精品解析：山东省济宁市嘉祥县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

山东省济宁市嘉祥县2020-2021学年九年级上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为110分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0．5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在半径为6的中，弦，则点O到弦的距离是（ ） A. 6 B. C. D. 3 5. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，,则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，延长至点，连接．若四边形是菱形，，则的度数为是( ) A. B. C. D. 7. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．先作的平分线交边于点,再以点为圆心，长为半径作．则与的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 9. 如图，将绕点旋转得到设点的坐标为， 则点的坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点,它们的半径分别为．按照“加"依次递增; 一组平行线, ．．分别过，且与过该点的圆相切．若半径为的圆与在第一象限内交于点,半径为的圆与在第象限内相交于点，半径为的圆与在第一象限内相交于点按照此规律，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则是______． 12. 若是方程的一个根，则的值是__________． 13. 已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是__________． 14. 小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________． 15. 如图，中，，顶点分别在轴的正半轴上，点的坐标为将沿轴向右作无滑动的滚动，先绕着点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，再绕点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，则两次滚动中点运动的总路径长是__________． 三、解答题：本大题共7题，满分55分．解答应写出文字说明、证明过程或推演过程． 16. 解方程： （1） （2）． 17. 顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在的方格纸中，有一个格点三角形． 在图1中，画出一个与成轴对称的格点三角形; 在图2中，画出一个与成中心对称的格点三角形; 在图3中，画出绕着点按逆时针方向旋转后的三角形． 18. 已知经过点和点的抛物线与轴有且只有一个交点． 求的值; 判断和的大小关系，并说明理由． 19. 为庆祝新中国成立七十周年，某校开展了“祖国在我心中”手抄报展评活动．小红同学设计的手抄报如右图所示，手抄报的外边框长,宽，正中央是一个与整个手抄报长宽比例相同的矩形．又知四周边衬所占面积是手抄报面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求小红设计手抄报的四周边衬的宽度． (精确到) (参考数据:，，) 20. 如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交，于点，，与相切于点．连接，相交于点． （1）猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； （2）若，，求的半径． 21. 阅读材料:各类方程的解法 求解一元一次方程， 根据等式的基本性质，把方程转化为的形式;求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生不适合原方程的根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，即:把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为，解方程和,可得方程的解 问题:方程的解是 ， ， 拓展:用“转化”思想求方程的解; 变式:用“转化”思想解方程． 22. 如图，抛物线经过点．点的坐标为，过点作直线轴，点是抛物线上一点，于点． 求抛物线解析式: 在抛物线对称轴上是否存在一定点,使得永远成立?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由． 若点坐标为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济宁市嘉祥县2020-2021学年九年级上学期期中考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为110分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0．5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选：B． 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】A、，则△＝102−4×25＝100−100＝0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； B、由原方程得到：x2−2x＋2＝0，则△＝（−2）2−8＝−4＜0，即该方程没有实数根，故本选项不符合题意； C、由原方程得到：x2−2x＋3＝0，则△＝（−2）2−4×3＝−8＜0，即该方程没有实数根，故本选项不符合题意； D、由原方程得到：x2−x＝0，则△＝（−1）2＝1＞0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 3. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在半径为6的中，弦，则点O到弦的距离是（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理求出点O到弦的距离即可． 【详解】解：如图，连接，，过点O作于点C， 则， ∵，， ∴C为中点，， 在中，，， ∴， ∴ ∴点O到弦的距离是． 故选：B． 5. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，,则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a＜0，0<c<1，b<0，再对各结论进行判断． 【详解】①观察图象可知，开口向下a＜0，对称轴在左侧b<0，与y轴交于正半轴0<c<1， ∴abc>0，故A正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2−4ac>0,即4ac−b2<0，故B错误； ③当x=−1时y=a−b+c,由图象知(−1,a−b+c)在第二象限， ∴a−b+c>0，故C正确 ④设C(0,c)，则OC=|c|， ∵OA=OC=|c|, ∴A(c,0)代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c≠0， ∴ac+b+1=0，故D正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与函数图像的关系． 6. 如图，四边形内接于，延长至点，连接．若四边形是菱形，，则的度数为是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的特点求出，再根据菱形的特点求出，由三角形的外角定理即可求解． 【详解】∵四边形内接于， ∴=180°-=100°， ∵四边形是菱形， ∴= 故=-=20° 故选：A． 【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆内接四边形的性质． 7. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设设房价比定价 元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 8. 如图，在中，．先作的平分线交边于点,再以点为圆心，长为半径作．则与的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，再过M作MD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DM＝CM，再根据切线的判定定理即可得出答案． 【详解】如图，根据题意作图，再作MD⊥AB于D， ∵BM平分∠ABC，∠ACB＝90，MD⊥AB， ∴MD＝MC， ∴AB与⊙M相切 故选：B． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． 9. 如图，将绕点旋转得到设点的坐标为， 则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 【详解】根据题意，点A、A′关于点C对称， 设点A’的坐标是（x，y）， 则，， 解得x＝−a+2，y＝−b+2， ∴点A’的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点,它们的半径分别为．按照“加"依次递增; 一组平行线, ．．分别过，且与过该点的圆相切．若半径为的圆与在第一象限内交于点,半径为的圆与在第象限内相交于点，半径为的圆与在第一象限内相交于点按照此规律，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可连接OA1，OA2，OA3，在直角三角形OA1M中，可得出A1M＝，得到A1（，1），同理在直角三角形OA2N中，求出A2N，得到A2坐标，再求出A3坐标，发现规律即可求解． 【详解】如图，连接OA1，OA2，OA3， 在直角三角形OA1M中，可得出A1M＝， ∴A1（，1）； 在直角三角形OA2N中，可得出A2N＝， ∴A2（，2）； 在直角三角形OA3Q中，可得出A3Q＝ ∴A3（，3）； 故可得An（，n） 则的坐标是 故选：A． 【点睛】本题结合圆的相关知识考查了动态性和规律性问题，找出点A的坐标的规律是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若点与点关于原点对称，则是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方，熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由题意知，，，计算求出，的值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，，， ， 故答案为：1． 12. 若是方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ∴ ∴＝2（）＋2019＝2×6+2019=2031． 故答案为：2031． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 13. 已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是__________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】连接OA，OC，作直线EF⊥AB于E，交CD于F，由AB∥CD，根据垂径定理得到AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，再根据勾股定理可计算出OF＝4，OE＝3，然后分类讨论：当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE；②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF． 【详解】如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴EF⊥CD． ∵的直径为10， ∴OA=OC=5 ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3， ∴OE＝＝3, OF＝＝4 ①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF−OE＝1； ②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7． 则AB与CD间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理． 14. 小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为元/件．已知此产品每一季度的销售量(万件)与售价(元/件)之间满足函数关系式．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________． 【答案】元 【解析】 【分析】根据总利润=每件利润×销售量列出总利润w的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】依题意可得总利润w=（x-5）()=-x2+25x-100=-(x-)2+ 则售价为时，利润的最大值是（元） 故答案为：元． 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式． 15. 如图，中，，顶点分别在轴的正半轴上，点的坐标为将沿轴向右作无滑动的滚动，先绕着点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，再绕点按顺时针方向旋转，使点落在轴上，则两次滚动中点运动的总路径长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据弧长公式即可求解． 【详解】如图，∵的坐标为， ∴OB=1,AB=2， ∵ ∴, 故BC=AB=1,AC= ∵A旋转至A’， ∴ 故 则 ∵AC=A’C’=A’’C’， ∴ 故两次滚动中点运动的总路径长是 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查弧长公式的应用，解题的关键是根据题意作图，再根据弧长公式进行求解． 三、解答题：本大题共7题，满分55分．解答应写出文字说明、证明过程或推演过程． 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴． ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解： ∴． ∴ ∴或． ∴，． 17. 顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．如图，在的方格纸中，有一个格点三角形． 在图1中，画出一个与成轴对称的格点三角形; 在图2中，画出一个与成中心对称的格点三角形; 在图3中，画出绕着点按逆时针方向旋转后的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出图形； （2）根据中心对称的性质即可作出图形； （3）根据旋转的性质即可求出图形． 【详解】（1）图1即为所求； （2）图2即为所求； （3）图3即为所求． 【点睛】本题考查图形变换，解题的关键是正确理解图形变换的性质，本题属于基础题型． 18. 已知经过点和点的抛物线与轴有且只有一个交点． 求的值; 判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2) ,理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二次函数与轴有且只有一个交点得到△=0，故可求出c的值； （2）根据二次函数的对称性即可求解． 【详解】解:抛物线与轴有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数根． 答： 理由:抛物线的对称轴为, 而, 在抛物线对称轴的左侧，随的增大而减小． ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知函数的图像与性质的应用． 19. 为庆祝新中国成立七十周年，某校开展了“祖国在我心中”手抄报展评活动．小红同学设计的手抄报如右图所示，手抄报的外边框长,宽，正中央是一个与整个手抄报长宽比例相同的矩形．又知四周边衬所占面积是手抄报面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求小红设计手抄报的四周边衬的宽度． (精确到) (参考数据:，，) 【答案】手抄报上、下边衬宽约为,左、右边衬的宽约 【解析】 【分析】根据中央矩形的长＝封面的长−2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽−2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可列出方程求解． 【详解】解:设手抄报上、下边衬宽为，左、右边衬的宽为，中央矩形的长为,为．根据题意，得 解方程，得 ，（舍去） ， 答:手抄报上、下边衬宽约为,左、右边衬的宽约． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积＝各部分面积之和；剩余面积＝原面积−截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数． 20. 如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交，于点，，与相切于点．连接，相交于点． （1）猜想：与的数量关系，并证明你的猜想； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：猜想：， 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆周角定理可得，又，则，然后通过切线的性质可得，则，最后通过垂径定理即可求证； （）先证明四边形是矩形，故有，，设的半径为，在中，，所以，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设的半径为， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 21. 阅读材料:各类方程的解法 求解一元一次方程， 根据等式的基本性质，把方程转化为的形式;求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解;类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生不适合原方程的根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，即:把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为，解方程和,可得方程的解 问题:方程的解是 ， ， 拓展:用“转化”思想求方程的解; 变式:用“转化”思想解方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用因式分解法即可求解； （2）把两边平方得到求出x，再进行检验即可求解； （3）将方程变形为，然后开方化为两个一元二次方程，解方程检验即可． 【详解】（1） ∴2x=0或x-1=0或x-5=0 解得x1=0，x2=1，x3=5 故答案为：0；1；5； 两边平方，得 解此方程，得 检验:当时，成立; 当时，不成立 所以原方程的根为； 解： 两边开平方，得 或 整理，得或， 解得， 经检验：都是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意利用转化思想进行求解． 22. 如图，抛物线经过点．点的坐标为，过点作直线轴，点是抛物线上一点，于点． 求抛物线解析式: 在抛物线对称轴上是否存在一定点,使得永远成立?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由． 若点坐标为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）在抛物线对称轴上存在一定点,使得永远成立，点坐标为；（3） 【解析】 【分析】（1）把点代入即可求出a的值； （2）设点坐标为，点的坐标为，得到，，由得到，整理得，故当，等式恒成立，故可得到B点坐标； （3）由（2）得永远成立，故，故当点在同一条直线上时， 的值最小，再根据P点的纵坐标即可求解． 【详解】解：抛物线经过点 抛物线解析式； 在抛物线对称轴上存在一定点,使得永远成立． 理由：设点坐标为，点的坐标为 整理，得 当时，，恒成立 点坐标为； 由得永远成立， 当点在同一条直线上时， 即时，的值最小． 点坐标为点纵坐标是， , 的最小值是． 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质以及两点间距离公式，解题的关键是根据题意设出A点坐标，根据两点坐标之间的距离公式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $