精品解析：河南省漯河市临颍县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题

2020 ~ 2021 学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1. 下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解外地游客对临颍县小商桥景区的满意程度，采用普查的方式 B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 C. 新冠肺炎防控期间，要了解全体师生入校时的体温情况，采用普查的方式 D. 一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖 3. 一元二次方程 的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 6. 有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（　　　） A. B. C. D. 7. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 8. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 9. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度． 12. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 13. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． 结合图象，直接写出不等式 的解集为________． 14. 如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为______________． 15. 矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为___________. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75 分） 16. 已知二次函数y=x2+2x﹣1． （1）写出它的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）求出图象与x轴的交点坐标． 17. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）． （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标． 19. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为． （1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？ （2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 20. 如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数()的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接，已知点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，，设直线的解析式为． （1）求直线的解析式； （2）平行于轴的直线()与交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值． 22. 如图，定义：直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将绕着点O逆时针旋转得到，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”． （1）若，则求它的纠缠抛物线的函数解析式； （2）判断并说明与是否“互为纠缠线”． 23. 如图，在中，，过点A作，点P是上一点，作交于点D． （1）如图1，在的延长线上取点G，使得，则的值为__________； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，当点P是的中点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020 ~ 2021 学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1. 下列交通标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；再根据中心对称图形的概念，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断即可． 【详解】解：A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； B选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形，也是中心对称图形； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解外地游客对临颍县小商桥景区的满意程度，采用普查的方式 B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 C. 新冠肺炎防控期间，要了解全体师生入校时的体温情况，采用普查的方式 D. 一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了确定事件和随机事件，全面调查和抽样调查适用的情况，解题的关键是熟练掌握相关知识点．依次判断各个选项即可进行解答． 【详解】解：A、要了解外地游客对临颍县小商桥景区的满意程度，应该采用抽样调查，故A不正确，不符合题意； B、三角形内角和是，因此任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故B不正确，不符合题意； C、新冠肺炎防控期间，要了解全体师生入校时的体温情况，采用普查的方式，故C正确，符合题意； D、一个抽奖活动中，中奖概率为，不表示抽奖20次就有1次中奖，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 3. 一元二次方程 的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方程移项后，运用提公因式法进行因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴移项后得：， ∴ 解得：， 故选：D． 4. 如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角∠BDC的度数为（　　） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 【答案】B 【解析】 【分析】由AB是圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数． 【详解】 连接AC， AB为⊙O的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键． 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 6. 有一首《对子歌》中唱到：天对地，雨对风，大陆对长空．现将“天，雨，大，空”四个字书写在材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱搅匀后，随机抽取两张，恰为“天”、“空”二字的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先画树状图得出所有等可能结果，然后从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰为“天”、“空”的有2种结果， 恰为“天”、“空”的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 8. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案． 【详解】解： 四边形MNQP的面积为3， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a，由对称轴在y轴的左边还是右边判断b，由抛物线与y轴的交点判断c，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断， 【详解】解∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②二次函数的图象与x轴的一个交点在的右边，对称轴为，图象开口方向向下， ∴二次函数的图象与x轴的一个交点在2的右边， ∴当时， 即，故②正确； ∵二次函数的图象与x轴的交点在的右边，图象开口方向向下， ∴当时，， ∴， ∴ ∴不能得出 故③错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有②④，共2个， 故选：B． 二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD减去∠AOB即可． 【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD， ∴∠BOD=45°， 又∵∠AOB=15°， ∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=45°－15°=30°． 故答案为30°． 12. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有 人感染了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_____个人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎”列方程即可得到答案． 【详解】解：依题意，得：， 即． 解得： (不合题意，舍去)． 故答案为：． 13. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． 结合图象，直接写出不等式 的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，一次函数与反比例函数交点问题，以及利用函数图象解不等式，解决本题的关键是求出点B的坐标． 先将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求解m的值，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，可求解n的值，再根据反比例函数与一次函数在图象中的位置求解不等式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数 中， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为 ， 又∵点在 上， ∴， 解得， ∴点B的坐标为．  ∵不等式 的解集即为反比例函数在一次函数 的图象下方的x的取值范围， 当时，反比例函数图象在第三象限，一次函数图象在第二象限， 此时反比例函数在一次函数 的图象下方； 当时，反比例函数在一次函数 的图象下方； ∴不等式 的解集为或． 故答案为：或 ． 14. 如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，过点C作CM⊥OB于点M，分别求出S△ABD、 S△AOB、S△OBC、S扇形AOC，再计算即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵∠AOB＝90° ∴△AOB是等腰直角三角形 ∵OA＝2∴ ∵，于点， ∴AD＝AB＝，BD＝= ∴S△ABD＝ S△AOB＝ 过点C作CM⊥OB于点M， ∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60° ∴∠COB＝30° ∴CM=OC=1 ∴S△OBC＝=1 S阴影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC＝2＋－1－＝ 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，解题的关键是作辅助线，利用分割法求解：即S阴影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC． 15. 矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为___________. 【答案】3或1.2 【解析】 【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8， ∴BD=10， ∵△PBE∽△DBC， ∴∠PBE=∠DBC， ∴点P在BD上， 如图1，DP=DA=8时，BP=2， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=2：10， ∴PE：6=2：10， ∴PE=1.2； 如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点， ∵△PBE∽△DBC， ∴PE：CD=PB：DB=1：2， ∴PE：6=1：2， ∴PE=3； 综上，PE的长为1.2或3， 故答案为1.2或3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD上是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75 分） 16. 已知二次函数y=x2+2x﹣1． （1）写出它的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大； （3）求出图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）（﹣1，﹣2）；（2）当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）（﹣1﹣，0），（﹣1+，0）． 【解析】 【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可； （2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可； （3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标． 【详解】解：（1）y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴顶点坐标为：（-1，-2）； （2）∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2的对称轴为：x=-1，开口向上， ∴当x＞-1时，y随x的增大而增大； （3）令y=x2+2x-1=0， 解得：x=-1-或x=-1+， ∴图象与x轴的交点坐标为（-1-，0），（-1+ ，0）． 17. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是， 故答案为． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， ∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图. 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）． （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求；的坐标为（-4，2）； 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可． （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图△ABC位置确定A（-1,1），B（-1,4），C（-3,2），△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1， ∴A1横坐标为-1+（4-1）=2，纵坐标为4-（-1+2）=3，点A1（2，3）， C1横坐标为-1+（4-3）=0，纵坐标为4-（-1+3）=2，点C1（0，2）， 在平面直角坐标系中描点A1，C1，顺次连结，， 【小问2详解】 解：∵是△ABC以原点为位似中心，位似比为2：1放大后的对应图形，点A的坐标为（-2，1）， ∴的坐标为（-4，2）； 【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义． 19. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为． （1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？ （2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可； （2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可． 【详解】（1）∵， ∴当x=25时，占地面积y最大； （2） =， ∴当x=26时，占地面积y最大． 即当饲养室长为26m时，占地面积最大． ∵26-25=1≠2， ∴小敏的说法不正确． 考点：二次函数的应用；最值问题． 20. 如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED， （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，求BC的长． 【答案】 (1)证明：∵AB是⊙O的切直径， ∴∠ADB=90°， 又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC， ∴∠BAD=∠DBC， ∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°， ∴∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线； (2)BC= 【解析】 【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O的切线； （2）可证明△ABC∽△BDC，则，即可得出BC=． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10， ∴BC=． 考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质. 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数()的图象交于点A，C，与x轴交于点B、D，连接，已知点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度为2，，设直线的解析式为． （1）求直线的解析式； （2）平行于轴的直线()与交于点E，与反比例函数图象交于点F，当这条直线左右平移时，线段的长为，求n的值． 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入，可求，从而可求，将和分别代入，即可求解. （2）当时，可得点E的纵坐标为，点F的纵坐标为，可得，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得 ，， ， ， ， 又， ， 将和分别代入， 得：， 解得：， 直线AC的解析式为； 【小问2详解】 解：当时， 点E的纵坐标为，点F的纵坐标为， 依题意得：， 解得：或， ∴n的值为或3． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，平行于坐标轴的线段长度求法，掌握解法是解题的关键. 22. 如图，定义：直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将绕着点O逆时针旋转得到，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”． （1）若，则求它的纠缠抛物线的函数解析式； （2）判断并说明与是否“互为纠缠线”． 【答案】（1） （2）是，理由见详解 【解析】 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点A，B两点，再根据纠缠抛物线的定义得到旋转点D，设抛物线解析式为，将A，B，D的坐标代入即可得到答案； （2）求出直线与坐标轴的交点A，B两点及旋转点D，代入即可判断是否“互为纠缠线”． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵将绕着点O逆时针旋转得到， ∴， 设抛物线解析式为， 将A，B，D的坐标代入可得， ， 解得， ∴的纠缠抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵将绕着点O逆时针旋转得到， ∴， 当时，， ∴在抛物线上， 当时， ∴在抛物线上， 当时，， ∴在抛物线上， ∴与是“互为纠缠线”． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、待定系数法、三角形旋转，解题的关键是理解“纠缠抛物线”，“纠缠直线”，“互为纠缠线 等定义，熟练掌握待定系数法和旋转性质． 23. 如图，在中，，过点A作，点P是上一点，作交于点D． （1）如图1，在的延长线上取点G，使得，则的值为__________； （2）如图1，在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，当点P是的中点时，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， 由（1）得， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由得到，即可得到答案； （2）证明，由（1）得，即可证明； （3）在的延长线上取点G，使得，设，则，，，由（2）得，，则，得到关于x的方程，解方程即可得到的长． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在的延长线上取点G，使得，如图， 由（1）可知，， ∵点P是的中点， ∴， 设，则，，， 由（2）得，， ∴， ∴， 解得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $