第十三章 三角形 三角形中的三线与内外角计算 常考题型 专题练 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十三章三角形三角形中的三线与内外角计算常考题型专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版(2024)八年级上册 基础练 知识点一、三角形中的三线计算问题 1.如图，AD是ABC的中线，己知AB=5cm,AC=3cm. D B (I)求△ABD与△ACD的周长之差； (2)若AB边上的高为2cm,求AC边上的高. 2.如图，在ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线， B E D (1)若∠B=32°，∠C=60°，求： ①∠DAC的度数； ②∠DAE的度数 (2)若AB⊥AC,AC=3,AB=4,BC=5,求AD的长. 3.在ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意一点，连结AD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F,BG为AC边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） B B ① ② ③ 【画图探究】(1)如图①，当点D在边BC上时，请画出BG,猜想DE,DF,BG之间的数量关 系并证明 【运用】(2)如图②，当点D为BC中点时，BG与DE的数量关系为 【拓展】(3)如图③，当点D在CB的延长线上时，DE、DF、BG之间的数量关系为 知识点二三角形中的折叠求角度问题 4如图，点E,F分别在ABC边AB和AC上，连接EF,将ABC沿着直线EF折叠，使得点A与 点A重合，连接A'B,A'C,A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB. B (I)若∠A=50°，求∠BA'C的度数： (2)若∠A'EB+LA'FC=x°，∠BA'C=y°，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围， 5.如图(1)所示，把ABC沿DE折叠， B C 图(1) 图(2) 图(3) (1)当点C落在四边形BCDE内部时，∠C与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找 一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律 (2)当点A落在四边形AC上方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_ (3)当点A落在四边形BC下方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_， 知识点三、三角形的内外角有关的问题 6.如图，在ABC中，点D在边AC上，且LBDC=90°，LA=60°，CE平分∠ACB交BD于点E. (I)求∠ABD的度数. (2)若∠BEC=122°，求∠ABC的度数 7.如图，ABC中，D为AC边上一点，过点D作DE∥AB,交BC于点E,F为AB边上一点，连接 DF并延长，交CB的延长线于点G,且∠DFA=∠A. B E (I)试说明DE平分∠CDF; (2)若∠C=80°，∠ABC=60°，求LG的度数. 8.如图，AD为ABC的角平分线，点E在AD上（不与A,D重合），∠BED=∠BDE,延长BE交 AC于点F, D 图1 图2 (1)如图1，若∠ABC=90°，则∠BFC的度数为 (2)当∠ABC≠90°时，求证：∠ABC+∠BFC=180°； (3)如图2，∠ACB的角平分线交BF于点G,请用一个等式表示∠CGF,∠ABC,∠ACB三个角之间 的数量关系，并说明理由 拓展练 一、单选题 1.如图，在ABC中，点D,E分别是BC、AD的中点，且S△ABc=8,则图中阴影部分的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 2.作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是() C B A B. D B B C D 3.如图，在ABC中，∠B=30°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD=130°，则∠AEC的度数 为() B E C A.70° B.75 C.80° D.85° 二、填空题 4.如图，现有一张三角形纸片ABC,点D,E分别是AC,AB边上的一点，将该纸片沿DE折叠，使 得点A落在四边形BCDE的外部点A的位置，且点与点C在直线AB的异侧.若∠C=100°， ∠A=30°，且A'E∥BC,则∠ADE的度数为· E B 5.如图，ABC的面积为1，第一次操作：分别延长AB,BC,CA至点A,B,C,使AB=AB, B,C=BC,CA=CA,顺次连接AB、C1,得到△A,B,C;第二次操作：分别延长AB,BC, CA至点4，B,G,使AB,=A,B,B2C,=B,C1,C2A=CA,顺次连接A2、B2、C2,得到 △4，B,C2;…;按此规律，第n次操作后，得到△4,B.C，要使△4 B.C的面积超过2025，则至少需 要操作次 B A B B 三、解答题 6.如图所示，己知三角形ABC的面积为20，BE=3CE,AF=EF,求阴影部分的面积. B 7.如图，ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E,己知 ACB=80,∠B=24°. D (1)∠BAC的度数为 ； (2)求∠P的度数. 8.如图，在ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A,B重合），CD与BE交于点O. B (I)若CD是中线，BC=3,AC=2,则△BCD与△ACD的周长差为 (2)若LABC=62°，CD是ABC的高，求∠B0C的度数 9.如图，∠M0N=50°，OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点（点A, B,C不与点O重合)，且AB∥ON,连接AC交射线OE于点D M (1)求∠AB0的度数； (2)当△ADB中有两个相等的角时，求∠0AC的度数. 10.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠A=∠BCD. 图1 图2 (I)请说明CD⊥AB; (2)如图2，若AE平分∠BAC,交CD于点F,交BC于点E,∠CEA与LCFE相等吗？请说明理由. I1.如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线： D (1)若∠ACB=50,∠BAD=65°，求∠AEC的度数； (②)若AB=9,BC>AB,△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长. 12.已知∠A0B=90°，直线CD与OA交于点C,与OB交于点D,点C,D均不与点O重合，CE平 分∠DC0,DE平分LCD0. B B D G E A/C A/C 图1 图2 (1)如图1，∠CED的度数为 (2)如图2，延长CE与BO交于点F,过E作射线EG与CD交于点G,且满足∠CF0-∠GED=45°.求 证：GE∥D0. 答案 基础练 1.(1)2cm ⊙” (1)解：△ABD的周长为AB+AD+BD, △ACD的周长为AC+AD+CD, AD是△ABC的边BC上的中线， .BD CD, :AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB-AC=5-3=2 cm); (2)设AC边上的高为hcm, AD是△ABC的中线， .S。ACD=S&ABD, 48x2-4cxa, 即x5x2=x3xh, 2 解得h=10 (cm）. 2.(1)①30°，②14° e0-号 (1)(1)解：①AD是高， .∠ADC=90°， .∠DAC+∠C=90°， :∠C=60°， .∠DAC=30°； ②：∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=32°，∠C=60°， .∠BAC=88°， :AE是∠BAC的平分线， :∠EAC=∠BAC=44, 2 .LDAE=∠EAC-∠DAC=14°； (2)解：：AB⊥AC,AD是高， :5号A8C Sw-寸4cd0, AC=3,AB=4,BC=5, x4×35x54AD, 1 2 40号 3.(1)作图见解析；BG=DE+DF,证明见解析；(2)BG=2DE,理由见解析；(3) DF=DE+BG,理由见解析 解：(1)依题意，AC边上的高BG如下图所示： G DE,DF,BG之间的数量关系：BG=DE+DF. B D 证明：：DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,AB=AC, S.4RC=S.4D+S.4CD 4cBG-4DE+号4c-r, .BG=DE +DF (2)BG与DE的数量关系为：BG=2DE. 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, G D :DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, S.ABC=S.4BD+S.4CD C-G-40-DE+CDF 2 :BG DE +DF :AB=AC,点D为BC中点时， 5w=8m,年48.DE=4cDr. .DE =DF, :BG=DE+DF=DE DE =2DE 故答案为：BG=2DE; (3)DE,DF,BG之间的数量关系：DF=DE+BG· 理由：如图，过点B作BG⊥AC交AC于点G, G D B E :DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC, .S△ACD=S△ABD+S△ABc, 号4C-Dr-4BDE+号4Co :DF DE+BG, 故答案为：DF=DE+BG. 4.(1)115° 国r=0+r0<<10 (1)解：如图， E :∠A+LABC+LACB=180°，且∠A=50, B 4C ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° 又A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB, :A=∠2=∠ABC,∠3=∠4=∠ACB, 2 2 ∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠ACB=x130=63 ∠BA'C=180°-65°=115°； (2)解：设∠A'EB=,∠AFC=B,则a+B=x°， 由折叠得，∠AEF=∠A'EF,∠AFE=∠A'FE, ∠4Er-180-a=90-0,∠4rE=1s0-刷=0 3B. Bp=180-∠iF-∠1rE=180-0+a-90+B-a+刷- , 2 而∠EAB=180°-a-∠1，∠FA'C=180°-B-∠3， ∠1=∠2，∠3=∠4， .∠EA'B=180°-o-∠2，∠FA'C=180°-B-∠4， :LEA'F+∠EA'B+∠BA'C+∠FA'C=360°， 3e+180°-a-22+y+180°-B-∠4=3609 e+180°-☑2+∠4-Q+B+y+180P=360 +y-x°+y+180°=360 1 .y=90°+-x(0<x<180). 5.(1)∠1+∠2=2∠C,证明见解析 (2)L2-∠1=2∠C (3)∠1-L2=2LC (1)解：∠1+∠2=2∠C,证明如下： 由折叠的性质可得：∠DEC=LDEC',∠CDE=LC'DE, .∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED, :∠CDE+∠CED+∠C=180°，