精品解析：广西壮族自治区梧州市藤县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题

2022—2023学年度上学期期末考试试题卷 九年级数学 说明：1.本试卷共8页（试题卷4页，答题卷4页），满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请将学校、班别、姓名、考场、座位号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列二次函数图像开口方向向下的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的图像和性质，二次项系数小于0，开口方向向下，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； B. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； C. 该选项，二次函数图像开口方向向上，不符合题意； D. 该选项，二次函数图像开口方向向下，符合题意； 故选：D． 2. 关于函数的图像与性质的说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图像关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数值y的最大值为2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像与性质逐项分析即可得出答案． 【详解】解：函数， ∴函数的顶点坐标为，在第二象限，故选项A符合题意； 函数图象的对称轴为，图像不关于y轴对称，故选项B不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意； 当时，函数有最小值2，故选项D不符合题意； 故选：A． 3. 在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似形的定义． 利用相似图形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； B该选项图形与原图形相似，符合题意； C. 该选项四边形为矩形，与原图形中的正方形不相似，该选项不符合题意； D.该选项三角部分和圆点部分和原图形不一致，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，弦与半径相等，点C是圆上不同于A、B的点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 根据条件证明为等边三角形，得出，然后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵弦与半径相等， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键． 利用平行线分线段成比例的性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 6. 如图，在中，直径为圆上的点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中求角的正切值，涉及圆周角定理及其推论、勾股定理和正切函数定义等知识，熟记相关知识是解决问题的关键．先由圆周角定理得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由勾股定理求出，从而由正切函数值定义代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，为直径，则， 在中，由勾股定理可得， ， 故选：A． 7. 函数的图象分布在（ ） A. 第一、四象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象分布在第一、三象限， 故选：C． 8. 如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及扇形面积公式、直角三角形面积公式等知识，读懂题意，间接表示出三条弧与边所围成的阴影部分的面积求解是解决问题的关键．如图所示，由题意可得，，即可转化为以为半径的半圆面积，从而求出，由三条弧与边所围成的阴影部分的面积为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得，， 在中，， 则可转化为以为半径的半圆面积， 即， 在中，，则， 三条弧与边所围成的阴影部分的面积是， 故选：B． 9. 如图，在中，为互相垂直的两条弦，是上的点，且，则矩形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求矩形面积，涉及矩形性质、垂径定理等知识，熟练掌握矩形性质与垂径定理是解决问题的关键．先由矩形性质得到，，再由垂径定理得到，，最后由矩形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，则，， 在中，为互相垂直的两条弦， 由垂径定理可得，， 则矩形的面积为， 故选：D． 10. 点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，二次函数的顶点坐标，先根据图形的面积求出反比例函数的比例系数，再根据二次函数的性质即可得出顶点坐标． 【详解】解：根据题意得：， 所以或， 所以抛物线， 所以顶点坐标是或， 故选：D． 11. 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据关于轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，然后分别代入解析式进行整理即可． 【详解】解：∵A、B两点关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 将点A的坐标，代入，得； 将点B的坐标，代入，得， ∴； 故选：B． 12. 如图，D、E、F是三边上的点，把三角形分成三部分，其中，的面积为9，则平行四边形的面积为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线的性质，得出相等的角，证明，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴平行四边形的面积为， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案写在答题卷上） 13. 一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 14. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为，则弦的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆的切线性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接,利用切线的性质得出，利用勾股定理求出，最后利用垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接, 根据题意得，， ∵是小圆的切线， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 15. 若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图像上点的坐标都满足函数解析式是解题关键．把代入，解方程求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为： 16. 如图，在坡角的山顶C上有一座古塔，在山脚A处测得古塔顶部B的仰角为，斜坡长为350米，则古塔的高为________． 【答案】（米） 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用含角的直角三角形的性质求出相关的线段长度，再判断出为等腰直角三角形，得出，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，在中，， ∴（米）， 由勾股定理得（米）， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：（米）． 17. 如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理解应用题，涉及垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理与勾股定理综合求线段长的方法是解决问题的关键．读懂题意，连接，过点作于点，连接，如图所示，由垂径定理得到，设，则， 在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图所示： 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 故答案为：． 18. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系．正确记忆二次函数的性质是解题关键．分与两种情况考虑，对于时，函数是二次函数，由一元二次方程根的判别式即可求得k，再解一元二次方程即可求得交点坐标． 【详解】解：①当时，函数一次函数； 令，则， 解得：， 即交点为， ②当时，函数是二次函数， ∵函数图象与x轴只有一个交点， ∴， 即， 令，则， 解得：， 即交点为． 综上，函数与x轴的这个交点为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请将答案写在答题卷上） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的运算，解题的关键是熟练掌握各特殊角的锐角三角函数值． 先求出特殊角的锐角三角函数值，再进行二次根式的运算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在中，，于D，，试求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）利用勾股定理求出，然后求锐角三角函数的值即可； （2）利用等面积法求出的长，然后求锐角三角函数即可； （3）利用等面积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：由等面积法可得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由等面积法可得，， ∴． 21. 已知是的反比例函数，当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合，涉及待定系数法确定反比例函数解析式、反比例函数图象与性质求函数值的取值范围．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）设，将，代入求解即可得到答案； （2）由（1）求出的解析式，当时，，再由反比例函数图象与性质得到在第二、四象限中，随的增大而增大，从而确定当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，， ， 由反比例函数性质可知，在第二、四象限中，随的增大而增大， 则当时，的取值范围是． 22. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【解析】 【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点（2，-2）代入求出解析式可解． 【详解】解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点（2，-2）代入，得 ， ∴， 当y=-3时，． ∴水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 23. 一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． （1）求的长度； （2）求M、N两点的距离． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； 【小问2详解】 设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 24. 如图，在中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y． （1）求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； （2）若（1）的图像与x轴交于点M，与y轴交于点N，求的面积． 【答案】（1）， （2）18 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和三角形的综合，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据题意求出x的取值范围，再利用平行线的性质求出相等的角，证明，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，列出解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质，分别求出交点坐标，然后求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴的面积为． 25. 如图，为直径，点E为上一点，平分交于点C，过点C作切线交于点D，连接，连接交于F，． （1）求四边形的面积； （2）求的半径； （3）求的长． 【答案】（1）96 （2）13 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，直径定理，角平分线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用直径定理得出，利用角平分线证明，得出，根据切线证明，得出四边形为矩形，利用矩形的性质即可求出面积； （2）利用矩形的性质得出相关线段的长度和直角，假设半径为，则，利用勾股定理列出方程，然后进行求解即可； （3）根据条件证明为的中位线，得出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 假设半径为，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 所以，的半径为13； 【小问3详解】 解：∵，且点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 由勾股定理得． 26. 如图，抛物线（）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A坐标是． （1）求a的值； （2）求证：； （3）若点M是线段下方的抛物线上的一点，则该点在何处时使得的面积最大，求出该点的坐标． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用二次函数的解析式和性质求出各交点的坐标，利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （3）过点作轴，交于点，求出直线的解析式，设，则，利用三角形的面积列出二次函数解析式，然后利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，则， 当时，解得， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：过点作轴，交于点， 假设直线的解析式为， 将和代入解析式得， ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，，符合题意， ∴当时，的面积最大， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度上学期期末考试试题卷 九年级数学 说明：1.本试卷共8页（试题卷4页，答题卷4页），满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，请将学校、班别、姓名、考场、座位号写在答题卷指定的位置，答案写在答题卷相应的区域内，在试题卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 下列二次函数图像开口方向向下的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于函数的图像与性质的说法正确的是（ ） A. 顶点坐标在第二象限 B. 图像关于y轴对称 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数值y的最大值为2 3. 在A、B、C、D四个图中，与原图形相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，弦与半径相等，点C是圆上不同于A、B的点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在中，直径为圆上的点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象分布在（ ） A. 第一、四象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、三象限 8. 如图，在中，，分别以为圆心，以为半径画弧，则三条弧与边所围成的阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为互相垂直的两条弦，是上的点，且，则矩形的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 12 10. 点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 11. 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（ ） A B. C. D. 12. 如图，D、E、F是三边上的点，把三角形分成三部分，其中，的面积为9，则平行四边形的面积为（ ） A 4 B. 9 C. 12 D. 25 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案写在答题卷上） 13. 一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 14. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为，则弦的长为________． 15. 若反比例函数的图象经过点，则的值为______． 16. 如图，在坡角的山顶C上有一座古塔，在山脚A处测得古塔顶部B的仰角为，斜坡长为350米，则古塔的高为________． 17. 如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为________． 18. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请将答案写在答题卷上） 19. 计算：． 20. 如图，在中，，于D，，试求： （1）的值； （2）的值； （3）的值． 21. 已知是的反比例函数，当时，． （1）求与之间函数解析式； （2）当时，求的取值范围． 22. 如图，抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 23. 一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． （1）求的长度； （2）求M、N两点的距离． 24. 如图，在中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y． （1）求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； （2）若（1）的图像与x轴交于点M，与y轴交于点N，求的面积． 25. 如图，为直径，点E为上一点，平分交于点C，过点C作切线交于点D，连接，连接交于F，． （1）求四边形的面积； （2）求半径； （3）求的长． 26. 如图，抛物线（）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A坐标是． （1）求a的值； （2）求证：； （3）若点M是线段下方的抛物线上的一点，则该点在何处时使得的面积最大，求出该点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $