第二十六章 反比例函数 单元测试2025～2026学年 人教版九年级数学下册

第二十六章 反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象在第二，四象限 C．y随x增大而减小 D．时，y随x的增大而减小 3．已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A（a,4），则点B的坐标为（    ） A．（－1,4） B．（1,－4） C．（4，－1） D．（－4,1） 4．如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 5．反比例函数的图象，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 6．已知，点、是反比例函数的图象上的两点，且．满足条件的m值可以是（    ） A．-6 B．-1 C．1 D．3 7．某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 8．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y轴，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D． 下面三个结论， ①存在无数个点P使； ②存在无数个点P使； ③存在无数个点P使． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 9．函数的自变量x的取值范围是 ． 10．若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 （用“＞”号连接）． 11．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 12．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的两个顶点都在反比例函数的图象上，对角线的交点恰好是原点，且对角线所在直线是第二、四象限的角平分线．若，，则反比例函数的表达式为 ． 14．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车.大桥在设计理念、建造技术、施工组织、管理模式等方面进行一系列创新，标志着我国岛隧工程设计施工管理水平走在了世界前列.大桥全长近55km.汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为 15．反比例函数（k >0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 ． 16．在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法： ①一次函数的图象与线段无公共点； ②当时，一次函数的图象与线段无公共点； ③当时，反比例函数的图象与线段无公共点； ④当时，二次函数的图象与线段无公共点． 上述说法中正确的是 ． 三、解答题 17．某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： (1)请写出这一反比例函数的解析式； (2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 18．如图，已知反比例函数的图象经过点M．    (1)求此反比例函数的解析式； (2)当时，求的值； (3)若、是此反比例函数图像上的两点，试比较和的大小关系（直接写出结果）． 19．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 20．如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 21．如图，正方形对角线的交点在平面直角坐标系的原点，且边与坐标轴平行或垂直，AB=4． （1）如果反比例函数的图象经过点，求这个反比例函数的表达式； （2）如果反比例函数的图象与正方形有公共点，请直接写出的取值范围． 22．如图所示，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于C，D两点，且C点的坐标为．    (1)分别求出直线及反比例函数的表达式； (2)求出点D的坐标； (3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，． 23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）画出直线和双曲线的示意图； （3）若P是坐标轴上一点，当OA＝PA时．直接写出点P的坐标． 24．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于点，． （1）求出反比例函数表达式及的值； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求a和k的值； (2)已知点，过点P作平行于y轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D． ①当时，求线段CD的长； ②若，结合函数的图象，直接写出m的取值范围． 26．如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 《第二十六章 反比例函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D A C B D 1．A 【分析】根据中，当时，函数的图象在一、三象限，当时，函数的图象在二、四象限，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴函数的图象在一、三象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断反比例函数图象所在象限，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 2．D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可一一判定． 【详解】解：A.当x=1时，y=5，故该函数图象不经过点，故该选项错误，不符合题意； B.，该函数图象在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； C.，在该函数图象的每一个分支中，y随x增大而减小，故该选项错误，不符合题意； D.，当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象和性质是解决本题的关键． 3．B 【分析】把点A（a,4）代入得到a的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称得到B点的坐标. 【详解】把点A（a,4）代入，得a=-1 又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称 则B（1，-4） 故答案为B. 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，务必清楚的是正比例函数与反比例函数若有交点，则两交点关于原点对称，关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数. 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 5．A 【详解】试题分析：反比例函数：当时，图象位于一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，图象位于二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大. 由题意得，解得 故选A. 考点：反比例函数的性质 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成. 6．C 【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断选项，即可． 【详解】∵点、是反比例函数的图象上的两点， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴2＞m＞0， ∴m可以为1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键． 7．B 【分析】根据已知条件求出S随h，S随r变化的函数关系式即可得到解答． 【详解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104， ∴S=， ∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查函数类型的判别，根据实际问题列出函数解析式并根据解析式的特征判断函数的类型是解题关键． 8．D 【分析】设，，则，利用反比例函数k的几何意义得到，，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算和得到m与n的关系可对③进行判断． 【详解】解：如图，设，，则， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴当，即， ∴m=2n( (舍去)或m=−n， 此时P点为无数个， ∴③正确． 故正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 9． 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不等于零直接求解即可 【详解】∵分式的分母不能为零， ∴， 故答案为： 10．y3＞y1＞y2 【分析】由题意先根据反比例函数中k＞0，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k＞0） ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵-5＜-3＜0， ∴点（-5，y1），（-3，y2）位于第三象限， ∴y2＜y1＜0， ∵3＞0， ∴点（3，y3）位于第一象限， ∴y3＞0， 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 11．/ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ， ， 反比例函数， 该反比例函数还过， ， ， 故答案为． 12．4 【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值． 【详解】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2， ∴S△AOB=|k|=2， ∴k=±4． ∵函数在第一象限有图象， ∴k=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键． 13．/ 【分析】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系的特点，待定系数法反比例函数解析式，勾股定理等知识的综合运用，掌握菱形的性质，勾股定理得到，待定系数法的运用是解题的关键． 根据菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示，可得，，即，则，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵对角线所在直线是第二、四象限的角平分线，过点作轴于点，如图所示， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为： ． 14． 【分析】根据时间=路程速度即可解题. 【详解】解：由时间=路程速度可知, 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用,属于简单题,熟悉反比例函数的定义是解题关键. 15．（-2，-1） 【详解】将A点代入，解得k=2；故 设经过A点与原点的直线为y=ax，将A点代入得1=2a，解得a=； 故y= 联立与y=，得到 解得方程x=-2或x=2 那么B点的坐标为（-2，-1） 16．②③ 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可． 【详解】解：一次函数经过点，故①错误； 一次函数刚好经过点，向下平移直线，此时，直线与线段无公共点，故②正确； 反比例函数的图象刚好经过点，当时，反比例函数的图象沿着向远离原点的方向平移，与线段无公共点，故③正确； 二次函数的图象一定经过，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握相关函数的性质，进行准确推理判断． 17．(1) (2)米/秒 【分析】（1）根据图形，设与之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 18．(1)y= (2)y= (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数即可求解； （2）将带代入（1）中求得的反比例函数解析式中即可求解； （3）将、代入反比例函数，分别计算出，的值即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ∴，即， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：当时，代入反比例函数得，， ∴当时，． （3）、是此反比例函数图像上的两点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数上点的特点，掌握将已知点代入反比例函数的计算方法是解题的关键． 19．(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 21．（1）；（2） 或 【分析】（1）根据题意得出A的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）根据A、B、C、D的坐标，结合图象即可求得． 【详解】解：（1）由题意，得， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式； （2）由图象可知： 当反比例函数刚好经过A和C，或B和D时，k分别为4和-4，k≠0， 则如果反比例函数的图象与正方形ABCD有公共点， k的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质以及反比例函数的图象，根据图象得出正方形各点的坐标是解题的关键． 22．(1)直线的解析式为：；反比例函数的解析式为 (2) (3)当时， 【分析】（1）运用待定系数法进行计算即可得； （2）联立，进行计算即可得； （3）观察函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ， ∴直线的解析式为：， ∵点在反比例函数上， ∴， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， 解得， ∴； （3）解：根据函数图象得，当时，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握． 23．（1）y=;(2)见解析;(3) P（0，6）或P（2，0） 【分析】(1)利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式; (2)利用描点法画出函数图象即可; (3)当点P在y轴上，过点A作AE⊥PO,可求出P的坐标（0，6）；当点P在x轴上，过点A作AF⊥PO，则OF＝1，可得P的坐标（2，0）. 【详解】解：（1）∵直线y＝x+2与双曲线相交于点A（m，3）． ∴3＝m+2， ∴m＝1． ∴A（1，3） 把A（1，3）代入 ∴k＝3×1＝3， ∴. （2）直线和双曲线的示意图如图所示： （3）当点P在y轴上，过点A作AE⊥PO，则OE＝3， ∵OA＝PA，AE⊥PO， ∴PE＝OE＝3， ∴OP＝6， ∴点P的坐标为（0，6） 若点P在x轴上，过点A作AF⊥PO，则OF＝1 ∵OA＝PA，AF⊥PO， ∴OF＝PF＝1， ∴OP＝2 ∴点P坐标为（2，0） 综上所述，P（0，6）或P（2，0） 【点睛】本题主要考查画一次函数、反比例函数的图像，及一次函数与反比例函数的综合，综合性大. 24．（1）；；（2） 【分析】（1）将点代入可求得m，再将代入可求a （2）不等式的解集即为的函数图像在的函数图像上方的部分，根据函数图像和A、B点的坐标即可得出结果． 【详解】解：（1）∵点在函数上 ∴ 又∵点在函数上 ∴ （2）由题意可得图像如图所示： 由图像可得，当的函数图像在的函数图像上方时， 或 不等式的解集为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键． 25．(1) (2)①；②或 【分析】（1）先把点A坐标代入一次函数解析式求出a的值进而求出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）①将点P坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点C，点D的坐标，即可求出的长；②根据图象法即可求解． 【详解】（1）解：∵在直线的图象上， ∴， ∴点A的坐标为， ∵在函数的图象上， ∴； （2）解：①将代入，得：， ∴点C坐标为， 将代入，得：， ∴点D坐标为， ∴； ②如图， ∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∴由图象可知，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 26．(1)反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义是解题的关键． （1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再代入中求出即可求解； （2）先求出点的坐标，设，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入一次函数中得： ，， 解得：，， ，， 将代入中，得：， 反比例函数的解析式为； （2）在中，令，则， 解得：， ， 设， 则， ，， ， 即， 解得：或， 点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $