专题2.2 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质（一课一练•培优分层精练）-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

专题2.2 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 根据二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，可得答案． 【详解】对于A，不是二次函数，故此选项不合题意； 对于B，不是二次函数，故此选项不合题意； 对于C，不是二次函数，故此选项不合题意； 对于D，是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可解答． 【详解】解：A、抛物线，开口向上，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； B、抛物线，和的对称轴都为直线，故本选项符合题意； C、抛物线，的图象都在某条与x轴平行的直线上方，抛物线在某条与x轴平行的直线下方，故本选项不符合题意； D、抛物线既有上升趋势的部分，也有下降趋势的部分，故本选项不符合题意； 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，且图象开口向上，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】由二次函数得到x的指数部分要为2，从而解出a的值， 又因为图象开口向上，二次项系数要大于0，确定符合条件的a的值. 【详解】解：该函数为二次函数，故自变量x的指数必须为2， 即 二次项系数为，开口向上要求系数大于0， 即 综上，，故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的定义和开口方向的条件， 熟知二次函数的定义及图象特点是解题的关键. 6．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系直接得出即可． 【详解】解：由函数图象可知，的图象开口更小， 根据系数越大，开口越小， ； 故选：A． 7．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：B． 8．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的图象与性质，根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为1，由此可求得A点横坐标，即得的长，从而得长，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为1； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为， 即的长， ∴， ∴菱形面积为． 故选：C． 9．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 10．（2022·辽宁锦州·三模）如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，点在上， ， 时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，D错误， 当时，点在线段上， ， 时，随的增大而增大，当时取得最大值，此时，函数图象是一条线段，故选项C正确，选项B错误， 故选：C． 二、填空题 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 12．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与的开口大小相等， ∴，即， ∵中，开口向下，两抛物线开口方向相反， ∴开口向上， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得到抛物线开口向上，即可得到，解得，问题得解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴， ∴． 故答案为： 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数关系式的知识，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．根据正方形的面积边长边长即可解答． 【详解】解：新正方形的边长是， 则面积． 所以面积与之间的函数关系式为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故答案为；1． 16．（24-25九年级上·吉林松原·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为轴，即可根据自变量的大小判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数为：， ， ∴二次函数的开口向上，对称轴为轴， 点关于对称轴的对称点为， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得、关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点、， ∴、关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·全国·课后作业）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】利用二次函数的性质分析B点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴，且与x轴交于，B两点， ∴点的坐标为， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标是解题的关键． 19．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 【答案】①③② 【分析】本题主要考查二次函数的二次项系数与图象的关系，结合抛物线的形状与有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①；② ；③ ∴，二次项系数a分别为、、， ∵， ∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． ∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②． 故答案为：①③②． 20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题 21．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 22．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 【答案】(1)m的值为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为抛物线开口向下，得，，即可作答． （2）先得出抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，又因为在抛物线上，且，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴（舍去）；， ∴m的值为． （2）解：∵抛物线开口向下 ∴抛物线的对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵点在抛物线上，且， ∴ 23．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 【答案】(1) (2)当该矩形每条边的长都增加时，矩形的面积各增加 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式、矩形的面积公式，表示出新矩形的面积是解题的关键． （1）由题意可得，将该二次函数整理即可； （2）分别将代入，计算出对应的的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， 整理得： 故答案为： （2）当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加． 25．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．分别用表示、两点的坐标，然后根据坐标系两点距离公式求出、，的值，然后分三种情况，用勾股定理进行求解即可． 【详解】把横坐标，分别代入得、， ∴，，， 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，即， 解得，（舍）； 当时，，， 此方程无解， 综上，当为直角三角形，的值为或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：． 2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 【详解】解：∵函数的图象上有三点，，， ， ， ， ， 故选：A． 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键．根据点在抛物线上求出m的值，求出的长，再根据正方形的性质求出正方形的面积． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴正方形面积为∶ ． 故选C． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，因式分解法解一元二次方程，求函数值等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 先求出抛物线与直线的交点坐标，进而确定封闭图形（不包括边界）的的取值范围为，于是可得的整数解为，，，根据函数图象分别求出当，，时的整点数，将其相加即可得出的值． 【详解】解：令， 解得：，， 抛物线与直线围成的封闭图形（不包括边界）的的取值范围为：， 的整数解为：，，， 当时，，， 满足条件的整点为一个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 当时，，， 满足条件的整点为，两个点； 满足条件的整点共个，故， 即：的值为， 故选：． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 二、填空题 7．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数有最小值可得抛物线开口向上，可以得到且，由可得，再根据可得． 【详解】解：二次函数有最小值， 抛物线开口向上，二次项系数为正数， ， 解得：， 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分析列出不等式，从而求解． 【详解】解：∵若二次函数的图象不经过第一象限， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． 9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质判断的大小关系． 【详解】解：． 又二次函数的图象开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 12．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 14．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．设正方形的边长为，则根据抛物线对称性可得，代入抛物线的解析式即可求得，得到； 【详解】解：设正方形的边长为， 则，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 16．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 【答案】(1)点，点． (2)27 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出点的横坐标，然后代入二次函数解析式计算求出点的纵坐标，从而得解，再根据对称性写出点的坐标 （2）根据点A、B的坐标直接求出三角形的面积． 【详解】（1） 轴，， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 点、关于轴对称， 点． （2） 点，点． ， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性和二次函数图象上点的坐标特征． 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)上，4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，， 所以此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 二次函数y=ax²与y=ax²+c的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）下列函数中，是的二次函数的是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）抛物线，和共有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．图象都在某条与x轴平行的直线上方 D．抛物线呈下降趋势 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，且图象开口向上，则a的值是（    ） A． B．2 C． D．0 6．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，是二次函数的图象，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，菱形的顶点O，A，C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线在y轴上，且．则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 10．（2022·辽宁锦州·三模）如图，已知矩形中，，，动点在边上从点向点运动，速度为．同时动点从点出发，沿折线运动，速度为，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间为，的面积为()，则描述为()与时间的函数关系的图象大致是(    ) A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 12．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则 ． 13．（23-24九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 15．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）若函数是关于x的二次函数，则a的值为 ． 16．（24-25九年级上·吉林松原·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是 ． 17．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数图象上有两个不同点，，则 ． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，则的面积是 ． 19．（22-23九年级上·全国·期中）如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ．（填序号） 20．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 三、解答题 21．（24-25九年级下·全国·随堂练习）若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 22．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线开口向下． (1)求m的值； (2)若点在抛物线上，且，试比较与的大小． 23．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）某矩形的邻边长分别为和，假设每条边的长都增加时，矩形的面积增加． (1)与之间的关系式为______． (2)当该矩形每条边的长都增加，，时，矩形的面积各增加多少？ 25．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线上有两个点、，它们的横坐标分别为，．若为直角三角形，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若函数是二次函数，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 3．（24-25九年级上·四川泸州·阶段练习）已知的图象上有三点，，，且则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东清远·模拟预测）如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，若抛物线与直线围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则k的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数有最小值，则的值是 ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）若二次函数的图象不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 9．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 （用“<”连接）． 11．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 12．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与y 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 14．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知抛物线，正方形的顶点在抛物线上，顶点在轴上，求点的坐标． 15．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 16．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.    (1)求点A、B的坐标. (2)求三角形的面积. 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【探究】如图，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： (2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； (3)当时，的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $