第3章 圆的基本性质 单元培优-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第3章 圆的基本性质 一、选择题 1.(3分)如图,小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆,用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O,则M、N、P、Q四点中,不一定在以O为圆心,OM为半径的圆上的点是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 2.(3分)如图, ADE绕点D按顺时针方向旋转,旋转的角是∠ADE,得到 CDB,则下列说法不一定正确的是( ) A.DE平分∠ADB B.AD=DC C.AE∥BD D.AE=BC 3.(3分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32 ,则∠BOC的度数是( ) A.64 B.58 C.32 D.26 4.(3分)如图, ABC内接于⊙O,∠B=65 ,∠C=70 .若BC=2,则的长为( ) A. B. C.2 D.2 5.(3分)如图,BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,AC交BD于点G.若∠COD=126 ,则∠CAB的度数为( ) A.63 B.45 C.30 D.27 6.(3分)如图,AD是⊙O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P,下列结论错误的是( ) A.AP=2OP B.CD=2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB 7.(3分)如图,四边形ABCD的外接圆为⊙O,BC=CD,∠DAC=36 ,∠ACD=44 ,则∠ADB的度数为( ) A.55 B.64 C.65 D.70 8.(3分)如图,在 ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点,连接BD、DE.若BD平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是( ) A.BD⊥AC B.AC2=2AB•AE C. ADE是等腰三角形 D.BC=2AD 9.(3分)如图, PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ=( ) A.60 B.65 C.72 D.75 10.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=2,那么图中阴影部分的面积是( ) A. B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.(3分)已知⊙O的半径为3,OP=4,则点P与⊙O的位置关系是:点P在⊙O . 12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点M,N的坐标分别为(0,﹣3),(0,﹣9),半径为5的⊙A经过点M,N,则点A的坐标为 . 13.(3分)如图,⊙O的半径为10cm, ABC内接于⊙O,圆心O在 ABC内部.如果AB=AC,BC=12cm,那么 ABC的面积为 cm2. 14.(3分)如图, ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是 度. 15.(3分)如图,半圆的半径OC=2,线段BC与CD是半圆的两条弦,BC=CD,延长CD交直径BA的延长线于点E,若AE=2,则弦BD的长为 . 16.(3分)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60 ,点D为弧BC的中点,点E为半径OB上一动点,若OB=1,则阴影部分周长的最小值为 . 三、解答题 17.(8分)如图,在边长为1的正方形网格中, ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把 ABC绕点C逆时针旋转90 后得到 A1B1C. (1)画出 A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标; (2)求在旋转过程中,点B所经过的路径的长度. 18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,半径OD⊥AC,DE⊥AB于点E,交弦AC于点F,连接BD,AD, (1)若∠ABD=25 ,求∠DAC的度数(提示:半径OD⊥AC,可根据垂径定理解题); (2)求证:DF=AF. 19.(10分)已知CD为 ABC的外角平分线,交 ABC的外接圆⊙O于点D. (1)如图①,连结OA,OD,求证:∠AOD=2∠BCD; (2)如图②,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD. 20.(12分)如图, ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O直径,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于点E,交⊙O于点D,连接BD. (1)求证:∠ABD=∠BED; (2)若∠AEB=125 ,求的长(结果保留 ). 21.(14分)如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将 BEC绕点B逆时针旋转90 后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90 得线段FG,连接EF,CG. (1)求证:EF∥CG; (2)求点C,点A在旋转过程中形成的,与线段CG所围成的阴影部分的面积. 第3章 圆的基本性质 参考答案与试题解析 一、选择题 1.(3分)如图,小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆,用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O,则M、N、P、Q四点中,不一定在以O为圆心,OM为半径的圆上的点是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 【答案】C 【分析】连接OM,ON,OQ,OP,由线段垂直平分线的性质可得出OM=ON=OQ,据此可得出结论. 【解答】解:连接OM,ON,OQ,OP, ∵MN、MQ的垂直平分线交于点O, ∴OM=ON=OQ, ∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上,OP与ON的大小不能确定, ∴点P不一定在圆上. 故选:C. 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系及线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键. 2.(3分)如图, ADE绕点D按顺时针方向旋转,旋转的角是∠ADE,得到 CDB,则下列说法不一定正确的是( ) A.DE平分∠ADB B.AD=DC C.AE∥BD D.AE=BC 【答案】C 【分析】根据旋转的性质分别对各个选项进行判断即可. 【解答】解:∵将 ADE绕点D顺时针旋转,旋转的角是∠ADE,得到 CDB, ∴ ADE≌ CDB, ∴∠ADE=∠CDB,AD=CD,AE=BC,故选项A、B、D不符合题意; ∵∠B=∠E,但∠B不一定等于∠BDC, ∴AE不一定平行于BD,故选项C符合题意; 故选:C. 【点评】本题考查的是旋转变换的性质、平行线的性质,掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键. 3.(3分)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32 ,则∠BOC的度数是( ) A.64 B.58 C.32 D.26 【答案】A 【分析】根据垂径定理,可得,∠ADC=32 ,根据圆周角定理,可得∠BOC. 【解答】解:∵在⊙O中,OC⊥AB, ∴, ∵∠ADC=32 , ∴∠BOC=2∠ADC=64 , 故选:A. 【点评】本题考查了圆周角定理,利用垂径定理得出是解题关键,又利用了圆周角定理. 4.(3分)如图, ABC内接于⊙O,∠B=65 ,∠C=70 .若BC=2,则的长为( ) A. B. C.2 D.2 【答案】A 【分析】连接OB,OC.首先证明 OBC是等腰直角三角形,求出OB即可解决问题. 【解答】解:连接OB,OC. ∵∠A=180 ﹣∠ABC﹣∠ACB=180 ﹣65 ﹣70 =45 , ∴∠BOC=90 , ∵BC=2, ∴OB=OC=2, ∴的长为 , 故选:A. 【点评】本题考查圆周角定理,弧长公式,等腰直角三角形的性质的等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 5.(3分)如图,BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,AC交BD于点G.若∠COD=126 ,则∠CAB的度数为( ) A.63 B.45 C.30 D.27 【答案】D 【分析】利用圆周角定理得到∠BAD=90 ,∠CAD∠COD=63 ,然后计算∠BAD﹣∠CAD即可. 【解答】解:∵BD是⊙O的直径, ∴∠BAD=90 , ∵∠CAD∠COD126 =63 , ∴∠CAB=∠BAD﹣∠CAD=90 ﹣63 =27 . 故选:D. 【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径. 6.(3分)如图,AD是⊙O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P,下列结论错误的是( ) A.AP=2OP B.CD=2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB 【答案】A 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD=90 ,再根据平行四边形的性质得到CD∥OB,CD=OB,则可求出∠A=30 ,在Rt AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断;利用OP∥CD,CD⊥AC可对C选项进行判断;利用垂径可判断OP为 ACD的中位线,则CD=2OP,原式可对B选项进行判断;同时得到OB=2OP,则可对D选项进行判断. 【解答】解:∵AD为直径, ∴∠ACD=90 , ∵四边形OBCD为平行四边形, ∴CD∥OB,CD=OB, 在Rt ACD中,sinA, ∴∠A=30 , 在Rt AOP中,APOP,所以A选项的结论错误; ∵OP∥CD,CD⊥AC, ∴OP⊥AC,所以C选项的结论正确; ∴AP=CP, ∴OP为 ACD的中位线, ∴CD=2OP,所以B选项的结论正确; ∴OB=2OP, ∴AC平分OB,所以D选项的结论正确. 故选:A. 【点评】此题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理和平行四边形的性质. 7.(3分)如图,四边形ABCD的外接圆为⊙O,BC=CD,∠DAC=36 ,∠ACD=44 ,则∠ADB的度数为( ) A.55 B.64 C.65 D.70 【答案】B 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到,再利用圆周角定理得到∠BAC=∠DAC=36 ,∠ABD=∠ACD=44 ,然后根据三角形内角和计算∠ADB的度数. 【解答】解:∵BC=CD, ∴, ∴∠BAC=∠DAC=36 , ∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是, ∴∠ABD=∠ACD=44 , ∴∠ADB=180 ﹣∠BAD﹣∠ABD=180 ﹣72 ﹣44 =64 . 故选:B. 【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系,熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键. 8.(3分)如图,在 ABC中,以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点,连接BD、DE.若BD平分∠ABC,则下列结论不一定成立的是( ) A.BD⊥AC B.AC2=2AB•AE C. ADE是等腰三角形 D.BC=2AD 【答案】D 【分析】利用圆周角定理可得A正确;证明 ADE∽ ABC,可得出B正确;由B选项的证明,即可得出C正确;利用排除法可得D不一定正确. 【解答】解:∵BC是直径, ∴∠BDC=90 , ∴BD⊥AC,故A正确; ∵BD平分∠ABC,BD⊥AC, ∴ ABC是等腰三角形,AD=CD, ∵四边形BCDE是圆内接四边形, ∴∠AED=∠ACB, ∴ ADE∽ ABC, ∴ ADE是等腰三角形, ∴AD=DE=CD, ∴, ∴AC2=2AB•AE,故B正确; 由B的证明过程,可得C选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质,综合考查的知识点较多,解答本题的关键在于判断 ABC和 ADE是等腰三角形. 9.(3分)如图, PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BC∥QR,则∠AOQ=( ) A.60 B.65 C.72 D.75 【答案】D 【分析】作辅助线连接OD,根据题意求出∠POQ和∠AOD的,利用平行关系求出∠AOP度数,即可求出∠AOQ的度数. 【解答】解:连接OD,AR, ∵ PQR是⊙O的内接正三角形, ∴∠PRQ=60 , ∴∠POQ=2 ∠PRQ=120 , ∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形, ∴ AOD为等腰直角三角形, ∴∠AOD=90 , ∵BC∥RQ,AD∥BC, ∴AD∥QR, ∴∠ARQ=∠DAR, ∴弧AQ=弧DR, ∵ PQR是等边三角形, ∴PQ=PR, ∴弧PQ=弧PR, ∴弧AP=弧PD, ∴∠AOP∠AOD=45 , 所以∠AOQ=∠POQ﹣∠AOP=120 ﹣45 =75 . 故选:D. 【点评】解决本题的关键是作出辅助线,利用中心角求解. 10.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC∥DB,OC=2,那么图中阴影部分的面积是( ) A. B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】连接OD,BC,根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM,∠COB=∠BOD,推出 BOD是等边三角形,得到∠BOC=60 ,根据扇形的面积公式即可得到结论. 【解答】解:连接OD,BC, ∵CD⊥AB,OC=OD, ∴DM=CM,∠COB=∠BOD, ∵OC∥BD, ∴∠COB=∠OBD, ∴∠BOD=∠OBD, ∴OD=DB, ∴ BOD是等边三角形, ∴∠BOD=60 , ∴∠BOC=60 , ∵DM=CM, ∴S OBC=S OBD, ∵OC∥DB, ∴S OBD=S CBD, ∴S OBC=S DBC, ∴图中阴影部分的面积=扇形COB的面积2 , 故选:B. 【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算,圆周角定理,通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键. 二、填空题 11.(3分)已知⊙O的半径为3,OP=4,则点P与⊙O的位置关系是:点P在⊙O 外 . 【答案】外部. 【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;点与圆心的距离d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内. 【解答】解:∵OP=4>3, ∴点P在⊙O外部. 故答案为:外部. 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内. 12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点M,N的坐标分别为(0,﹣3),(0,﹣9),半径为5的⊙A经过点M,N,则点A的坐标为 (﹣4,﹣6) . 【答案】(﹣4,﹣6). 【分析】作AD⊥MN于D,连接AM,根据垂径定理得出MD=ND=3,然后利用勾股定求得AD,即可求得A的坐标为(﹣4,﹣6). 【解答】解:作AD⊥MN于D,则MD=ND,连接AM, ∵点M,N的坐标分别为(0,﹣3),(0,﹣9), ∴MN=6,D(0,﹣6), ∴MD=3, ∵AM=5, 在Rt AMD中,AD4, ∴点A的坐标为(﹣4,﹣6), 故答案为(﹣4,﹣6). 【点评】本题考查了坐标与图形性质,垂径定理的应用,勾股定理的应用,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键. 13.(3分)如图,⊙O的半径为10cm, ABC内接于⊙O,圆心O在 ABC内部.如果AB=AC,BC=12cm,那么 ABC的面积为 108 cm2. 【答案】108. 【分析】连接AO并延长交BC于D,连接OB,根据勾股定理的推论得到AD⊥BC,根据垂径定理求出BD,根据勾股定理求出OD,进而求出AD,根据三角形的面积公式计算,得到答案. 【解答】解:连接AO并延长交BC于D,连接OB, ∵AB=AC, ∴, ∴AD⊥BC, ∴BD=DCBC=6cm, 在Rt OBD中,OD8(cm), ∴AD=18cm, ∴S ABC12 18=108(cm2), 故答案为:108. 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握垂径定理的推论、勾股定理是解题的关键. 14.(3分)如图, ABC是⊙O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是 120 度. 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA,OB,根据已知条件得到∠AOB=120 ,根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30 ,根据全等三角形的性质得到∠DOA=∠BOE,于是得到结论. 【解答】解:连接OA,OB, ∵ ABC是⊙O的内接正三角形, ∴∠AOB=120 , ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30 , ∵∠CAB=60 , ∴∠OAD=30 , ∴∠OAD=∠OBE, ∵AD=BE, ∴ OAD≌ OBE(SAS), ∴∠DOA=∠BOE, ∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠BOE=∠AOB=120 , 故答案为:120. 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 15.(3分)如图,半圆的半径OC=2,线段BC与CD是半圆的两条弦,BC=CD,延长CD交直径BA的延长线于点E,若AE=2,则弦BD的长为 . 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OD,AD,根据OC平分∠BCD,BC=DC,即可得到BD⊥CO,依据AB是直径,可得AD⊥BD,进而得出ADCO=1,再根据Rt ABD,利用勾股定理可得BD. 【解答】 解:如图,连接OD,AD, ∵BC=DC,BO=DO, ∴∠BDC=∠DBC,∠BDO=∠DBO, ∴∠CDO=∠CBO, 又∵OC=OB=OD, ∴∠BCO=∠DCO,即OC平分∠BCD, 又∵BC=DC, ∴BD⊥CO, 又∵AB是直径, ∴AD⊥BD, ∴AD∥CO, 又∵AE=AO=2, ∴ADCO=1, ∴Rt ABD中,BD. 故答案为:. 【点评】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的综合运用,半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径.在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握. 16.(3分)如图,在扇形BOC中,∠BOC=60 ,点D为弧BC的中点,点E为半径OB上一动点,若OB=1,则阴影部分周长的最小值为 . 【答案】. 【分析】利用轴对称的性质,得出当点E移动到点E′时,阴影部分的周长最小,此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和,分别进行计算即可. 【解答】解:如图,作点D关于OB的对称点D′,连接D′C交OB于点E′,连接E′D、OD′, 此时E′C+E′D最小,即:E′C+E′D=CD′, 由题意得,∠COD=∠DOB=∠BOD′=30 , ∴∠COD′=90 , ∴CD′, 的长l, ∴阴影部分周长的最小值为. 故答案为:. 【点评】本题考查与圆有关的计算,掌握轴对称的性质,弧长的计算方法是正确计算的前提,理解轴对称解决路程最短问题是关键. 三、解答题 17.(8分)如图,在边长为1的正方形网格中, ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把 ABC绕点C逆时针旋转90 后得到 A1B1C. (1)画出 A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标; (2)求在旋转过程中,点B所经过的路径的长度. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)先利用点A、B的坐标画出直角坐标系,再利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1,从而得到写出点A1、B1的坐标; (2)点B所经过的路径为以B点为圆心,BC为半径,圆心角为90 的弧,然后利用弧长公式计算即可. 【解答】解:(1)如图, A1B1C为所作,点A1、B1的坐标分别为(﹣1,4),(1,4); (2)点B所经过的路径的长度 . 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形. 18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,半径OD⊥AC,DE⊥AB于点E,交弦AC于点F,连接BD,AD, (1)若∠ABD=25 ,求∠DAC的度数(提示:半径OD⊥AC,可根据垂径定理解题); (2)求证:DF=AF. 【答案】(1)25 ; (2)推理见解答. 【分析】(1)利用垂径定理得出,再利用圆周角定理可得答案; (2)利用直角三角形的性质推出∠DAC=∠ADE,然后再利用等角对等边可得结论. 【解答】(1)解:∵OD⊥AC, ∴, ∴∠ABD=∠DAC=25 ; (2)证明:∵DE⊥AB于点E, ∴∠DEO=90 , ∴∠EDB+∠B=90 , ∵∠ADB=90 , ∴∠ADE+∠BDE=90 , ∴∠B=∠ADE, ∵OD⊥AC, ∴, ∴∠B=∠DAC, ∴∠DAC=∠ADE, ∴AF=DF. 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理,关键是掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角,掌握直角三角形两锐角互余. 19.(10分)已知CD为 ABC的外角平分线,交 ABC的外接圆⊙O于点D. (1)如图①,连结OA,OD,求证:∠AOD=2∠BCD; (2)如图②,若CB平分∠ACD,求证:AB=BD. 【答案】(1)(2)证明见解答过程. 【分析】(1)连接BD,根据圆内接四边形的性质得到∠ABD=∠BCD,根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ABD,证明结论; (2)根据角平分线的定义得到∠ACB=∠DCB,进而证明,根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明即可. 【解答】证明:(1)如图①,连接BD, ∵CD为 ABC的外角平分线, ∴∠HCD=∠BCD, ∵四边形ABDC为⊙O内接四边形, ∴∠ACD+∠ABD=180 , ∵∠ACD+∠HCD=180 , ∵∠HCD=∠ABD, ∴∠ABD=∠BCD, 由圆周角定理得:∠AOD=2∠ABD, ∴∠AOD=2∠BCD; (2)∵CB平分∠ACD, ∴∠ACB=∠DCB, ∴, ∴AB=BD. 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键. 20.(12分)如图, ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O直径,AB=6,AD平分∠BAC,交BC于点E,交⊙O于点D,连接BD. (1)求证:∠ABD=∠BED; (2)若∠AEB=125 ,求的长(结果保留 ). 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【分析】(1)根据圆周角定理和外角的性质即可得到结论; (2)连接OD,根据平角定义得到∠AEC=55 ,根据圆周角定理得到∠ACE=90 ,求得∠1=35 ,得到∠BOD=2∠2=70 ,根据弧长公式即可得到结论. 【解答】(1)如图: 证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2, ∵∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∵∠ABD=∠ABC+∠3,∠BED=∠ABC+∠2, ∴∠ABD=∠BED. (2)解:连接OD, ∵∠AEB=125 , ∴∠AEC=55 , ∵AB为⊙O直径, ∴∠ACE=90 , ∴∠1=35 , ∴∠2=∠1=35 , ∴∠BOD=2∠2=70 , ∴的长 . 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算,正确的识别图形是解题的关键. 21.(14分)如图,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中点,将 BEC绕点B逆时针旋转90 后,点E落在CB的延长线上点F处,点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90 得线段FG,连接EF,CG. (1)求证:EF∥CG; (2)求点C,点A在旋转过程中形成的,与线段CG所围成的阴影部分的面积. 【答案】见试题解答内容 【分析】(1)根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2,∠ABC=90 ,再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得 ABF和 CBE全等,根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90 ,全等三角形对应边相等可得AF=EC,然后求出∠AFB+∠FAB=90 ,再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB,根据内错角相等,两直线平行可得EC∥FG,再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形,然后根据平行四边形的对边平行证明; (2)求出FE、BE的长,再利用勾股定理列式求出AF的长,根据平行四边形的性质可得 FEC和 CGF全等,从而得到S FEC=S CGF,再根据S阴影=S扇形BAC+S ABF+S FGC﹣S扇形FAG列式计算即可得解. 【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC=AD=2,∠ABC=90 , ∵ BEC绕点B逆时针旋转90 得到 ABF, ∴ ABF≌ CBE, ∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90 ,AF=CE, ∴∠AFB+∠FAB=90 , ∵线段AF绕点F顺时针旋转90 得线段FG, ∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90 , ∴∠CFG=∠FAB=∠ECB, ∴EC∥FG, ∵AF=CE,AF=FG, ∴EC=FG, ∴四边形EFGC是平行四边形, ∴EF∥CG; (2)解:∵AD=2,E是AB的中点, ∴BF=BEAB2=1, ∴AF, 由平行四边形的性质, FEC≌ CGF, ∴S FEC=S CGF, ∴S阴影=S扇形BAC+S ABF+S FGC﹣S扇形FAG, 2 1(1+2) 1, . 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,旋转变换的性质,勾股定理的应用,扇形的面积计算,综合题,但难度不大,熟记各性质并准确识图是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $