精品解析：北京市延庆区2022--2023学年九年级上学期期中数学试卷

延庆区2022－2023学年第一学期期中试卷 初三数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，27道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题：（共16分，每小题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 5. 二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ） A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大 C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大 7. 已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 10. 写出一个开口向下，与轴交于点的抛物线的函数表达式__________． 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 12. 如图，，AD，BC交于点O，．若，则OC的长为______． 13. 如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是__________． 14. 如果二次函数的图像经过点，，那么______（填“”，“”或“”）． 15. 把长为的线段进行黄金分割，那么较长线段长是_______．（结果保留根号） 16. 函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共68分，17－25题，每小题6分；26－27题，每小题7分） 17. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，求反比例函数的表达式和的值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点．求此二次函数的表达式及顶点的坐标． 19. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴； （2）画出该二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 20. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 21. 二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 22. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． （2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 23. 如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 24. 如图，在四边形中，，，，，若边上的点使得以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似，求的长． 25. 为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 26. 在中，，于点D，于点E，连接． （1）如图1，当为锐角三角形时， ①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． （2）如图2，当为钝角时，直接写出线段，，的数量关系． 27. 对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点为图形的“倍点”．已知，点，，，，． （1）在点，，中，线段的“倍点”是________________； （2）点，若点为线段的“倍点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2022－2023学年第一学期期中试卷 初三数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共三道大题，27道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题：（共16分，每小题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 4. 正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ） A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 【答案】C 【解析】 【分析】由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的周长为x， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式． 5. 二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 6. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ） A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大 C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3）， ∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大 ∴C正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 7. 已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解题． 【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限， 当时， 当时， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ） A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求， 故选：C． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标．据此求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 10. 写出一个开口向下，与轴交于点的抛物线的函数表达式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，开口向下可确定二次项系数小于0，与y轴交于点可确定常数项为5． 【详解】解：设二次函数的解析式为， ∵该函数的图象开口向下， ∴，可以取， ∵当，， ∴， ∴满足条件的一个函数为， 故答案为：，（答案不唯一）． 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 12. 如图，，AD，BC交于点O，．若，则OC的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据可以证明，进而得出比例式，再根据和即可求出OC的长度． 【详解】解：∵，AD，BC交于点O， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键． 13. 如图，在中，点，分别在边，上，且，若，，的面积是4，则的面积是__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据得出，由相似三角形的性质即可得到面积之比从而求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的面积是4， ∴的面积是25． 故答案为：25． 14. 如果二次函数的图像经过点，，那么______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，分别将，代入求解比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 把长为的线段进行黄金分割，那么较长线段长是_______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的． 【详解】解：∵把长度为的线段进行黄金分割， ∴较长的线段 故答案为： 16. 函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④ 【详解】解：则，，即函数图象与轴无交点， 该函数自变量的取值范围是； 故①正确； 根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故②不正确； 如图与存在3个交点，则方程有三个根； 故③正确 当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 故④不正确 故正确的有①③ 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题（共68分，17－25题，每小题6分；26－27题，每小题7分） 17. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，求反比例函数的表达式和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象经过点和点，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴，， ∴反比例函数的表达式为． 18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点．求此二次函数的表达式及顶点的坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】直接把点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点； ∴， 解得：， ∴ ∴对称轴为直线， ∴， ∴顶点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 19. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴； （2）画出该二次函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）二次函数图象的对称轴为直线； （2）函数图象如图： （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）把配方成顶点式即可求解； （2）根据画函数图象的步骤即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 本题考查了画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 列表如下： 【小问3详解】 根据图象可知，当时，的取值范围为． 20. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，根据函数值确定自变量的取值范围，正确掌握二次函数的解析式的求法是解题的 关键． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据二次函数的对称性求解即可； （3）求出时函数图象上的点的坐标，利用函数的开口方向确定答案． 【小问1详解】 解：设该二次函数的表达式为， 将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表格得，当和时，函数值 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∵二次函数和x轴的一个交点为 ∴二次函数和x轴的另一个交点为 ∴二次函数和x轴的交点坐标为，； 【小问3详解】 解：∵由表格得，当和时，函数值 ∵中二次项系数为， ∴抛物线开口向上 ∴当时，x的取值范围为． 22. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． （1）求与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． （2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当为时，小花园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）首先根据矩形的性质，由花园的边长为，可得，然后根据矩形面积即可求得与之间的函数关系式，又由墙长，即可求得自变量的的范围； （2）将利用配方法转化为顶点式，结合自变量的取值范围即可求解． 解题的关键是明确题意，列出函数解析式． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴花园的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为： ； 【小问2详解】 ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200． 答：当为时，小花园的面积最大，最大面积是． 23. 如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． （1）求两个路灯之间的距离； （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】（1）两路灯的距离为25米 （2）当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； 【小问2详解】 解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 24. 如图，在四边形中，，，，，若边上的点使得以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形相似，求的长． 【答案】1或或6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和分式方程，设，则，根据题意分两种情况讨论，然后分别根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， 如图所示， 当时， ∴， ， 解得 经检验，是原方程的解， ∴； 当时， ∴ ， 解得 经检验，是原方程的解， ∴或． 综上所述，的长为1或或6． 25. 为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 【答案】水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【解析】 【分析】如图，建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式；求得时的值可得答案． 【详解】如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6， 将点A(0,2)代入，得：a+3.6＝2， 解得：a＝﹣1.6， 则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6， 当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0， 解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5， ∴BC＝2.5， 答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． 26. 在中，，于点D，于点E，连接． （1）如图1，当为锐角三角形时， ①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． （2）如图2，当为钝角时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）①图形见解析；猜想：， 理由见解析；②见解析； （2）线段，，的数量关系：． 【解析】 【分析】(1)①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，，即可得出； ②在上截取，可证出是等腰直角三角形，得出，可证明，得出，，可推出，证出是等腰直角三角形，即可得出结论； (2) 在上截取，连接，由，，可得，由可得，可证，可得，，可推出，可得是等腰直角三角形故，即可得线段，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①依题意，补全图形，如图1所示． 猜想：， 理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ②证明：如图2，在上截取， 连接 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：依题意补全图形，如图3所示， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴线段，，的数量关系：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知，证明三角形全等是解题的关键． 27. 对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点为图形的“倍点”．已知，点，，，，． （1）在点，，中，线段的“倍点”是________________； （2）点，若点为线段的“倍点”，求的取值范围． 【答案】（1）、 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了点到线段（上的点）的距离． （1）计算每个点到的最大和最小值，再根据“倍点”的定义判断即可； （2）分为当最小值是2，和最小值是1两种情形，分别讨论求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵点到线段的最大距离是，最小距离是， ∴点不是线段的“倍点”， ∵点到线段的最大距离是，最小距离是， ∴点是线段的“倍点”， ∵，， ∴点是线段的“倍点”， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：如图， 当是最小值时，最大值是， ∴， ∴（舍去），； 当最小值是1时，， 此时最大值是2， ∵， ∴， ∴， 综上所述：或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $