精品解析：山东省东营市河口区2023—2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

山东省东营市河口区2023—2024学年八年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 3. 小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知点与点关于轴对称，则实数值是（　　） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 6. 一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或4 9. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（ ） ①小帅的骑车速度为16千米/小时； ②点的坐标为； ③线段对应的函数表达式为； ④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，中，平分，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为___________． 12. 若m、n满足，则的平方根是______． 13. 若点在直线上，则代数式的值是______． 14. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________． 15. 如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 16. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 17. 如图，图1是北京国际数学家大会会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 18. 如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为______． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）若，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 21. 如图，在矩形中，，分别过点，作，于点，，连结，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 22 如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与关于轴对称． （1）求点、、的坐标； （2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围； （3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式． 23. 某商店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小？最小费用是多少元？ 24. 综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． （1）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到位置上（云梯长度不改变），则顶端A上滑到，若，求的长度． （2）【问题解决】在演练中，高24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？ 25. 如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． （1）求证：． （2）求的度数． （3）探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市河口区2023—2024学年八年级上学期期末数学模拟试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2024年12月4日，我国的传统节日“春节”被成功列入《人类非物质文化遗产代表作名录》，下面几幅漂亮的窗花剪纸图案中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 下列关于的说法中，错误的是（ ） A. 是无理数 B. 2<<3 C. 5的平方根是 D. 是5的算术平方根 【答案】C 【解析】 【分析】根据和算术平方根、平方根的性质逐一判断即可． 【详解】A、是无理数，说法正确； B、2＜＜3，说法正确； C、5的平方根是±，故原题说法错误； D、是5的算术平方根，说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的区别，无理数的估算，关键是要熟记平方根和算术平方根的区别． 3. 小明用铁丝做了一个，其中．然后，他又做了一个与全等的三角形，在另外这个三角形中有一个角为，则中等于的角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和等于，全等的三角形的对应角相等，知道一个三角形中只能有一个直角是解决本题的关键． 根据三角形内角和等于可知一个三角形中只能有一个直角，全等三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵一个三角形中只能有一个直角， ∴不可能是直角， ∴中等于的角的是． 故选：C． 4. 已知点与点关于轴对称，则实数的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟记关于轴的对称点的坐标特点是解题的关键． 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 其图象可由图象向下平移2个单位长度得到 C. 随着的增大而增大 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误； 的图象向下平移2个单位长度得到的图象，故B选项结论错误； ，因此随的增大而减小，故C选项结论错误； 图象经过一、二、四象限，故D选项结论正确． 故选：D． 6. 一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象． 7. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可． 【详解】解：分两种情况： ①当和1均为直角边时，第三条边长； ②当1为直角边，为斜边时，第三条边长； 综上所述，第三边长为或2， 故选：C． 9. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是（ ） ①小帅的骑车速度为16千米/小时； ②点的坐标为； ③线段对应的函数表达式为； ④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米． A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定直线DC的解析式，继而确定点C的坐标，计算出小帅的行驶时间，用路程24除以这个时间，就是小帅的速度，可以判断①②的正误；根据点的坐标，确定直线AB的解析式，可以判断③的正误；根据AB的解析式，可以判定小泽的运动速度，乘以时间0.5小时即可确定行驶路程，从而判断④的正误． 【详解】根据图像，得（1，8），（2，24）是直线DC上的两点， 设直线DC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线DC的解析式为y=16x-8， ∴点C（0.5，0）， ∴小帅的速度为=16（千米/小时）， ∴①②都正确； 根据图像，得A（0.5，8），B（2.5，24）， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∴， 解得， ∴线段AB的解析式为y=8x+4，且0.5x≤2.5, ∴小泽的速度为=8（千米/小时）， ∴小泽在小帅达到后，还行走了0.5×8=4（千米）； ∴③④都正确； ∴①②③④都正确； 故选D． 【点睛】本题考查了函数图像信息，一次函数的解析式确定，正确获取图像信息，灵活运用待定系数法是解题的关键． 10. 如图，在中，平分，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据角平分线的性质结合三角形面积法进行求解即可 【详解】解：①设边上的高为h，则，若，则，故①错误； ②过D作，， ∵平分， ∴, ∵ ∴ 因此，若，则，故②正确； ③若，过D作， ∵平分， ∴, ∴ 故③正确； ④若，，， ∴设，则由勾股定理得： ∴，解得， ∴ ∵， ∴，即 解得，．故④正确 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的性质以及运用等积法解决问题，正确运用面积法是解答本题的关键 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 12. 若m、n满足，则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根以及平方根的定义，根据非负数的性质求出m，n的值，然后求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 故答案为：． 13. 若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 14. 已知是等腰三角形，若为腰边上的高，当时，的度数是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，取的中点Q，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，； 当时，∵，， 根据前面证明得， ∴； 当时，∵，， 根据前面的证明，得 ∴； ∵， 故． 故答案为：或或． 15. 如图，在中，，点为上一点，垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，进而得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】解：将沿着折叠，点恰好和点重合， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 16. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【解析】 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 17. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是24， ， ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：44． 18. 如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，图形类规律变化问题，利用一次函数的解析式可得动点从到达处时，运动的总路径的长为，动点从到达处时，运动的总路径的长为，据此找到规律即可求解，由已知图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为，点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴，点的纵坐标为， ∴动点从到达处时，运动的总路径的长为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，， ∴， ∴动点从到达处时，运动的总路径的长为， ， ∴当动点到达处时，运动的总路径的长为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先算开方和绝对值，再算加减； （2）先把两边都除以4，再利用平方根的意义求解． 【详解】解：（1）原式 （2） 或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）直接写出，，三点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）4 【解析】 【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可得出； （2）根据图像直接写出点的坐标即可； （3）用割补法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，顺次连接，则即为所求作的三角形，如图所示： 【小问2详解】 解：，，三点的坐标分别为：，，． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，求三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是作出对应点的坐标． 21. 如图，在矩形中，，分别过点，作，于点，，连结，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与 性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等 知识点， （1）先利用矩形的性质以及已知条件得到、，再根据全等三角形 的性质可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据矩形的性质得到，即，再由勾股定理可得；再根据直角三角形的性质可得，进而求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点， ； 同理可得：， 四边形的面积为． 22. 如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与关于轴对称． （1）求点、、的坐标； （2）若点在的内部（不包含边界），求的取值范围； （3）为坐标原点，若过点的直线将分成的两部分面积之比为，求该直线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想、数形结合的应用． （1）求出，，由直线与直线关于y轴对称，得； （2）当点在直线上时，，当点在直线上时，，即可得当点在的内部时，的取值范围是； （3）求出，分两种情况详情见解析． 【小问1详解】 解：在中，令，得，令，得， ∴，， ∵直线与关于轴对称， ∴与关于轴对称， ∴， ∴，，． 【小问2详解】 解：当点在直线上时，， 解得， 即点的坐标为 当点在直线上时，即为关于轴的对称点为， 即点的坐标为，即， ∴当点在的内部时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 设过点的直线交与，，过作于，如图， ∴， ∴， ∴， ∴在上且，即点纵坐标为2， 由（2）得，， 设直线解析式为，直线过和原点， ∴， 解得：， ∴． 设过点的直线交与，，过作于，如图， ∴， ∴， ∴， ∴在上且，即点纵坐标为2， 由（2）得，， 设直线解析式为，直线过和原点， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，该直线的解析式为或． 23. 某商店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）A，B两种雨伞的单价分别是50元，35元 （2）应购买13把A种雨伞，使此次购买雨伞总费用最小，最小费用为1630元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键． （1）设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为元，根据购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，列一元一次方程，求解即可； （2）设购买m把A种雨伞，总费用为W元，根据此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，列一元一次不等式，求出取值范围，再表示出与的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，A种雨伞购买数量，进一步求出最小费用即可． 【小问1详解】 解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为元， 根据题意，得， 解得， （元） 答：A，B两种雨伞的单价分别是50元，35元． 【小问2详解】 设购买m把A种雨伞，总费用为W元， 则 解得， 故最小整数解为， ． ∵， ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W取得最小值，最小值为． 答：应购买13把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元． 24. 综合与实践：【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． （1）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到位置上（云梯长度不改变），则顶端A上滑到，若，求的长度． （2）【问题解决】在演练中，高24m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24m高的窗口去救援被困人员？ 【答案】（1）；（2）能够到达 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为， ∵，， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24m高的窗口去救援被困人员． 25. 如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连结． （1）求证：． （2）求的度数． （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据证明可得结论； （2）连接，由对称性得，，，可得出 （3）作，垂足为．证明，再根据勾股定理可得结论． 【小问1详解】 证明：平分，， ， ，， ， ； 小问2详解】 解：连接． 点与点关于直线对称， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 作，垂足． ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $