精品解析：广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考）数学试题

广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考） 数学试题 出题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 4. 设x，y为正数，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 若，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得分. 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 有最大值 11. 如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的表面积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则_____________. 13. 已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为______. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 17. 前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2021～2024年百货零售业的销售额（单位：亿元，数据经过处理，1～4分别对应2021～2024年） 年份代码 1 2 3 4 销售额 95 165 230 310 （1）建立关于的回归方程，并预测2025年我国百货零售业的销售额； （2）从2021～2024年这4年的百货零售业销售额及2025年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率． 参考数据：， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 18. 已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）判断与的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西南宁市银海三雅学校2025-2026学年高三上学期综合模拟训练一（9月月考） 数学试题 出题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 解得 所以实数的取值集合为. 故选：C. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这组数据的众数为80 C. 估计这组数据的第60百分位数为87 D. 估计成绩低于80分的有350人 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D. 【详解】易知，解得，所以A错误； 由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误； 由频率分布直方图可知前两组频率之和为， 前三组频率之和为， 故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为， 则，解得，所以C正确； 成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误. 故选：C. 4. 设x，y为正数，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式进行求解即可. 【详解】， 因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号）， 因此， 故选：B 5. 若，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简原式为即得解. 【详解】解：原式 . 故选：C 6. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出异面直线与所成的角，再由余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点为的中点为的中点为， 连接，易知， 则，又， 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A． 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指对数函数性质、正弦函数性质，借助媒介数比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：C 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个不同的交点，令，用导数法得到其图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数， 所以， 因为函数有两个极值点， 所以有两个变号零点， 有两个不同的交点， 令， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，， 如图所示： 则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得分. 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 有最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D. 【详解】当时，， 当时， ，符合， 故， 所以，， 所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确； ，B正确； 因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误； ， 易知当或时，有最大值，D错误. 故选：AB 11. 如图，在圆锥SO中，AC为底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的表面积为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 存在点B使得直线SB与平面SAC所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据锥体的体积、表面积公式判断A、B、C，过作于，连接，则为直线与平面所成角，求出的最大值，即可判断D； 【详解】解：圆锥的体积为，故A正确，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，底面面积为，故圆锥的表面积为，故B错误，当时，三棱锥的体积最大，此时为，故C正确，过作于，显然底面，所以，，平面，所以平面，连接，∴为直线与平面所成角，由为定值，∴当时与平面所成角最大，此时，所以，即，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算和向量的模的公式计算即得. 【详解】由， 两式相加，可得,即, 两式相减，可得,即. 故. 故答案为：. 13. 已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上.则圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，再求出圆的半径，即可得出圆的标准方程. 【详解】因为圆心在直线上，设圆心， 由可得，解得，则， 所以，圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 17. 前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为2021～2024年百货零售业的销售额（单位：亿元，数据经过处理，1～4分别对应2021～2024年） 年份代码 1 2 3 4 销售额 95 165 230 310 （1）建立关于的回归方程，并预测2025年我国百货零售业的销售额； （2）从2021～2024年这4年的百货零售业销售额及2025年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率． 参考数据：， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】（1），377.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由最小二乘法即可求解， （2）列举所有情况，即可根据古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知， 故 故， 故关于的回归方程为， 当时，. 【小问2详解】 从2021～2024年这4年的百货零售业销售额及2025年预测销售额这5个数据中任取2个数据，所有的情况有 共有10种情况， 则这2个数据之差的绝对值大于200亿元的有，共有3种情况， 故概率为 18. 已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，如下图所示： 设，且； 易知直线的斜率，所以的直线方程为； 同理直线的斜率，所以的直线方程为； 由题意解得； 所以可得， 四边形的面积 又，可得， 故， 即四边形的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和可解得，可写出椭圆的方程； （2）设分别求出直线，的方程并解出的坐标，可得四边形的面积. 【小问1详解】 根据题意可知， 又，即可得，结合， 解得； 即椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）判断与的大小，并证明． 【答案】（1） 当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） （3） ，理由如下： 由（1）知，当时，在上为增函数， 当时，，即，则， 因此，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）当时，由可得或，利用参变量分离法可得出或对任意的恒成立，利用导数求出相应函数的最值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）可知当时，，则，然后利用不等式的可加性可得出与的大小关系. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，. 当时，对任意的，，此时函数的减区间为； 当时，方程在时的解为， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 解：当时，由可得或. 若对任意的恒成立，则， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，即，此时函数单调递增， 当时，，即，此时函数单调递减， 且当时，，因为，故当时，， ，解得； 若对任意的恒成立，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减，当时，，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $