精品解析：重庆市渝北区数据谷中学校2025-2026学年上学期八年级 开学考数学试题（8月31日练习）

重庆市渝北区数据谷中学校2025-2026学年上学期八年级 开学考数学试题（8月31日练习） A卷（100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0.3 B. C. D. 3. 下列调查中，选取的样本最具有代表性的是（ ） A. 为了解渝中区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查 B. 为了解新世纪百货某专卖店的平均营业额，选在周末进行调查 C. 为了解某校名学生的视力情况，随机抽取该校名学生进行调查 D. 为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查 4. 估算的值是在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 5. 已知点P位于第四象限，则点P的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. （多选）若一个直角三角形的两边长分别为9和12，则第三边长为（ ） A. 13 B. 15 C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为_______ 12. 的算术平方根是_____． 13. 已知，则的值为_______． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 15. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相，激发了公众对机器人技术的研究热情．机器人爱好者小南同学通过查阅资料了解到，某一型号机器人的零件在生产时，因设备启动、参数校准等因素，通常存在“首小时低效期”与“稳定高效期”的生产特点．其零件生产时间与生产数量y（个）的具体数据如下表所示，则y与x的关系式为_______不必写出x的取值范围）． 零件生产时间 1 2 3 4 ．．． 生产数量y（个） 18 48 78 108 ··· 16. 如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则__________． 三、解答题：（本大题4个小题，17题16分，20题8分，其余各题每题6分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程组：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? 20. 已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ( )， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ， ∴ ( )， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）． 21. （多选）如图，，，，连接，且的延长线交于点，连接，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 22. 已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）． 23. 已知分别是的整数部分和小数部分，则______． 24. 如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 25. 对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之差是千位数字与十位数字之差的2倍，则称这个自然数M为“二倍间距数”，并规定M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，．例如：对于四位自然数3612，因为，所以3612是“二倍间距数”，.已知四位自然数是“二倍间距数”，若，则______；若“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），且为有理数，为整数，则B的值为______． 六、解答题（26题10分，27题10分，28题10分，共30分） 26. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 27. 如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． （1）参照图②，求及图②中的值； （2）当点出发______秒时，点的运动路程为； （3）设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 28. 在中，D为边上一点，连接． （1）如图1，是的角平分线，过C作，交的延长线于点H，若，，求的度数； （2）如图2，过点D作的垂线，且，连接，，，，交于点F，若，，．求证：； （3）如图3，，，点N在上，且，交于点T，延长至M，使，连接，，当的周长最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝北区数据谷中学校2025-2026学年上学期八年级 开学考数学试题（8月31日练习） A卷（100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，立方根，算术平方根，无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、是有理数，故本选项不符合题意； C、是有理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列调查中，选取的样本最具有代表性的是（ ） A. 为了解渝中区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查 B. 为了解新世纪百货某专卖店的平均营业额，选在周末进行调查 C. 为了解某校名学生的视力情况，随机抽取该校名学生进行调查 D. 为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数据的收集，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现，掌握抽取的特点是解题的关键． 【详解】解：、为了解渝中区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查，不具有代表性，该选项不合题意； 、为了解新世纪百货某专卖店的平均营业额，选择在周末进行调查，不具有代表性，该选项不合题意； 、为了解某校名学生的视力情况，随机抽取该校名学生进行调查，具有代表性和广泛性，该选项符合题意； 、为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查，不具有代表性，该选项不合题意； 故选：． 4. 估算的值是在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．首先估算的范围，再减去2确定结果所在的区间． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 5. 已知点P位于第四象限，则点P的坐标可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标轴上的点的特点以及各象限内点坐标特征解答． 【详解】解：A、在第一象限，故不合题意； B、在第四象限，故符合题意； C、在第二象限，故不合题意； D、在第三象限，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 6. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．解题时，注意分类讨论． 先确定一个内角为，根据的角是顶角和底角分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其邻补角为， 即等腰三角形有一个内角为， 当为顶角时，则， 当为底角时，符合题意， ∴它的底角度数为或， 故选：D． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8. 设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 9. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接．由平分，平分，可得平分，求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，平分， ∴，， 由折叠可知：，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 10. （多选）若一个直角三角形的两边长分别为9和12，则第三边长为（ ） A. 13 B. 15 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理分两种情况讨论：若9和12均为直角边，则第三边为斜边，若其中一边为斜边，则另一条为直角边，由于斜边必为最长边，仅可能12为斜边，此时第三边为直角边，然后问题可求解． 【详解】解：当9和12均为直角边时，第三边（斜边）长为：； 当12为斜边时，第三边（直角边）为：； 故选BC． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年6月，《Nature》报道中国科学家研究成果：通过亚晶格重构提升光子雪崩非线性，成功使得直径27nm（相当于0.000000027m）的纳米颗粒的光学非线性阶数从40跃升至156，为低成本超分辨成像奠定关键技术基础．将数据0.000000027用科学记数法可表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000027用科学记数法可表示为． 故答案为：． 12. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 13. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，先根据完全平方公式将所求式子变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零，理解相关知识是解答关键． 根据二次根式有意义的条件，分式的分母不能为零列出不等式组来求解． 【详解】解：要使式子有意义， 则， 解得且． 故答案为：且． 15. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相，激发了公众对机器人技术的研究热情．机器人爱好者小南同学通过查阅资料了解到，某一型号机器人的零件在生产时，因设备启动、参数校准等因素，通常存在“首小时低效期”与“稳定高效期”的生产特点．其零件生产时间与生产数量y（个）的具体数据如下表所示，则y与x的关系式为_______不必写出x的取值范围）． 零件生产时间 1 2 3 4 ．．． 生产数量y（个） 18 48 78 108 ··· 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式，通过表格数据可得零件生产时间没增加1小时，则生产数量就增加30个，据此可得，即可得出答案． 【详解】解：通过表格数据可得零件生产时间没增加1小时，则生产数量就增加30个， 则， 则y与x的关系式为． 故答案为：． 16. 如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作于点，设为根据角平分线的性质定理得到，根据的面积是40列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 设为 ∵是的平分线， ∴ ， 即， 解得． 故答案为： 三、解答题：（本大题4个小题，17题16分，20题8分，其余各题每题6分，共36分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程组：． 【答案】（1）12 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可； （2）先化简每一项二次根式，再合并即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （4）采用加减消元法即可求解． 本题考查乘方，绝对值，负整数指数幂，零次幂的计算，二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，以及二元一次方程组的求解，掌握相关计算方法是解题关键． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 得：，解得． 把代入①得：，解得． ∴方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练的进行整式的乘法与除法运算是解本题的关键．先计算括号内的整式的乘法运算，再进行多项式除以单项式，得到化简后的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? 【答案】A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 【解析】 【分析】设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元” 列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意可得，， 解得， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 20. 已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ( )， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ， ∴ ( )， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；角平分线上的点到角两边的距离相等；；等量代换； 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的性质和已知条件证明，进而利用证明，则可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵平分，，， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）． 21. （多选）如图，，，，连接，且的延长线交于点，连接，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，证明，得到，， 即可判定①；由三角形全等的性质结合四边形内角和可得，即可判定②正确；过点分别作于点，交的延长线于点，证明，得到，利用角平分线的判定定理可推出平分，即可判定③；由已知无法确定，可知与不一定相等，即知与不一定相等，得出与不一定相等，即得到不一定等于，即可判定④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 过点分别作于点，交的延长线于点，如图所示， 由①知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴，故③正确； 由已知无法确定，则与不一定相等， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等， ∵， ∴不一定等于，故④错误； 综上，说法中正确的有①②③， 故选：． 22. 已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式，且满足 ∴： ⇒ （唯一情况），（单项式）． ： ⇒ ．． ∵为正整数，可能取1、2、3： 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （1种单项式）． 共5种，其中仅1个单项式（）． ： ⇒ ．； 为正整数，可能取1或2： 时，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． 时，： ，（2种二项式）． ，（2种二项式）． 共5种，无三次项． ： ⇒ ，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． ：不满足条件． 验证说法： ①当时，有1个单项式：正确（仅）． ②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）． ③总共有14个整式：错误（实际总数为种）． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）． 23. 已知分别是的整数部分和小数部分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法可得，即得，得到，，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴， ∵分别是的整数部分和小数部分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 24. 如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，几何概率，先证明，得到，根据，，易求，设，则，进而求出，令，则，求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：∵为三角形纸板的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 25. 对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之差是千位数字与十位数字之差的2倍，则称这个自然数M为“二倍间距数”，并规定M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，．例如：对于四位自然数3612，因为，所以3612是“二倍间距数”，.已知四位自然数是“二倍间距数”，若，则______；若“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），且为有理数，为整数，则B的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，算术平方根的含义；由四位自然数是“二倍间距数”，可得，结合，可得；由“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），可得，即，而，结合，为有理数，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四位自然数是“二倍间距数”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∵“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数）， ∴， 整理得：，即， 而， ∵，为有理数， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，，，，，， ∴为，，，，，，，， ∴， ∴， ∴是的倍数， ∴， 故答案为：， 六、解答题（26题10分，27题10分，28题10分，共30分） 26. 图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①；②边上的高为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由勾股定理求出AB的长即可； ②根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【小问1详解】 ①根据勾股定理可得，； 故答案为：； ②设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； 【小问2详解】 设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 【点睛】 27. 如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点、点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点、点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象． （1）参照图②，求及图②中的值； （2）当点出发______秒时，点的运动路程为； （3）设点离开点的路程为（cm），点到点还需要走的路程为（cm），请分别写出改变速度后，、与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点、点相遇时的值． 【答案】（1），， （2） （3），， 【解析】 【分析】（）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （）求出的值，设当点出发秒时，点的运动路程为，进而列出方程即可求解； （）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 解得， 设当点出发秒时，点的运动路程为， 则， 解得， ∴点出发秒时，点的运动路程为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 28. 在中，D为边上一点，连接． （1）如图1，是的角平分线，过C作，交的延长线于点H，若，，求的度数； （2）如图2，过点D作的垂线，且，连接，，，，交于点F，若，，．求证：； （3）如图3，，，点N在上，且，交于点T，延长至M，使，连接，，当的周长最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，作，交的延长线于， ∴，而， ∴， ∵过点D作的垂线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）求解，结合，可得，，求解，，进一步可得答案； （2）如图，作，交的延长线于，证明，可得，，证明，可得，可得； （3）根据，，，如图，过作的平行线，作关于此平行线的对称点，连接，过作于，与平行线的交点为，证明，可得在直线上，当共线时，最小，则的周长最小，证明，可得，，，设，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，点N在上， ∴， ∵， ∴； ∴，， 如图，过作的平行线，作关于此平行线的对称点，连接，过作于，与平行线的交点为， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴在直线上， 由轴对称可得：，， ∴，， 当共线时，最小， 则的周长最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∴， 解得：， ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，二元一次方程组的解法，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $