精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期入学测试数学试题

荣县中学2025-2026学年度高二上数学入学测试 命题人：练春兰 审题人：王小蓉 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为7 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的中位数为7 D. 这组数据的方差为7 4. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D. 若m∥n，n⊂α，则m∥α 7. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 二、多选题 9. 抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ） A. A与B是互斥事件但不是对立事件 B. A与C是互斥事件也是对立事件 C. A与D是互斥事件 D. C与D不是对立事件也不是互斥事件 10. 已知，则下列结论中错误的是（ ） A. 的最大值为2 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 的最小正周期为 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三、填空题 12. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为____________. 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m． 14. 已知在一个长、宽、高、分别为3 cm，4 cm，6 cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为______．（不计铁盒各侧面的厚度） 四、解答题 15. 已知，. （1）与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求k的值. 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值． 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，判断与的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县中学2025-2026学年度高二上数学入学测试 命题人：练春兰 审题人：王小蓉 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点. 【详解】因为， 所以对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得. 【详解】由于，所以. 故选：D 3. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的平均数为7 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的中位数为7 D. 这组数据的方差为7 【答案】D 【解析】 【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可. 【详解】9，5，7，6，8，7这组数据从小到大排列，5，6，7，7，8，9， 所以众数为7，中位数为7，平均数为， 方差为：， 故选：D 4. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 5. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得的值，再结合余弦定理即可求得. 【详解】由题意知，则 由余弦定理得 即. 故选:C. 6. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D. 若m∥n，n⊂α，则m∥α 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得． 【详解】对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误； 对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确； 对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误． 故选：C． 7. 如图，已知长方体的底面为正方形，为棱的中点，且，，则四棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出四棱锥的外接球球心位置并计算出球的半径，从而求得外接球的体积. 【详解】设是的中点，设， 依题意，四边形是正方形，所以， 是的中点，所以. ， 由于分别是的中点，所以， 根据正方体的性质可知平面，所以平面， 由于平面，所以， 所以， 所以是四棱锥的外接球球心，且外接球的半径为， 所以外接球的体积为. 故选：A 8. 设是内一点，且，，定义，其中、、分别是、、的面积，若，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算求得，由此求得，进而求得关于的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】设中，角的对边分别为， ， 依题意可知， 所以，且是正实数， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值是. 故选：B. 二、多选题 9. 抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ） A. A与B是互斥事件但不是对立事件 B. A与C是互斥事件也是对立事件 C. A与D是互斥事件 D. C与D不是对立事件也不是互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可. 【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B, “向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D, 在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确； 在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确； 在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误； 在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题. 10. 已知，则下列结论中错误的是（ ） A. 的最大值为2 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 的最小正周期为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由辅助角公式得，由此可判断A；由周期公式可判断D；由正弦函数、复合函数单调性可判断B；代入检验即可判断C. 【详解】．对于A，，故A错误； 对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，则关于成轴对称，故C错误； 对于D，的最小正周期，故D错误． 故选：ACD． 11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断A项，结合A项、三角形内角和及锐角三角形计算可判断B项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断C项，运用切化弦、差角公式化简式子，由换元法将问题转化为求在上的值域，结合导数求解即可判断D项. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即， 整理得，即 对于A项，因为A、B、C均为锐角，所以，即，故A项正确； 对于B项，因为，，所以， 因为A、B、C均为锐角，所以，即，解得， 所以的取值范围为，故B项错误． 对于C项，由正弦定理得，， 所以，所以．故C项正确． 对于D项，由A项知，，由B项知，，所以， 所以，， 令，则，所以，， 令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，即范围为，故D项正确. 故选：ACD. 第ⅠⅠ卷（非选择题） 三、填空题 12. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】由按比例分配的分层抽样方法中抽样比相等，解方程即可. 【详解】由题意，， 设在“史政生”组合中应选出的学生人数为， 则根据按比例分配分层抽样可得，解得. 故“史政生”组合中选出的学生人数为. 故答案为：. 13. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m． 【答案】1500 【解析】 【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求AM的值，在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，从而可求得MN． 【详解】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m． 在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°， 由正弦定理得，，因此AM＝1000m． 在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝60°， 由＝sin60°得MN＝1500m； ∴山高MN＝1500． 故答案为：1500． 14. 已知在一个长、宽、高、分别为3 cm，4 cm，6 cm的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小钢球，则每个小钢球的最大体积为______．（不计铁盒各侧面的厚度） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知，当两个钢球并排放置时，半径最大，此时每个钢球的直径为，再集合球的体积公式，即可求得结果. 【详解】由题意知，每个小钢球的最大半径为， 所以每个小钢球的最大体积为 故答案为:. 四、解答题 15. 已知，. （1）与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求k的值. 【答案】（1）； （2）0. 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可； （2）求得与的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可. 【小问1详解】 因为，，故. 【小问2详解】 因为，，故，， 又向量与垂直，则，解得. 16. 已知函数． （1）求函数的单调增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，再由可求出函数的增区间， （2）由可得，然后求出的范围，再求出的值，而，两边取余弦化简可求得结果 【小问1详解】 令，，得， 所以函数的单调增区间为，． 【小问2详解】 由可得， 又因为，所以 而，所以， 所以； 所以 ； 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴，∵，∴平面， ∵平面，∴，又是的中点，，∴， ∵，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，由线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由题可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，然后在中根据求解即可； （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点，可证得二面角的平面角是，然后在中根据求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形，又是的中点，，∴，∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为． 【小问3详解】 取中点为，连接，再过作的垂线交于点， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面，∵平面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴，∴二面角的平面角是， ∵平面，平面，∴， ∴是直角三角形，∴二面角的正弦值， ∵，∴，由（1）得平面且平面，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴二面角的正弦值． 19. 对于平面向量，定义“变换”：， （1）若向量，，求； （2）求证：； （3）已知，，且与不平行，，，判断与的大小，并证明． 【答案】（1） （2） 因为. 所以, . . 所以. （3），证明如下： 方法一：， ， 由（2）可得， 又因为 ，即， 可得， 且在内单调递减，， 可知， 所以. 所以 方法二:设， ， 因为， ， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可得到答案； （2）计算得，从而，再展开计算即可证明； （3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可. 【小问1详解】 因为向量, 所以, 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $