精品解析：浙江省台州市路桥区2021—2022学年九年级上学期期末数学试题　

路桥区2021学年第一学期期末试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 两个正数的和是正数 B. 在一个只装有红球的袋中摸出白球 C. 任意画一个三角形，内角和为 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A. 2 B. 0 C. D. 10. 如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 4 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值可以是___________（写出一个即可）． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 13. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率 由此可以估计这批菜种发芽的概率为___________（精确到）． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为___． 15. 如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 16. 定义：对于某一函数，如果存在正实数，使得任意的函数值，都满足，那么称这个函数是限定函数，在所有满足条件的中，其最小值称为该函数的限定值．例如，如图所示的函数是限定函数，其限定值是3． ①已知函数是限定函数，则其限定值为___________； ②将函数的图象向下平移个单位长度，得到的函数是限定函数，且限定值是．若限定值满足，则对应的的取值范围为___________． 三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22~23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． （1）请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； （2）将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 19. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象都经过点，． （1）求，的值和一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集是___________． 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 23. 某商家购进甲、乙两种热水袋，进价分别为每个30元、25元．在销售过程中发现，甲种热水袋售价为每个45元时，每天可以售出20个，为提高甲种热水袋的销量，商家决定对甲种热水袋降价销售，已知每降价1元，每天可多售出4个． （1）若商家将甲种热水袋每个降价3元销售，求当天售出甲种热水袋获得的利润； （2）当每个甲种热水袋的售价为多少元时，每天售出甲种热水袋获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）有一次商家用12000元购进这两种热水袋，销售时，每售出一个甲种热水袋可获利15元，每售出一个乙种热水袋可获利8元，该商家决定每售出一个甲种热水袋就捐元给当地的慈善机构．若该商家在甲、乙两种热水袋全部售出的情况下，捐款后获得的利润始终不变，求的值和该商家所获得的利润． 24. 如图1，在中，，射线从所在位置开始绕点逆时针旋转，旋转角为． （1）当时，射线旋转到如图2的位置，点在射线上，若，则___________（用含的式子表示），线段，与之间的数量关系为：___________； （2）当时，射线旋转到如图3的位置，点在射线上，若，求证：； （3）当时，，点在射线上，若，，求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 路桥区2021学年第一学期期末试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形是解决问题的关键． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 两个正数的和是正数 B. 在一个只装有红球的袋中摸出白球 C. 任意画一个三角形，内角和为 D. 抛掷一枚硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论． 【详解】解：A、两个正数的和是正数，是必然事件，故本选项不符合题意； B、在一个只装有红球的袋中摸出白球，是不可能事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故本选项符合题意； 故选∶D 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数的顶点式是：（，且，，是常数），顶点坐标为，直接写出顶点坐标． 【详解】解：因为是抛物线解析式的顶点式； 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是； 故选：A． 4. 下列一元二次方程中，有一个根为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入选项中每个方程进行检验即可得到答案． 【详解】解：把代入，得， ∴，故A不符合题意； 把代入，得， ∴，故B符合题意； 把代入，得， ∴，故C不符合题意； 把代入，得， ∴，故D不符合题意； 故选：B 5. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ， 故选：C． 6. 杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】， ， 故选：A． 7. 如图，在中，弦，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理． 求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】， ， ，是所对的圆周角， ， 故选：C． 8. 已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．解题的关键是根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性，增减性． 根据，两点的函数值相同，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性质，比较函数值大小即可． 【详解】解：抛物线过，两点， 对称轴为直线． ，开口向上， 当时，随的增大而减小， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴上，曲线是由半径为4个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第2021秒时点的纵坐标为（　　） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算、点的坐标的特点，含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过圆心B作于点D，交于点E， 求出，，得到，推导出点E的纵坐标为，由图可知，每走两个弧为一个循环，根据，得到一个循环需要4秒，继而推导出第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：如图，过圆心B作于点D，交于点E，有 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵， ∴每4秒一个循环， ∵， ∴第2021秒时点的纵坐标与点E的纵坐标相同，为． 故选D． 10. 如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值． 【详解】解析：连接，，，， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ，， ， ， 点，分别是，的中点， ，同理， ， 当最大时，为最大， 为的弦， 当为的直径时，为最大， 当时，为最大，最大值为． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一）  【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象位于第一、三象限的性质求解即可． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则求解即可． 【详解】解：若反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， ∴的值可以是1 ． 故答案为：1（答案不唯一） ． 12. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 13. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率 由此可以估计这批菜种发芽的概率为___________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，关键要清楚：在大量重复试验时，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率． 根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确， 所以估计种一粒这样的莱种发芽的概率约为， 故答案为：． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式的值为___． 【答案】2022 【解析】 【分析】把把 (m，0)代入函数解析式得到m2-m=1，代入代数式求值． 【详解】解：把 (m，0)代入函数解析式y=x2−x−1，得 m2-m-1=0， 即m2-m=1， 则代数式m2−m+2021=1+2021=2022， 故答案为2022． 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征以及求代数式的值，整体思想的应用是解决问题的关键． 15. 如图，要设计一幅长为，宽为的矩形图案，其中各有两条横、竖向的彩带，横、竖向彩带的宽度比为，彩带所占面积是图案面积的，设竖向彩带的宽为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．设竖彩带的宽是，则横彩带的宽是，根据彩带所占面积是图案面积的，可列方程求解． 【详解】解：彩带面积是图案面积的， 空白部分面积是图案面积的， 可列方程为：． 故答案为：． 16. 定义：对于某一函数，如果存在正实数，使得任意的函数值，都满足，那么称这个函数是限定函数，在所有满足条件的中，其最小值称为该函数的限定值．例如，如图所示的函数是限定函数，其限定值是3． ①已知函数是限定函数，则其限定值为___________； ②将函数的图象向下平移个单位长度，得到的函数是限定函数，且限定值是．若限定值满足，则对应的的取值范围为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，二次函数平移规律，新定义，解题的关键在于正确理解限定函数与限定值的概念． ①根据二次函数性质推出的取值范围，结合取值范围即可推出其限定值； ②根据二次函数平移规律，以及二次函数性质分情况：当时，当，，，当时，当，．，再结合限定值分析求解，即可解题． 【详解】解：①当时，．当时，， 又，顶点为， 当时，． 是限定函数． 限定值为2． ②当时，当，，． ⅰ）当时，即时， 限定值． ，解得． ⅱ）当时，即时，有； 当时，当，．，此时， ，解得，结合，的值不存在． 综上所述，或． 故答案为：①2；②或． 三、解答题（本题有8小题，第17~20题每题8分，第21题10分，第22~23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； 利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 ， ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． （1）请画出将绕点旋转180°得到的，并写出点的坐标； （2）将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为___________． 【答案】（1）画图见解析，的坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的旋转和平移，对称中心． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，，，连线即可； （2）根据已知可得对应点的中点坐标，即为对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，点与点重合，连接，，，即可得，， 如图，为所求，点的坐标为 【小问2详解】 解：∵点的对应点的坐标为，，， ∴将向下平移个单位长度得到， 设与恰好关于点成中心对称，则点为的中点， ∵，， ∴，， ∴， ∴这个对称中心的坐标为． 故答案为：． 19. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求选中乙同学的概率； （2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）恰好选到乙的概率是； （2）恰好选中甲、乙两位同学的概率是． 【解析】 【分析】（1）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两人的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位， ∴恰好选到乙的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有2种情况， ∴恰好选中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有一个根为2，求该方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以 ，求解即可． （2）该方程有一个根为2，代入方程可解出的值，将之代入原方程再求出另一个解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ； 【小问2详解】 方程有一个根为2，代入得： ， ， 解得， ∵， ． 当时，原方程为． 解得或． 原方程另一个根为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象都经过点，． （1）求，的值和一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集是___________． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）将，代入求出，的值，再将，代入求一次函数解析式即可； （2）根据图象作答即可． 【小问1详解】 将，代入得： ， 解得，， 即， 将，代入得： ， 解得： ∴； 【小问2详解】 根据函数的图象可得，的解集是或． 故答案为：或 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角以及平行线的性质得到，进而证明，再利用全等三角形对应角相等和切线的判定定理即可证明； （2）根据斜边中线定理可得，推出为等边三角形，利用三角形内角和定理得到，得到，设，利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用割补法以及三角形和扇形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，为直角三角形． 点是的中点， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 解得． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、求扇形面积、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 某商家购进甲、乙两种热水袋，进价分别为每个30元、25元．在销售过程中发现，甲种热水袋售价为每个45元时，每天可以售出20个，为提高甲种热水袋的销量，商家决定对甲种热水袋降价销售，已知每降价1元，每天可多售出4个． （1）若商家将甲种热水袋每个降价3元销售，求当天售出甲种热水袋获得的利润； （2）当每个甲种热水袋的售价为多少元时，每天售出甲种热水袋获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）有一次商家用12000元购进这两种热水袋，销售时，每售出一个甲种热水袋可获利15元，每售出一个乙种热水袋可获利8元，该商家决定每售出一个甲种热水袋就捐元给当地的慈善机构．若该商家在甲、乙两种热水袋全部售出的情况下，捐款后获得的利润始终不变，求的值和该商家所获得的利润． 【答案】（1）384元 （2）40元，400元 （3）为元，利润为3840元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，配方法，二次函数的性质，熟练掌握利润售价进价销量关系式和二次函数的性质是解题的关键． （1）利用利润（售价进价）销量的关系式列式解答即可； （2）设商家将甲种热水袋降价元时，每天售出甲种热水袋的利润为元，列出函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）设总利润为元，购进甲种热水袋个，列出函数关系式，利用捐款后所得的利润始终不变，则的值与的值无关求得值，则结论可求． 【小问1详解】 解：当降价3元销售时，甲种热水袋一天售出的数量为（个）， 利润为（元）． 答：当天售出甲种热水袋获得的利润为384元． 【小问2详解】 解：设商家将每个甲种热水袋降价元时，每天售出甲种热水袋的利润为元， 由题意，得， ∴当时，取得最大值，最大值为400元，此时售价为（元）． 答：当甲种热水袋的售价为40元时，每天售出甲种热水袋的利润达到最大，最大利润为400元． 【小问3详解】 解：设总利润为元，购进甲种热水袋个， 依题意，得． 捐款后所得的利润始终不变， ∴的值与的值无关． ， 解得． 此时． 答：若捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为3840元． 24. 如图1，在中，，射线从所在位置开始绕点逆时针旋转，旋转角为． （1）当时，射线旋转到如图2的位置，点在射线上，若，则___________（用含的式子表示），线段，与之间的数量关系为：___________； （2）当时，射线旋转到如图3的位置，点在射线上，若，求证：； （3）当时，，点在射线上，若，，求点到直线的距离． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形、全等三角形及旋转的性质，作辅助线构建两三角形全等是本题的关键； （1）根据两三角形中若两个角对应相等，则第三个角也对应相等得：；作辅助线，构建两个全等三角形：，得，再证明是等边三角形，则，相加后得结论； （2）如图3，在上取一点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论； （3）①当，在内部时，如图3所示，作，根据勾股定理得到，由（2）可知，，得到，根据等腰直角三角形的性质得到；②当，在外部时，如图4所示，作于点，根据等腰直角三角形到现在得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图2，， ， ， ， ， ， 在上取一点，使，连接， ，， ， ，， ， ， 即， 是等边三角形， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图3，在上取一点，使，连接， 同理得， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ， ， 即； 【小问3详解】 ①当，在内部时，如图3所示， 将绕点逆时针旋转至， 作，在中，，，， 由勾股定理，得， 由（2）可知，， ， 又为等腰直角三角形，， ； ②当，在外部时，如图4所示， 作于点， ， ， 又， 将绕点逆时针旋转至， 点在直线上， 同理可得，为等腰直角三角形， ， 又，， ， 综上所述，点到直线的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $