1.3：勾股定理的应用与最短路径问题 专项训练 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

专题：勾股定理的应用与最短路径问题 情景1. 平面上，从A点到B点，我们一般选择的是哪一条线路呢?为什么? 一般选择线路 ，因为 . 情景2. 那立体图上的最短路径我们该如何寻找呢? 立体图形平面图形 正方体中最短路径：一个正方体纸盒的棱长是10cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁要爬行的最短路程的平方是多少? 根据勾股定理得AB2＝ . 长方体中最短路径：如图是一个长方体的牛奶盒，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，请问蚂蚁怎样走最近? 长方体的展开情况： ①：(前面＋右面)与(后面＋左面)的展开情况相同 ②：(前面＋上面)与(后面＋下面)的展开情况相同 ③：(左面＋上面)与(右面＋下面)的展开情况相同 解决问题： 解：展成平面图形如图所示： AB12＝ . AB22＝ . AB32＝ . ∵( )2＜( )2＜( )2 ∴( )＜( )＜( ) ∴最短路径是 ，其长为 . 圆柱体中最短路径：如图，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到地面上与点A相对的点B处的食物沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 从点A到点B沿圆柱侧面的几条路线： 图① 图② 图③ 解决问题：上图中图 的方案路线最短.原因是： 解： · 解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤为： ①把立体图形展开成平面图形； ②确定最短路线； ③确定直角三角形； ④根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解. 练习1. 1. 如图①，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从D出发，沿长方体表面到达B′点，问绳子最短是多少厘米? 2. 如图所示的长方体中，长AB＝5cm，宽BC＝3cm，高CD＝6cm，一只蚂蚁从顶点A处沿长方体的表面爬行到点D处，它爬行的最短距离为是多少? 3. 如图是一个棱长为6 cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少? 4. 如图所示．有一个圆柱．它的高等于12厘米．底面半径等于厘米．在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁．它想吃到上底面B点处的食物．沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(π的值取3)． 5. 有一圆形油罐底面圆的周长为24 m，高为6m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少? 其他问题： · (1)绕圈问题： ①从点A→点B最短距离为线段AB的长度， 计算方法：构造Rt△ACB，利用勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2；其中AC为圆柱的高，BC为圆柱底面周长的一半 ②从点A→点C最短距离为线段AC'的长度(绕一圈)， 计算方法：构造Rt△ACC'，利用勾股定理可得：AC' 2＝AC2＋CC' 2；其中AC为圆柱的高，CC'为圆柱底面周长 练习2. (绕一圈问题) 1. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为12米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米. 2. 如图，长方体的底面长和宽分别为3cm和1cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米? 3. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是多少厘米? ③通过圆柱的侧面展开，可确定AA'为圆柱的底面周长，A'B'＝圆柱的高÷圈数， 构造Rt△AA'B'，利用勾股定理可得AB' 2＝AA' 2＋A'B' 2，绕线的总长＝圈数×AB' 练习3. (绕多圈问题) 1. 为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带.已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m.如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米? 2. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺? · (2)阶梯问题： 若楼梯每一级台阶的长是c，高是a，宽是b，从A到B的最短距离可构造Rt△ACB， 利用勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2 (其中AC的长度要根据台阶数量进行确定) 练习4. 1. 如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少? 2. 如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近?并求出最近距离． 3. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元? 4. 如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是多少米? · (3)将军饮马与勾股定理结合： 将军饮马模型复习： ①点在直线异侧：点A与点B在直线l的两侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小. 辅助线作法：连接点A、点B，构造直角三角形 PA＋PB的最小值为AB的长，通过勾股定理可得：AB2＝a2＋b2 ②点在直线同侧：点A与点B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小. 辅助线作法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即点P，构造直角三角形 PA＋PB的最小值为A′B的长，通过勾股定理可得：A′B2＝a2＋b2 将军饮马模型与勾股定理结合：圆柱底部的点A在圆柱外，点B在圆柱内，计算从点A到点B的最短路径： 练习5. 1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm． 2. 如图，圆柱形容器中，高为120 cm，底面周长为100 cm，在容器内壁离容器底部40 cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40 cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 　　　　　　cm．(容器厚度忽略不计) 3. 如图，一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆的周长为32cm. (1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm； (2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点 B处(如右图)，则蚂蚊爬行的最短路程是 cm. 4. 如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高15 cm，底面周长为24 cm，在容器内壁距上边沿4 cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3 cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近?它至少需要爬行的距离是多少?(容器厚度忽略不计) 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $