物的概率为． 21. 数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，阳阳所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量活动报告： 活动报告 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 目的 运用所学知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 如图，阳阳在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，此时，测得的度数，发现与互余，同时测得，，利用激光笔测得点A、点Q和点P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 安全 测量过程中注意自己及他人的安全． 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的内角和定理等知识，根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ． 与互余， ． ， 在和中，，，， ， ， ． 教学楼顶部宣传牌的高度为3.5m． 22. 在今年的全国两会上，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，目的就是在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯．已知在一定范围内，标准体重y（单位：）与身高x（单位：）之间符合一次函数关系，其部分对应值如表（粗略估计标准体重）： 身高 160 161 162 … 标准体重 54 54.9 55.8 … （1）求y与x之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，已知小军和小明的身高相差，求他们的标准体重相差多少？ 【答案】（1）； （2）他们的标准体重相差． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据表格中的数据，可以计算出y和x之间的函数关系式； （2）根据小军和小明的身高相差，设小军的身高为，则小明的身高为，然后根据一次函数表达式分别表示出小军和小明的标准体重，再表示出他们的标准体重差，最后化简即可获解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，）， 由表格可知：，在该函数图象上， 解得 y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：不妨设小军的身高为，则小明的身高为， 小军的标准体重， 小明的标准体重， ． 他们的标准体重相差． 23. 西安，这座见证了千年历史的城市，以其深厚的文化底蕴和丰富的旅游资源吸引着各地游客．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区8月份某天的游客中随机抽取若干名游客对景区的服务质量进行评分，评分结果用x（单位：分）表示，将全部评分结果按以下四组进行整理，并绘制了如下不完整的统计图表： 分组 评分分 人数（频数） 各组总分/分 A 16 1100 B m 3000 C 94 8000 D 50 4900 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取游客评分的中位数落在______组； （2）求所抽取游客评分的平均分数； （3）若规定游客评分不低于80分，则认定此游客对该景区的服务质量较为满意．假设这天该景区有2000名游客，请你估计这2000名游客中对该景区的服务质量较为满意的有多少名？ 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示： C； （2）85分； （3）1440名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）先根据D组人数和所占比例求出总人数，进而算出B组人数补全直方图；再通过确定中位数位置，结合各组人数判断其所在组． （2）根据平均数公式，用所有组的总分和除以总人数，计算平均分数． （3）先算出评分不低于80分的人数占抽取总人数的比例，再用景区总游客数乘以该比例，估计出较为满意的游客数量． 【小问1详解】 解：∵统计图和扇形统计图知：D组人数50及所占比例， ∴抽取总人数为人． ∴B组人数人． ∵中位数是第100和101个数据的平均数， A组有16人，B组有40人，前两组共人，C组有94人， 所以第100和101个数据都在C组，即中位数落在C组． 故答案为：C； 【小问2详解】 解：（分）， 所抽取游客评分的平均分数为85分． 【小问3详解】 评分不低于80分的是组和组，人数共人， （名）， 估计这2000名游客中对该景区的服务质量较为满意的有1440名． 24. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，过点E作交于点F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，结合平行线的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，结合勾股定理把四边形的的各条边长求出来，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ． 点D是的中点， ， 于点E， ，由（1）知， ， ，． 在中，． 由（1）知，是等边三角形， ． ， 四边形的周长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：（为常数）、直线：（为常数）分别交轴于点、，点是两直线的交点． （1）求直线和直线的函数表达式及点的坐标； （2）在直线上是否存在点，连接，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）存在，点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出：，：，然后联立方程组得，解得，从而求出点坐标； （）先求出的面积，然后分当点在轴上方时，当点在轴下方时两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 将代入：（为常数）中，得， 解得， ∴：， 联立方程组，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：存在，理由： ∵、， ∴， ∴的面积， 当点在轴上方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴； 当点在轴下方时，由知， ∴，即，解得， 在中，令，则，解得， ∴， 综上，存在点，使得，点的坐标为或． 26. 问题探究 （1）如图1，在中，点D、E分别在、边上，连接、，过点作的平行线，交的延长线于点，若，，求证：； 问题解决 （2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图 2 所示，在四边形中，，设计师计划在边上取点，在边上取其中点，连接、、，使得，将区域规划为研发区，为合理预算，需要知道、、之间的数量关系．请你帮助设计师求出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：， ， 在和中，，，， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解： 理由：如图，延长，交的延长线于H， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， F为边上的中点， ， 在和中，，，， ， ，， ， 垂直平分， ， ， . 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一及垂直平分线的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，结合垂直条件推导角或线段的结论。 （1）通过证明得到中点，再利用等腰三角形＂三线合一＂证明角平分线； （2）延长线段构造，结合垂直平分线性质推导线段和差关系。 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $