专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质（一课一讲•考点题型精讲）-2025-2026学年人教版九年级数学上册考点精讲与题型精练

专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+3大易错点分析+7大常考题型精练+中考真题小练 · 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； · 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； · 经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 要点一、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与y=a(x-h)²+k(a≠0)之间的相互关系 （1）顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． （2）一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【注意】（1）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 （1）一般方法：列表、描点、连线； （2）简易画法：五点定形法. 其步骤为： 先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． 求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象. 要点三、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， （2）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 要点四、求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【注意】如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 易错点一、混淆配方法解一元二次方程与配方为顶点式 错因分析：在将二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)通过配方化为y=a(x-h)²+k(a≠0)时，学生不理解恒等变形的本质，容易混淆配方法解一元二次方程与配方为顶点式，而导致出错. 【典例】将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 易错点二、待定系数法求系数解方程组计算出错 错因分析：在学习一次函数时，对于待定系数法确定一次函数已经不陌生了，但是相对间隔时间较长，求解熟练度可能有待提高。另外，对于基础较薄弱的学生，对于三个式子能否正确代入求解也需要细心和多加练习计算. 【典例】若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 易错点三、解题时根据题设合理选择一般式或顶点式 错因分析：由于二次函数有一般式、顶点式，如何正确选择最佳的解题方案也是很重要的，当条件涉及对 称轴、顶点、最高(低)点、对称点等时，采取顶点式较好，对于给出多个点坐标，采取一般式较好. 【典例】如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（   ） A．，， B．， C．，， D．， 题型一、将y=ax²+bx+c化为顶点式 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后，抛物线的解析式为 ． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（、b、c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 … y … … 则下列结论中正确的是（    ） A． B．该函数有最大值 C．若点、在函数图象上，则 D．方程的一个根位于2和3之间 题型三、二次函数图象与各项系数符号 9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型四、一次函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）当时，和大致图像可能是（　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型五、根据二次函数的对称性求解问题 17．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 18．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 19．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ．    题型六、二次函数y=ax²+bx+c的最值 21．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 22．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 23．（24-25九年级下·山东滨州·期中）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足．由于某种原因，现价格需满足，那么此时该店一周可获最大利润是 元． 24．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 题型七、待定系数法求二次函数解析式 25．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 28．（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． （2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． （2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． （2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) （2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． （2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 （2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①④ C．②③ D．②④ （2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ （2023·四川广安·中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． （2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） （2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． （2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    （2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． （2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． （2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. （2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （一课一讲·考点题型精讲） 4大知识点梳理+3大易错点分析+7大常考题型精练+中考真题小练 · 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式； · 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； · 经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 要点一、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与y=a(x-h)²+k(a≠0)之间的相互关系 （1）顶点式化成一般式 　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． （2）一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【注意】（1）抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用． （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点二、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 （1）一般方法：列表、描点、连线； （2）简易画法：五点定形法. 其步骤为： 先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． 求抛物线与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 【注意】当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象. 要点三、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 （1）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， （2）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 要点四、求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 【注意】如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 易错点一、混淆配方法解一元二次方程与配方为顶点式 错因分析：在将二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)通过配方化为y=a(x-h)²+k(a≠0)时，学生不理解恒等变形的本质，容易混淆配方法解一元二次方程与配方为顶点式，而导致出错. 【典例】将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 易错点二、待定系数法求系数解方程组计算出错 错因分析：在学习一次函数时，对于待定系数法确定一次函数已经不陌生了，但是相对间隔时间较长，求解熟练度可能有待提高。另外，对于基础较薄弱的学生，对于三个式子能否正确代入求解也需要细心和多加练习计算. 【典例】若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 易错点三、解题时根据题设合理选择一般式或顶点式 错因分析：由于二次函数有一般式、顶点式，如何正确选择最佳的解题方案也是很重要的，当条件涉及对 称轴、顶点、最高(低)点、对称点等时，采取顶点式较好，对于给出多个点坐标，采取一般式较好. 【典例】如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（   ） A．，， B．， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移及旋转，将抛物线化为，再根据旋转及平移得到原抛物线的解析式，进而可求解，解题的关键是掌握旋转的性质及平移的性质． 【详解】解：抛物线， 绕其顶点旋转得：， 把抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位， 得， ，． 故选：B． 题型一、将y=ax²+bx+c化为顶点式 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键． 根据配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵，即， 故选：A． 2．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得． 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 3．（2025·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点、点的平移、点所在的象限等知识点，求得抛物线的顶点成为解题的关键． 先运用配方法求得该抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求得平移后的顶点坐标，最后确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为，即， ∴得到的新抛物线的顶点位于第二象限． 故选B． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后，抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，先把二次函数配方成顶点式，然后利用“左加右减，上加下减”平移规律得到解析式． 【详解】解：抛物线， 将抛物线先向右平移4个单位，再向上平移5个单位后， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）点，，均在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质（抛物线的对称性、增减性），解题的关键是利用二次函数的对称轴判断点到对称轴的距离，结合函数的增减性比较函数值的大小． 分析二次函数的开口方向（向下）和对称轴轴）；根据抛物线关于对称轴对称，可得与到对称轴距离相等，故根据对称轴右侧y随x增大而减小，结合在对称轴右侧且横坐标大于2，可得，进而得出大小关系． 【详解】： ∵函数是二次函数，且 ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧随x的增大而增大；在对称轴右侧随x的增大而减小；且抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大． ∵点到对称轴的距离均为2， ∴根据抛物线的对称性，． ∵点在对称轴右侧，且， ∴在对称轴右侧，x越大，y值越小，故． 综上，． 故选：D． 6．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，与x轴的左交点为．若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，由已知函数解析式可得二次函数图象的对称轴是直线，由已知把点代入函数解析式可得，从而二次函数可以为，再由已知可知:此函数图象开口向上，则时，时，即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，对称轴为直线， ∴它的图象也经过点，， ∵函数图象与x轴的左交点为，， ∴此函数图象开口向上， ∴时，即， 解得； 当时，即， 解得， ∴a的取值范围：， 故选C． 【点睛】 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（、b、c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 … y … … 则下列结论中正确的是（    ） A． B．该函数有最大值 C．若点、在函数图象上，则 D．方程的一个根位于2和3之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键． 根据表格数据即可得出抛物线对称轴为直线，顶点为，时，y随x的增大而减小，得出，利用对称轴公式求得，即可判断A；根据二次函数的性质即可判断B；根据两点到对称轴的距离即可判断C；利用二次函数的对称性即可判断D． 【详解】解：由题意可知抛物线对称轴为直线， 顶点为， 时，y随x的增大而减小， 抛物线开口向上，， ， ，故选项A错误； 时，y随x的增大而减小，顶点为， 该函数有最小值，故选项B错误； 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故选项C正确； 由题意可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在与之间， 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在1与2之间，故选项D错误． 故选：C． 题型三、二次函数图象与各项系数符号 9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵， ∴，②说法错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，⑤说法正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 故选：D． 11．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据当时，可判断A；根据图象可得，即，即可判断B、C；由图象可知，结合二次函数的对称性可得时，可判断D． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴， ∴，故A错误，不合题意； ∵，， ∴，， ∴，，故B、C错误，不合题意； ∵二次函数的图象关于对称，且， ∴当时，， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 题型四、一次函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·全国·单元测试）当时，和大致图像可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象是否相符即可． 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意； B、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意； C、由一次函数的图像可知，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意； D、由一次函数的图像可知，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意． 故选：C． 14．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．本题可先由一次函数，图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 15．（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）若直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则二次函数的大致图象是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中一次函数图象，可以得到，，然后根据二次函数的性质，即可得到二次函数的图象的开口方向，对称轴的位置，即可判断二次函数图象． 【详解】解：根据一次函数图象经过一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，二次函数的对称轴为直线，即对称轴在轴右侧， 故选：D． 16．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 题型五、根据二次函数的对称性求解问题 17．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 18．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 19．（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 20．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性．由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型六、二次函数y=ax²+bx+c的最值 21．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 22．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数．若时，函数取最大值3，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，二次函数的性质，由二次函数的性质得，，求出、的值，代值计算即可． 【详解】解：时，函数取最大值3， ， ， 解得：，， ， 故选：A． 23．（24-25九年级下·山东滨州·期中）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润（元）与每件销售价（元）之间的关系满足．由于某种原因，现价格需满足，那么此时该店一周可获最大利润是 元． 【答案】 【分析】本题考查一元二次函数，解题的关键是熟练掌握一元二次函数的图象及其性质． 由已知可知，一周利润与每件售价之间的函数图象为开口向下的抛物线，每件售价的取值范围在对称轴右侧，售价越低利润越大，代入售价的最小值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，取最大值，此时，， ∴该店一周可获最大利润是元， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 题型七、待定系数法求二次函数解析式 25．（2025·陕西榆林·三模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 27．（2025·四川成都·二模）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项B错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项D错误； 故选：C． 28．（24-25九年级下·云南临沧·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． （2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． （2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． （2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． （2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． （2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． （2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． （2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． （2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当与时的函数值相等， ∴，故②符合题意； ∵当时函数值最大， ∴， ∴；故③不符合题意； ∵点和点在该图象上， 而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小， ∴．故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键． （2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （2023·江苏扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． （2023·四川广安·中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . . 故①正确. 是关于二次函数对称轴对称， . 在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，   . 故②正确. 图象与轴交于点， ，. . . 故③正确. ， . 当时，， . ， ， . 故④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点. （2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． （2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． （2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． （2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 （2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． （2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． （2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． （2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． （2023·浙江绍兴·中考真题）已知二次函数． (1)当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． (2)当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②当时， (2) 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． （2）∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $