精品解析：河南省南阳市社旗县2020—2021学年上学期九年级数学期中试题

2020年秋期九年级期中教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔及2B铅笔直接把答案填涂在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生必需将本人姓名、准考证号等信息填涂在试题卷及答题卡的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 7. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 9. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上．） 11. 写出一个比大且比小的整数 _______． 12. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 13. 已知，则________． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 15. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. 已知，求代数式的值． 17. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，） 18. 操作手工课上，如下图，面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形，现将四个小正方形剪掉，制作一个无盖的长方体盒子． 【发现】爱用数学眼光看问题的亮亮同学，课下欣赏自己制作好的作品时，一个数学问题脱口而出：面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形，现将四个小正方形剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到，） 【解决】请你解答亮亮的问题． 19. “题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 20. 某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台，商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （1）本题如果设销售定价为元，请说明x所表示的意义；还需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ 21. 如图，在和中，点D，分别是，上的一点，． （1）当时，判断与是否相似，并说明理由． （2）当时，判断与是否相似，不必说明理由． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售价（元满足关系式：．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元． （1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式； （2）当元时，此时的销售单价定为多少元？ 23. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020年秋期九年级期中教学质量评估 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔及2B铅笔直接把答案填涂在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生必需将本人姓名、准考证号等信息填涂在试题卷及答题卡的指定位置上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．把各选项中的二次根式化简后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与是同类二次根式； B．∵， ∴与不是同类二次根式； C．∵， ∴与不是同类二次根式； D．∵， ∴与不是同类二次根式； 故选A． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式； B． ，不是最简二次根式； C． 是最简二次根式； D． ，不是最简二次根式； 故选C． 3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断； 【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度 故选：D. 【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解. 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意； B．，是无理数，不符合题意； C．，是无理数，不符合题意； D．，是有理数，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，辨别运算结果，区分运算结果是否是有理数是解题的关键． 6. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ） A. (1.5＋150tan)米 B. (1.5＋)米 C. (1.5＋150sin)米 D. (1.5＋)米 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， 可知AE=DC=150，EC=AD=1.5， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 7. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1， 而A（1，2），C（3，1）， ∴D（2，4），F（6，2）， ∴DF＝=， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 9. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，化简二次根式．根据二次根式的化简可判断A，B，根据分母有理化可判断C，D． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确； 故选：D． 10. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴△AEF∽△ACD， ∴，故选项A错误； ∴， ∵， ∴△CEG∽△CAB， ∴， ∴，故选项B错误；，故选项D错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上．） 11. 写出一个比大且比小的整数 _______． 【答案】3或4或5 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：，， 比大且比小的整数有3、4、5， 故答案为：3或4或5． 12. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 13. 已知，则________． 【答案】20 【解析】 【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 15. 如图，在矩形中，，，点E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连接，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，证明，求解，证明，进一步求解即可． 【详解】解：由折叠性质得， ∵点E是的中点，， ∴， ，， ∵， ， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， ∴原式． 17. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：，，，） 【答案】51 【解析】 【分析】由三角函数求出，得出，在中，由三角函数得出，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：炎帝塑像DE的高度约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中． 18. 操作手工课上，如下图，面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形，现将四个小正方形剪掉，制作一个无盖的长方体盒子． 【发现】爱用数学眼光看问题的亮亮同学，课下欣赏自己制作好的作品时，一个数学问题脱口而出：面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形，现将四个小正方形剪掉，制作一个无盖的长方体盒子．求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到，） 【解决】请你解答亮亮的问题． 【答案】这个长方体的底面边长约为，高约为． 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知大正方形的面积和小正方形的面积，可用二次根式表示两个正方形的边长，从而可求这个长方体的底面边长和高． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则：， ∴，（，舍去） ∴这个长方体的底面边长为： 高为：， 答：这个长方体的底面边长约为，高约为． 19. “题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 【答案】 解：， 不论取何值，这个代数式的值总是正数；当取1时，这个代数式的值很小，最小值是5； ， 不论取何值，这个代数式的值总是负数；当取1时，这个代数式的值最大，最大值是． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论． 【详解】略 20. 某商店准备进某一品牌的小型电饭煲，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台，商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ （1）本题如果设销售定价为元，请说明x所表示的意义；还需要列出哪些相关量的代数式？ （2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ 【答案】（1）x表示销售定价在元的基础上增加的价格，每台小型电饭煲的利润为元，销售数量为台． （2），都符合题意，当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用． （1）由销售定价为元，可得的含义，再表示每台小型电饭煲的利润以及销售数量即可． （2）根据每台利润乘以销售量等于，再建立方程求解并检验即可． 【小问1详解】 解：设销售定价为元，则x表示销售定价在元的基础上增加的价格， 则此时的每台小型电饭煲的利润为元， 此时的销售数量为：台． 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴， 解得：，， 经检验，都符合题意， ∴当时，定价为每台元，进货台，时，定价为每台元，进货台． 21. 如图，在和中，点D，分别是，上的一点，． （1）当时，判断与是否相似，并说明理由． （2）当时，判断与是否相似，不必说明理由． 【答案】（1）相似，证明见解析 （2）相似，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键． （1）根据证得，推出，再证明结论． （2）作，，利用三边对应成比例证得，再推出，证得，即可证明． 【小问1详解】 解：与相似，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：与相似，理由如下： 如图，过点D、分别作，， 交于点E，交于点， ∵， ∴， ∴， 同理：， 又， ∴， ∴， 同理：， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴， 又， ∴． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售价（元满足关系式：．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元． （1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式； （2）当元时，此时的销售单价定为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为28元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）日获利为每千克利润销售量，代入数据可得答案； （2）结合（1）的结论，令解出的值即可． 【小问1详解】 根据题意得：， 日获利与销售价之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时， ， 解得， 答：销售单价定为28元． 23. 问题背景：如图（1），已知，求证：； 尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值； 拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：∵， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴； 尝试应用：3； 拓展创新：． 【解析】 【分析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证； 尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案． 【详解】问题背景：略 尝试应用：连接CE， ∵，， ∴， ∴， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 由于，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵ ∴， ∴； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴， ∴， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴， ∴， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $