专题2.6 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质（一课一练•培优分层精练）-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

专题2.6 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移及性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：抛物线，则它的顶点坐标为， 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线为． 此时抛物线顶点坐标是． 故选：D． 2．（22-23九年级上·全国·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点，，均在抛物线上，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为，根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为， ∴当时，y随着x的增大而减少，且当和时，函数值均为， ∵， ∴ ， 故选：B． 4．（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ∴，解得：， 故：B． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）北京时间2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．某校九年级学生做炮弹模拟发射实验，其运动轨迹可以近似看成抛物线，若此炮弹在第6秒和第12秒时的高度一致，则该炮弹回到地面上时，所经过的时间为（　　） A．9秒 B．15秒 C．18秒 D．20秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质； 由题意可得：抛物线的对称轴为这两个时刻的中点，即，再根据抛物线的对称性可知，当时，，然后可得答案． 【详解】解：∵炮弹在第6秒和第12秒的高度一致， ∴抛物线的对称轴为这两个时刻的中点，即， ∵当时，， ∴由抛物线的对称性可得：当时，， ∴该炮弹回到地面上时，所经过的时间为18秒， 故选：C． 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 7．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：；；③关于x的方程有两个不相等的实数根；．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键． 由二次函数图象的性质得，，，结合题意把代入，得，以及运用二次函数图象与系数的关系逐一判定即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入，得， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故②错误； 由图可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于x的方程，即有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵为抛物线二次项系数， ∴， 故④错误． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质得出，求一元一次不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键．解题时利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：1． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 【答案】①④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算：，例如，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：， ， 即， 当时，函数有最小值，最小值是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；根据二次函数性质计算当和时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确； 当时，；当时，， 则抛物线L必过点和点，故②正确； 抛物线L的对称轴为直线， 则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误； 当时，已知，是抛物线上的两点， 点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2， ，故④正确； 当时，；当时，， 抛物线L的对称轴为直线，， 不等式恒成立，故⑤错误； 故答案为：①②④． 三、解答题 15．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，． (1)求m，n的值； (2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来． 【答案】(1) (2)丙同学把n看成了 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）把，和，分别代入，列出方程组求出m，n的值即可； （2）由得，代入，求出此时的值，即可解答． 【详解】（1）解：把，和，分别代入， 得， 解得：； （2）解：由得， 把，代入，得， 解得， 所以丙同学把n看成了． 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最大值4，再计算出和时对应的函数值，从而得到当时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后计算的值． 【详解】（1）解：依题意，把，．分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 17．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【答案】(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， ∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意； ∵原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意； 故选：D。 2．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断系数的符号，式子的符号，根据图象判断①和②，特殊点判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴，，故②正确； ∴，故①错误， 由图象可知：当时，，故③正确； 当时，， ∵， ∴，故④正确； 故正确的结论为②③④； 故选B． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 4．（2025·陕西咸阳·二模）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由图象过和，可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【详解】解：由题意，图象过和， 抛物线的对称轴是直线， 若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大， 到对称轴的距离为，和到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， 最大，且， 对于，其到对称轴的距离为，是四个点中最近的， 最小， 即最大，最小， 若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时应小于，与条件矛盾， 综上，抛物线开口向上时结论成立， 最大，最小． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点到直线的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点到直线的距离的最小值． 【详解】解：二次函数， 该函数顶点的纵坐标为：， 点P到直线的距离为：， 当时，点P到直线的距离取得最小值， 故答案为： 7．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由二次函数的图象经过，，可得其对称轴是直线，结合图象开口向下，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过，， 对称轴是直线． 又结合图象开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 若y随x的增大而减小，则． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·山西大同·期中）在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键． 由表中数据可得抛物线的对称轴为，运用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象与性质可得出结论． 【详解】解：由表格可知，和时均有， ∴对称轴为：   观察表格，时，即顶点为， 设二次函数的顶点式为：   由表格中，，代入顶点式得：   ， 即， 解得  ， ∴二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小， ， 当时，取得最小值，为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线的顶点，连接、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，将二次函数解析式化为顶点式，三角形面积公式，先求出二次函数的解析式为，再将其化为顶点式得出点的坐标为，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴点的坐标为， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用二次函数的性质，对于抛物线，当时，y有最小值为1，则可对①进行判断；把A点坐标代入可求出a的值，则可对②进行判断；当时通过计算从而可对③进行判断；利用对称性求出B、C的坐标，然后计算出和的长，从而可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方， ∴无论x取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入抛物线得，解得，故本结论正确； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为，的对称轴为， ∴ ∴， ∴，故本结论正确． 故正确的结论为：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 11．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程； （2）根据（1）中结果设函数解析式为：，然后利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质及表格中数据即可得出结论． 【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等， ∴对称轴是直线 故答案为：； （2）解：∵由（1）得顶点坐标为， ∴设函数解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， （3）解：∵ ， ∴抛物线开口向上， 又对称轴是直线 ∴当时，． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）设二次函数（是实数）． (1)若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； (2)当时，函数的最大值为4，求的值； (3)已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）函数对称轴为直线，据此求出，即可得到答案； （2）根据函数的最值得到，解得或，即可得到答案； （3）根据a的取值范围分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵该函数对称轴为直线， ∴， 解得， ∴函数的表达式为； （2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，函数的最大值为4， ∴， 解得或， 故的值为或； （3）∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ①当时，， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴ ∴ ③当时，函数为，， 即点N的坐标为，即， 当时，则， ∴ ∴符合题意； 综上可知，的取值范围是． 13．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）数学活动课上，张老师给出了二次函数（），并让同学们进行探究． (1)任务一：小乔在探究中发现，当的取值不同时，画出的函数图象都经过同样的定点，请求出定点的坐标吗？ (2)任务二：小惠给赋值并画出相应的函数图象，记其顶点为A，与轴的两个交点分别为，她发现由三点构成的恰好为直角三角形，请求出这个二次函数的解析式吗？ (3)任务三：小灵提出她画的函数图象在内，的最小值为，请求出此时的值． 【答案】(1)和 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数的最值、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当或时，，从而得出结论； （2）先求出的坐标，再根据勾股逆定理列方程求解； （3）分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当或时，， ∴定点的坐标为和； （2）解：由（1）得：， ， ∵恰好为直角三角形， ， ， 解得：； 故二次函数的解析式为或． （3）解：∵抛物线的顶点为，当时，的最小值为， 当时，抛物线开口向上，当时，取最小值， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，当时，取最小值， ， 解得：， 综上所述：的值为或． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先配方成顶点式，再利用顶点在x轴上列方程，解方程可得答案； （2）首先得到抛物线对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可； （3）根据题意得到点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵抛物线上两点，，， ∴； （3）∵点，为抛物线上的两点，且， ∴点C到对称轴的距离大于点D到对称轴的距离， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ ∴ 解得． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：①， 又∵对称轴为直线 ∴② 联立①②，可得，解得， ∴这个二次函数的表达式为 （2）解：∵， 抛物线开口向下，有最大值1， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：抛物线，该抛物线绕其顶点旋转，得出， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后新抛物线的顶点坐标（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知点，，均在抛物线上，则 A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·二模）对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）北京时间2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．某校九年级学生做炮弹模拟发射实验，其运动轨迹可以近似看成抛物线，若此炮弹在第6秒和第12秒时的高度一致，则该炮弹回到地面上时，所经过的时间为（　　） A．9秒 B．15秒 C．18秒 D．20秒 6．（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025九年级上·浙江·专题练习）抛物线的顶点坐标为（如图所示），则下列说法：；；③关于x的方程有两个不相等的实数根；．则正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（24-25九年级下·上海浦东新·阶段练习）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是 ． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 11．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义运算：，例如，则函数的最小值是 ． 14．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有 （填序号）． 三、解答题 15．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）数学课上，老师让甲、乙、丙三位同学分别计算当，2，4时，二次函数的值，甲、乙两同学正确算得当时，；当时，．丙同学由于看错了n而算得当时，． (1)求m，n的值； (2)丙同学把n看成了什么数？请你通过计算把它求出来． 16．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 17．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 一、单选题 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 2．（24-25九年级上·广东韶关·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·二模）下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 二、填空题 6．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为 ． 7．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 8．（23-24九年级上·山西大同·期中）在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，点P是抛物线的顶点，连接、，则的面积为 ． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可） 三、解答题 11．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）二次函数中的自变量和函数值满足下表： … … … … (1)该二次函数图象的对称轴是_____； (2)求该二次函数的解析式； (3)当时，请直接写出的取值范围． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）设二次函数（是实数）． (1)若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； (2)当时，函数的最大值为4，求的值； (3)已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 13．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）数学活动课上，张老师给出了二次函数（），并让同学们进行探究． (1)任务一：小乔在探究中发现，当的取值不同时，画出的函数图象都经过同样的定点，请求出定点的坐标吗？ (2)任务二：小惠给赋值并画出相应的函数图象，记其顶点为A，与轴的两个交点分别为，她发现由三点构成的恰好为直角三角形，请求出这个二次函数的解析式吗？ (3)任务三：小灵提出她画的函数图象在内，的最小值为，请求出此时的值． 14．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的顶点在轴上． (1)求的值； (2)抛物线上两点，．若，则______（填“”、“”或“”）； (3)若点，为抛物线上的两点，且，求出的取值范围． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $