精品解析：四川省绵阳润禾实验高中2025-2026学年高三上学期入学考试数学试卷

润禾实验高级中学高2023级2025-2026学年度上期 高三年级入学考试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数是 C. 的实部为 D. 3. 设向量，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与垂直 4. 下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若为第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 7. 在以下命题中，不正确的个数为(　　) ①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）． A. 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从分布，且，则 D. 若随机变量满足，则 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 11. 已知，下列说法中正确的是（ ） A. 函数在恰有一个极值点 B. 函数在上单调递增 C. ， D. 是函数的图象上一动点，是直线上一动点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数________． ①在上单调递增；②的值域为；③为偶函数． 13. 已知向量，，若，则__________． 14. 已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，点在抛物线上，且点在直线的下方，若面积的最大值是，则抛物线的方程是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知：（，为常数）． （1）若，求的最小正周期； （2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值． 16. 已知函数． （1）若是的极值点， 求函数的单调性； （2）若时，，求的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，，棱，分别为的中点． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值； （3）求证：是平面的一个法向量． 18. 已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； （3）若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 19. 一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. （1）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； （2）设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； （3）若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 润禾实验高级中学高2023级2025-2026学年度上期 高三年级入学考试数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 设集合，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交并补运算分析判断即可 【详解】解：因为集合， ，， 所以，所以A错误， 因为，，所以，所以B错误， 因为，，， 所以，， 所以，所以C错误， 因为，， 所以，所以D正确， 故选：D. 2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数是 C. 的实部为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再按照复数代数形式的乘法运算、共轭复数的定义以及复数模的计算公式一一计算可得； 【详解】解：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，，，所以的实部为； 故选：C 3. 设向量，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据，逐项判断. 【详解】因为， 所以，， ， 显然不平行， 故选：D. 4. 下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由奇偶性的定义依次判断函数的奇偶性，再由基本函数的单调性判断其增减性即可 【详解】A.定义域为，不关于原点对称，故不符合； B.定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，在上是减函数，不符合； C.定义域为关于原点对称，，所以是奇函数，不符合； D.定义域为关于原点对称，当时，，当时，，所以是偶函数，时，是增函数，符合. 故选：D 【点睛】此题考查函数的奇偶性的判断和增减性的判断，属于基础题 5. 若为第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦、诱导公式及同角的三角函数基本关系式可得，根据两角差的余弦、倍角公式结合弦切互化法可求三角函数式的值. 【详解】∵，∴ ∵为第一象限角，∴，即 ∴ 故选：B. 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以． 故选：B 7. 在以下命题中，不正确的个数为(　　) ①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判断⑤． 【详解】对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误； 对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误； 对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得. 则，即. 又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误； 对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底； 设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确； 对⑤，∵|（）|＝||×||×|cos，|×||≤||||||，∴⑤错误． 故选C． 【点睛】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题. 8. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）． A. 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种 【答案】D 【解析】 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量服从分布，且，则 D. 若随机变量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从分布，且，则，故错误； D.由随机变量满足，则， 所以，故正确； 故选：ABD 10. 在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（ ） A. q＝1 B. 数列{Sn+2}是等比数列 C. S8＝510 D. 数列{lgan}是公差为2的等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】 先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，可得到等比数列{an}的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项． 【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0， 故a2＞0，a3＞0． 根据根与系数的关系，可知 a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根． 解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4． 故必有公比q＞0， ∴a10． ∵等比数列{an}是递增数列，∴q＞1． ∴a2＝4，a3＝8满足题意． ∴q＝2，a12．故选项A不正确． an＝a1•qn﹣1＝2n． ∵Sn2n+1﹣2． ∴Sn+2＝2n+1＝4•2n﹣1． ∴数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确． S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确． ∵lgan＝lg2n＝n． ∴数列{lgan}是公差为1的等差数列．故选项D不正确． 故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11. 已知，下列说法中正确的是（ ） A. 函数在恰有一个极值点 B. 函数在上单调递增 C. ， D. 是函数的图象上一动点，是直线上一动点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，确定函数在单调递减；在单调递增，其中，即可判断ABC，对于D，求得曲线在处的切线和平行，即可判断. 【详解】解：，定义域为， ，显然在上单调递增， 且， 又，即，所以， 所以存在，使得，即， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，且为最小值点，无极大值点； 对于A，函数在上无极值点，故A错误； 对于B，由上述分析可知正确； 对于C，， 由，易知当，取得最小值， 所以，故C正确； 对于D，设与直线平行的直线l，l与函数f(x)的图像切于点， 所以，即，解得，所以切点为， 所以点到直线的距离即为的最小值， 所以，故D正确． 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数________． ①在上单调递增；②的值域为；③为偶函数． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】对数函数的定义域一般为，在上单调递增，需要底数大于1，若满足为偶函数，可加绝对值，即满足条件. 【详解】解：取，则为偶函数，在上单调递增，且值域为，满足题中条件． 故答案为：. 13. 已知向量，，若，则__________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵且 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为5 14. 已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，点在抛物线上，且点在直线的下方，若面积的最大值是，则抛物线的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，联立直线与抛物线的方程消元，然后算出，设，由题意可知当直线与过点，且与抛物线相切的直线平行时，的面积取最大值，利用导数的几何意义求出点，然后利用面积求出即可. 【详解】由题意可知：，且直线与抛物线必相交， 则直线的方程为，设，， 联立方程，消去y整理得， 则，， 可得，故， 设，由题意可知当直线与过点，且与抛物线相切的直线平行时，的面积取最大值. 因为，则， 可得，解得，即， 此时点到直线的距离，故，解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知：（，为常数）． （1）若，求的最小正周期； （2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值． 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期； （2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值． 【详解】解： ， （1）的最小正周期； （2），， 当时，即，取得最小值为， 当时，即，取得最大值为， 最大值与最小值之和为3，，， 故的值为0． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题． 16. 已知函数． （1）若是的极值点， 求函数的单调性； （2）若时，，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，结合 f′（1）＝0求得a＝1，代入导函数，得到f′（x），再由y＝x2+ln x﹣1 在（0，+∞）上单调递增，且x＝1时y＝0，可得当0＜x＜1 时，f′（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1 时，f′（x）＞0，f （x）单调递增； （2）由 f （x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求导可得其最小值，则a的范围可求． 【详解】（1） 因为是的极值点， 所以，可得． 所以，. 因为在上单调递增，且时，， 所以时，，，单调递减； 时， ，，单调递增． 故在上单调递减，在上单调递增． （2）由得， 因为，所以. 设， 则. 令， 则， 显然在内单调递减，且， 所以时，，单调递减， 则，即， 所以在内单减，从而. 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题． 17. 如图，在直三棱柱中，，棱，分别为的中点． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值； （3）求证：是平面的一个法向量． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求的长； （2）利用空间向量法可求与夹角的余弦值； （3）利用空间向量法证明出，，即可证得结论成立. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，则，所以的长为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 则， 所以与的夹角余弦值为. 【小问3详解】 由（1）可得：，，， 则，，可知，， 因为，、平面，则平面， 所以是平面的一个法向量. 18. 已知椭圆C：的离心率为点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左右顶点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线：与椭圆C相交于P，Q两点，且求证：为坐标原点的面积为定值； （3）若M为平面上的一个动点，设直线AM，BM的斜率分别为且满足直线AM，BM分别交动直线于点D，E，过点D作BM的垂线交x轴于点判断是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明：联立消去y并整理得 此时 设， 由韦达定理得， 因为 又O到直线PQ的距离且 所以 综上，的面积为定值，定值为； （3）存在， 【解析】 【分析】根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可； 将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求证即可； 设出直线AM和BM的方程，求出D，E，H两点的坐标，利用向量的坐标运算进行求解即可． 【小问1详解】 因为点在椭圆C上，且离心率为 所以 解得， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为直线AM，BM的斜率分别为且满足 设直线AM的方程为 令，可得，即， 同理得， 因为直线DH的方程为 令，解得，即， 所以 当时，取到最大值，最大值为 则存在最大值，最大值为 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线的综合题，难点在于复杂的运算，特别的，基本都是有关字母参数的运算，因此需要学生具备较强的计算能力. 19. 一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. （1）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； （2）设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； （3）若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出、和即可求解； （3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出和，求出时即可求解. 【小问1详解】 设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池， 则，， 所以； 【小问2详解】 由题意，的可能取值为1，2，3， ，，， 所以； 【小问3详解】 由题意，现有3块可充电池和2块一次性电池可使用， 经分析可得，， 时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $