第二十八章 锐角三角函数综合练习 2025-2026学年 人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算的值（    ） A．0 B． C．1 D． 2．如图，在中，，若，则的值为(    )    A． B． C． D． 3．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，在平面直角坐标系中，，点在反比例函数图像的图像上，且，若线段与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB．则∠α的余弦值为（　　） A． B． C． D．1 6．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 7．如图，是的直径，点在的延长线上，切于点．若，，则等于（    ）． A．6 B．4 C． D．3 8．在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 二、填空题 9．已知：如图，中，，为边上一点，且，则 ． 10．如果，那么锐角的度数为 °． 11．在中，．若，，则的值为 ． 12．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为 ． 13．如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 14．如图，菱形中，，交于点，，，则菱形的边长是 ． 15．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60，看这栋高楼底部的俯角为30，热气球与高楼的水平距离为60m，这栋楼的高度是 m． 16．如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为 ； （2）当弦CD的长最小时，的值为 ． 三、解答题 17．如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形． 18．计算： 19．在Rt△ABC中，C = 90，， AC =24，求BC的长． 20．如图，在直角中，，点是边的中点，．． (1)求AD和AB的长； (2)求sin∠BAD的值． 21．如图，是的直径，C，D是上的点且，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 22．如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 23．在平面直角坐标系xOy中，点A(t，0)，B(t+2，0)，C(n，1)，若射线OC上存在点P，使得ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点． （1）如图，t＝0， ①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是　 　； ②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围； （2）若n＝，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是　 　． 24．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（步尺） 提取信息 秋千静止时，踏板离地面尺高；将秋千的踏板向前推动步（即尺）时，踏板就和推秋千的人一样高，同为尺．秋千的绳索长是多少？ 画示意图 假设秋千的绳索长在运动过程中始终保持不变．如图，是秋千的固定点，点是秋千静止时路板的位置，点是向前推动尺（水平距离）后踏板的位置．直线是地面，于点，于点． 解决问题 (1)图中　　　　尺，　　　　尺，　　　　尺； (2)求秋千的绳索长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十八章 锐角三角函数综合练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A A A C C 1．C 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值． 2．D 【详解】根据余弦的定义计算即可． 【分析】解：在中， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D． 4．A 【分析】根据题意可知，再根据直角三角形面积的两种表示方法即可求出的值． 【详解】解：如图所示过点作轴垂足为，过点作轴垂足， ∵在平面直角坐标系中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴解得：，， ∴的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在反比例函数上且有图像可知， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了三角形函数，反比例函数的解析式，直角三角形的面积，熟记直角三角形面积的两种求法是解题的关键． 5．A 【分析】根据平行线的性质可求出，从而求出的度数，继而求出答案． 【详解】解：∵CD∥AB ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查了特殊的三角函数值的计算，特殊的三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择、填空、计算为主．记住特殊的三角函数值是解本题的关键． 6．A 【分析】由余弦可知，进而问题可求解． 【详解】解：由余弦可知， 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则， ∴锐角A的余弦值不变； 故选A． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握余弦的求法是解题的关键． 7．C 【分析】连结BC，OC，根据CD为切线，可得OC⊥DC，利用锐角三角函数可求OC=CDtan∠OAC=，可求∠DOC=60°根据三角形外角性质∠A=∠OCA=，由AB为直径，可得∠BCA=90°，利用AC=ABcos30°=即可． 【详解】解：连结BC，OC， ∵CD为切线， ∴OC⊥DC， 在Rt△DOC中， ∵，， ∴OC=CDtan∠OAC=， ∴OB=OA=OC=2，∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60° ∴∠A=∠OCA= ∵AB为直径， ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∵AB=2OA=4，∠A=30°， ∴AC=ABcos30°=． 故选择C． 【点睛】本题考查切线性质，锐角三角函数，三角形外角性质，掌握切线性质，锐角三角函数，三角形外角性质是解题关键． 8．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状． 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 9． 【分析】解：设，由得，AB＝AC＝AD+DC＝，利用正切的定义即得答案． 【详解】解：设， 由得， ∵AB＝AC ∴AB＝AC＝AD+DC＝ ∵ ∴△ABD是直角三角形 ∴tan∠DBA＝＝＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是关键． 10．30 【分析】根据特殊角的三角函数值可直接得出答案 【详解】解：∵， ∴锐角A的度数为30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键． 11． 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 12．/ 【分析】本题考查三角函数，勾股定理．作于点，根据等积法求出的长，结合勾股定理及正切定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：作于点，由图形可得， ，，， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：； 13．3 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．5 【分析】通过菱形对角线的性质得出OD的长度，再通过∠DAC的正弦值得出菱形边长． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴BO=OD=2， ∵sin∠DAC=， ∴=， ∴OD=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了菱形对角线的性质和锐角三角函数的知识，了解菱形对角线互相垂直平分是解题的关键． 15． 【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD，CD就可以． 【详解】解：在Rt△ABD中，，，AD=60m， ∴． 在Rt△ACD中，，， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了仰角俯角问题，利用三角函数关系解直角三角形是解题的关键． 16． /0.25 【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值． 【详解】解：（1）连接， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当点P与点A重合时，， ． 故答案为：． （2）连接， ，，， ， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当弦CD的长最小时，圆心角也最小， ， 当最小时，最小，即最小， 又在中，， 当最小时，最小， 当弦CD的长最小时，最小， 由垂线段最短性质得，当时，有最小值， 此时， ， 当弦CD的长最小时，的值为． 故答案为：． 17．∠A＝60°，，c＝40 【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素． 【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°， ∴∠A＝90°-30°＝60°， ， ∴， ∴c＝40， 由勾股定理知， ∴， 解得：． 【点睛】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边． 18． 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，负整数指数幂，二次根式的混合运算及实数的混合计算，先计算特殊角三角函数值和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】 ． 19．10 【分析】根据∠C=90°，，设BC=5x，AB=13x，再根据勾股定理求出AC =12x，求出x的值，再代入BC=5x，进行计算即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，C = 90， ∴ 设BC=5x，AB=13x. 由勾股定理得AC =12x. ∵AC =24, ∴12x=24  解得x=2 ∴BC=5x=10 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解此题的关键是得出关于x的方程，难度适中． 20．(1)， (2) 【分析】（1）先求出长，再根据正切定义求得，进而利用勾股定理求解即可； （2）过作于，证明求得，再根据正弦函数定义求解即可． 【详解】（1）解：∵点是边的中点，， ∴，， 在中，由，得：， 由勾股定理得， ； （2）解：过作于，则， 又， ∴， ∴即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的边角关系并正确求解是解答的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接.根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到可得，再由平行的性质可得，最后由切线的性质即可证明结论； （2）连接，根据直径所对圆周角是直角，利用三角函数可以求出，再利用得到解题即可． 【详解】（1）证明：如图，连接. ∵， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴ ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键． 22．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 23．（1）①(0，2)；② n＜﹣；（2）﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4 【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题． ②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题． （2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1）， ∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点， ∴OP＝AB＝2， ∴P（0，2）． 故答案为：（0，2）． ②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H． 在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2 ∴OH＝ ， 观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜﹣． （2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B． 由题意C（，1）， ∴CH＝，OH＝1， ∴tan∠COH＝， ∴∠COH＝60°， 当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4， ∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点， ∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件， 如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝30°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0， 如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP． ∴OC是⊙B的切线， ∴OP⊥BP， ∴∠OPB＝90°， ∵BP＝2，∠POB＝30°， ∴OB＝，此时t＝4﹣2＝2， 如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA＝4，此时t＝4，此时符合题意． 如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2， 观察图形可知，满足条件的t的值为：2＜t≤4， 综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4． 故答案为：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或2＜t≤4． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．(1)，，； (2)秋千的绳索长为尺． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，尺，尺，尺， 故答案为：，，； （2）如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $