第二十七章 相似 综合练习 2025～2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似综合练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 4．与的相似比为1：4，则与的周长比为（    ）． A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 5．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（　　） A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 6．如图，，相交于点O，．若，，则与的长度之比为（    ） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 7．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B．8 C．10 D．16 8．如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题 9．已知，那么的值为 ． 10．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ． 11．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m． 12．如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是 （写出一个即可）． 13．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么的面积与的面积的比是 ． 14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△ ，相似比为 ． 15．如图，平行四边形中，E为的中点，与交于点F．则与的面积比为 ．    16．已知矩形中，，在上取一点E，将沿向上折叠，使B落在上的F点．则 （1） ； （2）若四边形与矩形相似，则 ．    三、解答题 17．如图，在中，，D是延长线上的一点，E是上的一点．连接．如果．求证：． 18．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 19．如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 20．如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段重合． (1)图中与相似的三角形共有________个，分别是_____________________； (2)请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明． 21．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 22．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 23．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 24．如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 25．在等边三角形ABC中，点D是边AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F在BC边上，连接DF，EF． （1）如图1，当DF是∠BDE的平分线时，若AE＝2，求EF的长； （2）如图2，当DF⊥DE时，设AE＝a，则EF的长为 （用含a的式子表示）． 26．在平面直角坐标系中，已知点 (点不与原点重合)，将点称为点关于点的“倍平移点”． (1)已知点的坐标是， ①若点，则点关于点的“倍平移点”Q的坐标是 ； ②点，，点在线段上，过点作直线轴，若直线l上存在点关于点的“2倍平移点”，求r的取值范围． (2)点，，，，以为边在直线的上方作正方形，点在正方形的边上，且，，对于正方形的边上任意一点，若线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，直接写出k的取值范围． 《第二十七章 相似综合练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C A A C A 1．B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 2．D 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，解出AB的值即可． 【详解】∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3， ∴，即， ∴AB=6． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 4．C 【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题． 【详解】∵与的相似比为1：4， ∴与的周长比为1：4， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 5．A 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EBDC， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ， ∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，AC＝14m， ∴ ， 解得，DC＝17.5（m）， 即建筑物CD的高是17.5m， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 6．A 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：．A 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 8．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法“两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；”求解即可． 【详解】解：在和中，， ①， ∴与一定相似，故①正确； ②， ∴与一定相似，故②正确； ③， ∴与不相似，故③错误； ④， ∴与一定相似，故④正确； ⑤， 即， ∴与不相似，故⑤错误； 综上所述，能判定相似的有①②④， 故选：A ． 9．3 【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10．2 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．12 【分析】根据物理光学中的入射角等于反射角可知∠ECD=∠ACB，所以图中两个三角形相似，再利用相似比求出AB即可． 【详解】∵∠ECD=∠ACB ∴△ABC≌△EDC ∴ ∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m） 故答案为：12 【点睛】本题考查光的反射和三角形相似的结合，掌握这些知识点是本题关键． 12．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一） 【分析】相似三角形的判定定理：①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；②两角对应相等的两个三角形相似．据此解答即可． 【详解】解：∵∠C=∠C ∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC． 故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似．解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角． 13．/ 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为： 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14． BAC 1：4 【分析】证明△BMN∽△BAC，由相似三角形的性质可得出∠BNM＝∠C＝30°， ，由直角三角形的性质得出AB＝BC，证出BN＝BC，则可得出答案． 【详解】解：∵MN⊥BC， ∴∠NMB＝90°， ∴∠A＝∠NMB， ∵∠B＝∠B， ∴△BMN∽△BAC， ∴∠BNM＝∠C＝30°，， ∴AB＝BC； ∵N是AB的中点， ∴BN＝AB； ∴BN＝BC； ∴相似比为BN：BC＝1：4． 故答案为：BAC；1：4． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△BMN∽△BAC是解题的关键． 15． 【分析】此题主要考查了相似三角形，平行四边形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，是解题关键． 利用平行四边形的性质得出，，得到，再利用相似三角形的面积比等于相似比平方，即得． 【详解】∵E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 4 【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得到答案； （2）设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， 由对折可得：，， ∴四边形是正方形． ∴， （2）设，则， ∵四边形与矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验：是分式方程的解，且符合题意． ∴， 即． 故答案为：4， 【点睛】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式． 17．见解析 【分析】由垂直可得，根据相似三角形的判定定理直接证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 18．（1）见解析；（2）EF＝2． 【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得； （2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴ , ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 19．见解析 【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． 【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝， ∴＝＝2， ∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图． 20．(1)3， (2)选，理由见解析或选，理由见解析或选，理由见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，即可求解； （2）根据相似三角形的判定定理及正方形的性质证明即可． 【详解】（1）解：图中与相似的三角形共有3个， 分别是； 故答案为：3， （2）解：选，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 选，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ，，， ，，， ，，， ∴， ∴． 22．(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：， 灯杆的长为； （2）由题意得：，， ， ， ， 解得：； ∴此时小华的影长的长为． 25．（1）EF=2（2） 【分析】（1）根据DE∥BC证明ADE是等边三角形，再根据D是AB中点，可证明BFD是等边三角形，在证明DEF是等边三角形，从而求得EF=2, （2）过点A作AM垂直BC于点M，可证DBF∽ABM,由相似可求出DF=，在利用勾股定理即可求出EF． 【详解】解：（1）∵ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC=60°， ∴∠A=∠ADE=60°， ∴ADE是等边三角形， ∴AD=DE=2, ∵D是AB中点， ∴BD=AD=2， ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDF=∠EDF=∠BDE=（180°-60°）=60°， 又∵∠B=60°， ∴BFD是等边三角形， ∴DF=BD=2, ∵DF=DE=2,∠EDF=60°， ∴DEF是等边三角形， ∴EF=DE=DF=2; （2）过点A作AM垂直BC于点M， ∵DE∥BC，DF⊥DE， ∴∠BFD=∠FDE=90°， ∵∠DFB=∠AMB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴DBF∽ABM, ∵D为AB中点， ∴, ∴DF=AM， ∵AM是等边三角形BC边上的高， ∴M是BC的中点，   ∴BM=BC=a， ∴AM==， ∴DF=AM=， ∴在中，EF==． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，三角形的相似和勾股定理，熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键． 26．(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，新定义运算，坐标与图形，解题的关键是理解题意，数形结合，正确计算． （1）①根据题目中提供的定义进行解答即可； ②根据点，，点M在线段上，设点M的坐标为，根据“2倍平移点”的定义得出Q点的坐标为：，求出，得出； （2）先求出点C的坐标，点D的坐标为，根据点在正方形的边上，且，，得出，，根据“倍平移点”的定义和线段上都不存在点关于点的“倍平移点”，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点P的坐标是，点， ∴点P关于点M的“2倍平移点”Q的坐标是：， 即点Q的坐标为； ②∵点，，点M在线段上， ∴设点M的坐标为， ∴点P关于点M的“2倍平移点”为：， 即Q点的坐标为：， ∵， ∴， ∵过点作直线轴，若直线l上存在点P关于点M的“2倍平移点”， ∴， ∴； （2）解：∵点，，以为边在直线的上方作正方形， ∴点C的坐标，点D的坐标为， ∵点在正方形的边上，且，， ∴点M的坐标为或，，， 当点P的横坐标最小，点P关于点M的“k倍平移点”横坐标为， 当点P的纵坐标最小，点P关于点M的“k倍平移点”纵坐标为， ∵，， 即当点P的横坐标或纵坐标小时（点在上运动时），点向右或向上平移的最大距离为， ∵（点重合时） ∴当点向右平移的距离大于时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”． ∴ 解得： ∵（点重合时） ∴当点向上平移的距离小于时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”． ∴ 解得： 即当或时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $