精品解析：四川省平武中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

绵阳平武中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则集合在实数集的补集是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合A，再由补集的定义求解即可. 【详解】不等式，解得或， 即或，所以. 故选：B. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二倍角余弦公式求，再根据余弦定理求． 【详解】因为， 由余弦定理可得. 4. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C 【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 5. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，当且仅当（或）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 . 6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 【答案】C 【解析】 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 7. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立，进而求解． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，在上单调递减且， 故当时，在上恒成立； （2）若在上恒成立，则在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递增； 当，，单调递减， 故，所以． 综上可知，的取值范围是， 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 192 B. 336 C. 600 D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论． 【详解】解：E，F，G分别有4，3，2种方法， 当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种， 若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法， 若C与F不同，则此时D有2种方法， 故此时共有：种方法； 当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法， 若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法，  若C与F不同，则D有1种方法，   故此时共有：种方法； 当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法， 若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法； 若B不同于F，则B有1种方法， Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法； Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法； 故此时共有：种方法； 综上共有种方法． 故选：C． 【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题． 二、多选题：本大题共3小题，共18分，（全选对得6分，选对但不全得部分分） 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件结合二项分布的期望、方差、概率的计算，对各个选项分别判断即可． 【详解】解：，， 若，则，，故A选项错误，B选项正确， ，，故C选项正确， ，， 化简整理可得，解得，故D选项正确． 故选：BCD． 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据诱导公式，二倍角公式，和角公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，故错误； 对于B选项，，故正确； 对于C选项，，故正确； 对于D选项，，故错误. 故选：BC 11. 在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量计算判断A,结合A中与抛物线方程计算判断B,C,应用完全平方公式结合A的结论计算判断D. 【详解】由题设可知， 所以，且，故A正确； ，所以，，同理可得，，故B正确； 不妨设，则，代入， 得，所以，故C不正确； 由 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化命题“，”是真命题求解. 【详解】解：因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 又当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答. 【详解】在正方体中，如图， 平面，平面，则，而， ，，平面，于是平面，又平面， 则，同理，而，，平面， 因此平面，令交平面于点， 由，得， 即，解得， 而，于是， 因为点在内，满足，则， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧， 而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心， 于是正的内切圆半径， 则，即，， 所以圆在内的圆弧为圆周长的， 即点的轨迹长度为 故答案为： 【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 14. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 四、解答题（共 77分） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据任意角三角函数的定义即可求解tanθ； (2)分式分子分母同时除以cos2θ化弦为切即可. 【小问1详解】 ∵角的终边经过点，由三角函数的定义知，； 【小问2详解】 ∵，∴. 16. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性. （2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点， 所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得， 故即. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）在中，，，， 由余弦定理可得，所以， ．由题意且， 平面，而平面，所以， 又，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证； （2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出． 【详解】（1）略 （2）由，，而与相交，所以平面， 因为，所以， 取中点，连接，则两两垂直， 以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则, 又为中点，所以. 由（1）得平面，所以平面的一个法向量 从而直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑， 题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出． 18. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 【答案】（1） （2）（），理由：因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以 设的焦点坐标为所以即 所以为C的焦点， 因为所以 所以； （）证明：设 ①当斜率存在时，不妨令直线 联立化简得 因为与C的另一个交点为E， 所以 因为 所以式可以化为 所以所以点同理点 当轴,即时 所以直线EG过x轴上点 下证：三点共线， 因为 同理 因为三点共线，所以所以 即三点共线,所以直线经过一定点 ②当轴时，即所以 此时联立解得 所以直线交C于所以 综上,直线经过定点 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，通过设点坐标，利用斜率公式列出等式，再进行化简得到一个方程. （2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，进而判断出相关点与焦点的关系，最后利用均值不等式等知识来比较式子的大小.（）通过设点坐标和直线方程，联立方程求解交点坐标，再利用斜率等知识来证明三点共线，从而确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设因为直线AM，BM的斜率之积是 所以 化简得 【小问2详解】 （）略 （ii）略 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 19. 在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书． （1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率； （2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选” （i）求的分布列； （ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ）的分布列为 0 1 P X 0 1 2 3 n P （ⅱ）X的分布列为：期望为【解析】 【分析】（1）根据古典概率计算公式计算即可； （2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即，再计算， 方法1：设，求导赋值计算即可；方法二：利用计算即可. 【小问1详解】 当时，样本空间包含个样本点， 记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含个样本点， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ），， 则的分布列为 0 1 P （ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n， 对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．                 数组的结果共个，所以． 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 n P 所以随机变量X的数学期望为．             下面计算： 方法1：设， 两边求导得，， 两边乘以x后得，， 令，得， 所以． 所以．                     方法2：先证， 得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳平武中学2025-2026学年度高三上入学考试数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则集合在实数集的补集是 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 6. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块 7. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 192 B. 336 C. 600 D. 以上答案均不对 二、多选题：本大题共3小题，共18分，（全选对得6分，选对但不全得部分分） 9. 已知，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若，则 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为抛物线上的三点，为拋物线的焦点，且，则（ ） A. B. C. 存在三点，使分别为一个三角形的三条边长 D. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为________． 13. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 14. 设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 四、解答题（共 77分） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 16. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 19. 在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书． （1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率； （2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选” （i）求的分布列； （ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $