22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 （第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第1课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标； 2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律； 3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点. 【过程与方法】 通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知. 【情感态度与价值观】 经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换. 【教学难点】 用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标. 五、课前准备 课件、三角尺、铅笔等 六、教学过程 （一）导入新课 教师问：二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些？（出示课件2） 师生共同回忆： y=a(x-h)2+k(a≠0) a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h ,k) (h ,k) 对称轴 x=h x=h 增减性 当x<h时，y随着x的增大而减小.当x>h时，y随着x的增大而增大. 当x<h时, y随着x的增大而增大.当x>h时，y随着x的增大而减小. 极值 x=h时,y最小值=k x=h时,y最大值=k 抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到. 教师问：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?（出示课件3） （二）探索新知 探究一 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？（出示课件5） 问题1：怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？ 学生回忆配方的方法及步骤，并回答.（出示课件6） 学生回答后，教师总结并强调.（出示课件7） 配方的步骤： (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2：你能说出的对称轴及顶点坐标吗？（出示课件8） 生答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 问题3：二次函数可以看作是由怎样平移得到的？ 生答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4：如何画二次函数的图象？（出示课件:9） 学生自主操作，画图，教师加以巡视.并引导他们进行分析. 方法一：描点法. 1.列表. x … 3 4 5 6 7 8 9 … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 2.描点，连线： 方法二：平移法.（出示课件10） 问题5：结合二次函数的图象，说出其性质.（出示课件11） 生答：当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大. 开口方向：向上. 对称轴：x=6. 顶点：(6,3). 例 画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.（出示课件12） 师生共同解答如下： 解:函数通过配方可得， 先列表： x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 … 然后描点、连线，得到图象如下图：（出示课件13） 生观察图象，并总结性质如下： 开口方向：向下. 顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1. 最值：x=1时，y最大值=-2. 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2. 出示课件14：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 生板演解题过程： 解：y=2x2-8x+7 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 探究二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 出示课件15：根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ 师生共同探究强化认知： y=ax2+bx+c 出示课件16：显然，二次函数y的顶点坐标为，对称轴为 因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，顶点坐标是 . 师生共同总结整理如下：（出示课件18） 出示课件19：例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4） 学生自主思考后，师生共同解答如下： 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 教师加以强调：把函数的一般式化为顶点式，再由顶点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质. 出示课件20：填一填. 抛物线 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 生自主思考，并填表. 答案：(1,1)；x=1；最大值1； (0,-1)；y轴；最大值-1； (,-6)；x=；最小值-6. 出示课件21：一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： 生观察图象，并填空. k1＜0；b1＞0；k2＞0；b2＜0；k3＞0；b3＞0. 出示课件22，23：二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1___0，b1___0,c1___0；a2 0，b2___0,c2 0； a3___0，b3___0,c3___0；a4___0，b4___0,c4___0. 生观察图象后，独立填空，教师加以纠正. a1＞0，b1＞0,c1＞0；a2＞0，b2＜0,c2=0； a3＜0，b3=0,c3＞0；a4＜0，b4＞0,c4＜0. 师生共同总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系（出示课件24） 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___向上____ a＜0 开口___向下____ b=0 对称轴为_y__轴 a、b同号 对称轴在y轴的__左__侧 a、b异号 对称轴在y轴的__右__侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_正_半轴 c＜0 与y轴交于__负__半轴 出示课件25：例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 生独立思考后，师生共同分析： 由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 出示课件26：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D． ac>0 生独立思考后，自主解决. 解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． ①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误． （三）课堂练习（出示课件27-32） 1.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x= 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a，b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等； （3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ 5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 6.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 . 7.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ） 参考答案： 1.A 2.D 3.（2） 4.B 5.⑴直线x=3，(3，-5)； ⑵直线x=8，(8，1)； ⑶直线x=1.25，； ⑷直线x=0.5，. 6.； 7.B （四）课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习 预习下节课（22.1.4第2课时）的相关内容. 七、课后作业 配套练习册内容 八、板书设计： 九、教学反思： 本课时的主要任务是理解和掌握二次函数的一般式.我们研究函数的一般基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征.因此本课时的教学仍可采用这种思维方法来探讨二次函数一般式的性质（如顶点坐标，对称轴以及增减性等），另外还要向学生渗透转化思想，即如何将相对复杂的一般式转化为其他解析式的形式. 学科网（北京）股份有限公司 $