精品解析：江西省南昌市南昌县2020--2021学年八年级上学期期末数学测试卷

南昌县 2020—2021 学年度第一学期期末考试八年级数学试题 一． 选择题（共8小题） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，不符合题意； C是轴对称图形，符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，该选项计算错误，不符合题意； B．，该选项计算错误，不符合题意； C．，该选项计算正确，符合题意； D．不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 故选C． 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项的变形是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，而的右边不是几个整式的积的形式．选项A错误． ，是把多项式化为整式与的积的形式．选项B正确． 因式分解的结果必须是几个整式的积，而中不是整式．选项C错误． 是整式乘法，是把几个整式的积化为一个多项式，不是因式分解．选项D错误． 故选：． 4. 如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质得到线段相等关系，再结合三角形周长公式求出的长．本题主要考查了折叠的性质以及三角形周长的计算，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：∵沿直线折叠后，点与点重合， ∴． ∵的周长为，即， 又∵， ∴． ∵， ∴ ． 故选：B． 5. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. 点D在∠BAC的平分线上 C. D. 点D是BE的中点 【答案】D 【解析】 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理可得，由此可判断选项A；先根据三角形全等的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理可得，由此可判断选项C；先根据三角形全等的性质可得，再根据角平分线的判定定理即可得判断选项B；先根据三角形全等的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断选项D． 【详解】， ， 在和中，， ，则选项A正确； ， ，即， 在和中，， ，则选项C正确； ， 又， 点D在的平分线上，则选项B正确； ， ， 是的斜边，DE是的直角边， ， ， 即点D不是BE的中点，选项D不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 6. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键．通过分别计算图1和图2中阴影部分的面积，再根据面积相等来验证公式． 【详解】解：图1中阴影部分是边长为的正方形，其面积为， 图2中，阴影部分面积为（因为图2中阴影部分可看作大正方形减去2个长方形后，再加上边长为b的正方形的面积）， 因为图1和图2阴影部分面积相等，所以． 故选：A． 7. 关于x的方程 无解， 则m的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 代入整式方程①得：， 解得． 故选：C． 8. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱我中华 B. 我游中华 C. 中华美 D. 我爱游 【答案】A 【解析】 【分析】先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案． 【详解】∵ =， ∴信息中的汉字有：华、我、爱、中． ∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 二． 填空题（共6小题） 9. 计算：_________．_______．_________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】分别根据零指数幂、乘方运算、积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可．本题主要考查了零指数幂、乘方运算、积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：．． 故答案为：；；． 10. 已知，．则式子____． 【答案】 【解析】 【分析】已知，可对其两边同时平方得到的值，再根据完全平方公式展开，然后将代入展开式，通过计算即可求出的值．本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ， 解得． 故答案为：． 11. 在 4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有_______种． 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质及判定添加图形得出答案即可．本题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形． 【详解】解：如图所示． 这样的添法共有4种． 故答案为：4． 12. 若分式无意义，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】分式无意义，则分式中的分母为0. 【详解】∵分式无意义 ∴，解得 故答案为： 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是根据分式无意义判断分母的值为0. 13. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________ 【答案】－3 【解析】 【分析】根据轴对称的点的坐标变化规律可得出答案 【详解】解：∵点P（1，a）与Q（b，2）关于x轴成轴对称， ∴b=1，a=﹣2． ∵点Q（b，2）与点M（m，n）关于y轴成轴对称， ∴m=﹣1，n=2， 则m﹣n=﹣1﹣2=﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了轴对称，明确关于x(y)轴对称的点的坐标的规律是解题关键. 14. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________． 【答案】或 【解析】 【详解】【分析】如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2，根据SAS证△E2OP≌△DOP，推出E2P=PD，得出此时点E2符合条件，此时∠OE2P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1，根据等腰三角形性质推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可． 【详解】（1）如图，以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E2，连接PE2， ∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠E2OP=∠DOP， 在△EOP和△DOP中 ∴△E2OP≌△DOP（SAS）， ∴∠OE2P=∠ODP，PE2=PD; （2）以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E1，连接PE1， ∵PE1=PE2, ∴∠PE2E1=∠PE1E2， ∴由邻补角定义可得：∠PE1O+∠PE1E2=180， ∴∠PE1O+∠PDO=180. 综合上述:或 故答案为或. 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质.解题注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS;②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 三． 解答题（共9小题） 15. （1） 简便计算： ； （2） 因式分解： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将转化为，然后利用平方差公式进行简便计算． （2）先对前两项利用平方差公式分解，然后对后两项提取公因式，最后再提取公因式进行因式分解． 本题主要考查了平方差公式的应用以及因式分解的方法．熟练掌握平方差公式和因式分解的技巧（如分组分解法、提取公因式法）是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 16. 先化简， 再求值： 其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先对原式中括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行化简，最后将代入化简后的式子求值．本题主要考查了分化简求值，涉及到分式的通分、除法运算以及约分等知识点．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 解方程：． 【答案】x=7 【解析】 【分析】通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号，移项，合并同类项：， 解得：x=7． 经检验：x=7是方程的解， ∴x=7． 【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，检验，是解题的关键． 18. 在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 【答案】 由分析作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定，正五边形性质是解题的关键． 图，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线； 图，连接，交于，连接并且延长交于即得到的垂直平分线． 【详解】解：图证明 ∵，， ∴点、在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 图证明：∵， ∴是等腰三角形，． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴点、在的垂直分线上， ∴垂直平分． 图证明：正五边形中，，，． 如图，连接、， 在和中， ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 同理可证：， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 19. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）求证： （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键． （1）要证明，需根据已知条件找出全等的条件，如角相等、边相等，利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）先根据（1）的全等结论得出对应边的长度，再利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长度，最后根据三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 证明：∵ 三角板是等腰直角三角板， ∴ ，， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）． 【小问2详解】 解：∵ 每块砖的厚度， ∴ ，． 由（1）知， ∴ ，， 在中，根据勾股定理， ∴ ． 20. 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合作完成这项工程所需的天数． 【答案】（1）60 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用. 等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，根据题意可得出：甲队的总工作量+乙队的总工作量=1，由此可列出方程求解． 【详解】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x天， 根据题意得： 解之得：x=60， 经检验：x=60是原方程的解． 所以乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天． （2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y天， 根据题意得：()y=1， 解之得：y=24， 所以两队合做完成这项工程所需的天数为24天． 21. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式． 过程为： 以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状． 【答案】（1）； （2）是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了分组分解法分解因式以及利用因式分解判断三角形的形状．熟练掌握分组分解法的步骤和完全平方公式、提取公因式法等知识，通过合理分组进行因式分解，并根据分解结果判断三角形的形状是解题的关键． （1）前三项符合完全平方公式，后两项可提取公因式，然后前后两部分分别分解因式后会产生公因式，再提取公因式完成整个式子的分解因式． （2）对进行分组分解，通过提取公因式得到关于、、的关系，从而判断的形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或 即或 ∴是等腰三角形． 22. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形 【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县 2020—2021 学年度第一学期期末考试八年级数学试题 一． 选择题（共8小题） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，沿直线折叠后，使得点与点重合，已知，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. 点D在∠BAC的平分线上 C. D. 点D是BE的中点 6. 如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程 无解， 则m的值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 爱我中华 B. 我游中华 C. 中华美 D. 我爱游 二． 填空题（共6小题） 9. 计算：_________．_______．_________． 10. 已知，．则式子____． 11. 在 4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有_______种． 12. 若分式无意义，则=________． 13. 已知点P(1，a)与Q(b，2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b，2)与点M(m，n)关于y轴成轴对称，则m－n的值为__________ 14. 如图，已知点为的角平分线上的一点，点在边上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间有一定的数量关系，请你写出与的数量关系__________． 三． 解答题（共9小题） 15. （1） 简便计算： ； （2） 因式分解： 16. 先化简， 再求值： 其中． 17. 解方程：． 18. 在图，已知，；在图中，，；在图中，五边形是正五边形，请你只用直尺画出三个图形中的的垂直平分线． 19. 一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题． （1）求证： （2）如果每块砖的厚度，请你帮小明求出三角板的面积． 20. 在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成． （1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合作完成这项工程所需的天数． 21. 常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，但仍然有很多多项式用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式， 后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式． 然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式． 过程为： 以上这种分解因式的方法叫分组分解法． 请利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）若△ABC的三边a， b， c满足试判断△ABC的形状． 22. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $