22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（题型专练）数学人教版九年级上册

22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1） 题型一、把二次函数y=ax²+bx+c配成顶点式 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象 5．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 8．（23-24九年级上·广东江门·期中）函数和函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A．B．C．D． 题型三、二次函数y=ax²+bx+c的基本性质 10．（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（   ） A．最高点在 B．最高点在 C．最低点在 D．最低点在 11．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 12．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 题型四、二次函数y=ax²+bx+c的函数值的大小 13．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 题型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称性 16．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 18．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 题型六、确定二次函数y=ax²+bx+c的解析式 20．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 21．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点． (1)求和的值； (2)试判断点是否在此函数图像上？ 22．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 23．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式； (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 题型七、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 24．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 25．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 题型八、二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 26．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 27．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 28．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的函数值范围及最值问题 29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 30．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 31．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 32．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ． 33．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 34．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的推理计算与证明问题 35．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 36．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与实际问题 37．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 38．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． (1)求抛物线的表达式， (2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离． 题型四、二次函数y=ax²+bx+c与几何压轴问题 39．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 40．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 41．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（  ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④ 42．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点，点，如果抛物线（为实数）与线段（不含端点）只有一个交点，那么的取值范围是 ． 44．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 45．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 46．（24-25九年级下·安徽池州·期中）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与x轴交于点，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标． (2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值，求m的取值范围（用含有b的式子表示）． (3)当时，，求和的值及的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1） 题型一、把二次函数y=ax²+bx+c配成顶点式 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）用配方法将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，把配成顶点式后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值． 【答案】对称轴，顶点坐标，最小值为 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解：， 对称轴为直线， 顶点坐标为， 又， 该二次函数有最小值，最小值为． 4．（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数． (1)用配方法将其化为的形式； (2)写出抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的性质： （1）利用配方法把解析式化为顶点式即可； （2）根据和求出对应的、值，即可得到与坐标轴交点的坐标． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，，解得：，； 当时，， 故抛物线与轴的交点是，，与轴交点是 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的图象 5．（18-19九年级上·浙江绍兴·阶段练习）二次函数的图象如图，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向，对称轴以及图象与轴的交点判断、、的符号即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ，则， 图象与轴的交于负半轴， ， ，，， 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图是抛物线的示意图，则c的值可以是（　　）    A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，根据二次函数的图象确定c的取值范围即可得． 【详解】解：根据二次函数图象可得：抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴只有A符合题意， 故选：A． 8．（23-24九年级上·广东江门·期中）函数和函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当同号时，对称轴位于轴左侧；当异号时，对称轴位于轴右侧．熟记相关结论即可． 【详解】解：A：由函数的图象可知，； ∴ ∴二次函数图象开口向上， ∵， ∴二次函数图象的对称轴应位于轴左侧 故A正确；C、D错误； B：由函数的图象可知，； ∴ ∴二次函数图象开口向下， ∵， ∴二次函数图象的对称轴应位于轴右侧 故B错误； 故选：A 9．（2025·陕西·一模）关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为， 又∵，则， ∴ ∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 题型三、二次函数y=ax²+bx+c的基本性质 10．（24-25九年级上·四川泸州·期中）二次函数的图象的（   ） A．最高点在 B．最高点在 C．最低点在 D．最低点在 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意可把二次函数的解析式变成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：把二次函数变成顶点式得：， ∵，即开口向上， ∴该二次函数有最低点； 故选C． 11．（2025·广东梅州·二模）对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 12．（2025·陕西商洛·三模）已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 题型四、二次函数y=ax²+bx+c的函数值的大小 13．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）已知点都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，把代入计算即可． 【详解】∵点都在二次函数的图象上， ∴当时，当时， ∴， 故选：B． 14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，C，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 15．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知点，，都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 先判断出二次函数的开口和对称轴，再通过比较三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：的对称轴为，函数图像开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大 ∵ ∴ 故选：A ． 题型五、二次函数y=ax²+bx+c的对称性 16．（24-25九年级上·福建厦门·期中）二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知抛物线上对称的两点求对称轴，此抛物线的对称轴是直线，即可求解； 【详解】解：∵点和是抛物线上对称的两点， ∴此抛物线的对称轴是直线， 故选：A 17．（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴． 先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A； 利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的对称轴为， 故A正确； 点关于对称轴的对称点为，故B正确； ∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且， ∴点关于对称轴的对称点为，且， 当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上， 当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在， 则抛物线开口向上，故C正确； ∵当时，，当时，， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，故D错误， 故选：D． 18．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上． (1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ； (2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标． 【答案】(1) (2)，顶点 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： （2）解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴              解得 ∴.      故顶点坐标为 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标； 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】（1）利用二次函数的对称轴为即可求解． （2）①将点带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 二次函数的对称轴为：． （2）①将点带入二次函数得：， 解得：， 二次函数的表达式为：； ②变形得：， 顶点坐标为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 题型六、确定二次函数y=ax²+bx+c的解析式 20．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 21．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像经过，两点． (1)求和的值； (2)试判断点是否在此函数图像上？ 【答案】(1) (2)不在 【分析】 （1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值； （2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上． 【详解】（1） 解：把，两点代入二次函数得 ， 解得，； （2） 解：由（1）得， 把代入，得， 点在不在此函数图象上． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 22．（24-25九年级上·云南红河·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）设抛物线解析式为，再然后把代入求出a即可； （2）设抛物线解析式为，然后把，，代入得三元一次方程组，解方程组即可； （3）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可； （4）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可． 【详解】（1）解：∵顶点在原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：，，， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线过过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （4）解：∵当时，函数值取得最小值为， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 23．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式； (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题． （1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可； （2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）∵二次函数图象过点和点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴ （2）若，， 则， ∴当时，，当时，， ∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，． 题型七、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 24．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； （2）解：列表： 描点，连线，如图： （3）解：由图象可知，当时，． 25．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【答案】(1) (2)见解答 (3)①④ 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式； （2）取点描点连线绘制函数图象即可； （3）根据函数图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 题型八、二次函数y=ax²+bx+c的平移问题 26．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数． (1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标； (2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值． 【答案】(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数的性质； （1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解； （2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为，然后由平移后的函数的对称轴为y轴得到，最后求解即可． 【详解】（1）解：配方： ， 所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为； （2）由题意得：平移后的二次函数表达式为， 所以对称轴为， 因为平移后的二次函数对称轴是轴， 所以， 解得． 28．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． （1）直接将代入，解得的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到轴上即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：， 该抛物线的顶点为， 要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上， 顶点纵坐标应为0， 将该抛物线向上平移1个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点， 故答案为：1． 题型一、二次函数y=ax²+bx+c的函数值范围及最值问题 29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 30．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识，综合性较强，难度较大．先根据点，，画出二次函数大致图像，即可得到抛物线对称轴为，再求出点距离对称轴个单位，点距离对称轴个单位，结合函数图像即可得到． 【详解】解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像， 根据抛物线的对称性得对称轴为， ∴点距离对称轴个单位， 点距离对称轴个单位， ∵， ∴． 故答案为：． 31．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解二元一次方程组，解不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意得，因为，故建立方程组，再解得，即可作答． （2）先整理得对称轴为直线，结合，说明关于对称轴对称，得，解得：； （3）把点代入得，则对称轴，整理得，因为当时，y随x的增大而增大，得且，解得：，即可作答． 【详解】（1）解：把点代入到二次函数的表达式中， 得 化简得：， 依题意联立方程组：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴． ∵， 说明关于对称轴对称， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点在此二次函数图象上， ∴，对称轴， ∵， ∴ ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴且， ∴ ∴ 解得：， ∴ ∵ ∴． 32．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数在一定范围内的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质判断出对称轴为直线，然后再找最大值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 33．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 34．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）①当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，②如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 题型二、二次函数y=ax²+bx+c的推理计算与证明问题 35．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 【答案】(1)两个，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据抛物线解析式并结合一元二次方程根的判别式可得，由此判断即可得解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，，再分两种情况：当时；当时；求出的取值范围，再结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下： ∵抛物线， ∴， ∴此抛物线与x轴的交点个数为两个； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时， ∵对于，，总有， ∴如图所示： ∴由图可得：， 解得， 当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去； ∵， ∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，． 36．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 【答案】(1) (2)向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，求得顶点坐标，根据两个顶点的横坐标的关系列出方程，求解即可； （2）根据两个二次函数的解析式即可得到平移方式； （3）把点代入上，得到，把，，代入，得到，进而得到，因式分解得到，进而求出的值，即可出得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、二次函数y=ax²+bx+c与实际问题 37．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质. （1）由题意知，顶点P的坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入，求解即可； （2）由题意知，，当时，求出，由对称性可知，即可得解. 【详解】（1）由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 38．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． (1)求抛物线的表达式， (2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离． 【答案】(1) (2)m，m 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，注意计算的准确性即可． （1）将点、点代入即可求解； （2）根据解析式可求出对称轴，即可得点得横坐标，将其代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：， 点， ． 将点代入， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：抛物线的表达式为， 对称轴为直线， 点O到所在直线的距离为m． 当时，， 点B到地面的距离为m． 题型四、二次函数y=ax²+bx+c与几何压轴问题 39．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 40．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 41．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（  ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据及过点，且，结合二次函数的性质与判别式条件，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①∵抛物线（a为常数且），过点， ∴抛物线可表示为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，结论①错误； ②将代入，得 ∵， ∴， ∵， ∴，结论②正确； ③∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，结论③错误； ④∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∵，结论④正确． 综上，正确结论为②④， 故选：D． 42．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可得抛物线的对称轴是直线，又抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大，又对于范围内的任意自变量x，都有，从而，再结合，进而可以得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线． 又抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 又∵对于范围内的任意自变量x，都有， ∴， ∴， 又， ∴， 故选：D． 43．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知点，点，如果抛物线（为实数）与线段（不含端点）只有一个交点，那么的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的开口方向和对称轴，顶点坐标，结合线段，进行分类讨论，即当抛物线的顶点坐标在线段上时，解得或，不符合题意，当顶点在直线的左边时，当顶点的横坐标为时，在直线的右边时，逐个情况分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，开口向上， 则顶点的纵坐标， ∵抛物线（为实数）与线段只有一个交点，且点，点， ∴当抛物线的顶点坐标在线段上时，则， ∴， 解得或； ∵不含端点 ∴或都舍去 故顶点在直线的下方， 当顶点在直线的左边时， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的右边，随着的增大而增大，即， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴； 当顶点的横坐标为时， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； 则与相矛盾，故舍去； ∴无解； 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴与相矛盾，故舍去； ∴无解； 在直线的右边时， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边，随着的增大而减小，即， 则把代入，得 解得； 则把代入，得 解得； ∴； 综上：或 那么的取值范围是或 故答案为：或 44．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 45．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象与性质，正确求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出，，求出直线的函数表达式为，设，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）作轴交BC于点E，求出直线的函数表达式为，设，求出，得，，根据的面积等于3得，解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：令，解得或， ∵， ∴，， 如图1， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为， 由（1）得抛物线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴线段有最大值为． （3）解：如图2，作轴交BC于点E， 设直线的函数表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得 ∴直线的函数表达式为， 设， 令，解得， 则， ∴， ∴的面积， ∵的面积等于3， ∴，解得或． 46．（24-25九年级下·安徽池州·期中）已知二次函数． (1)若二次函数的图象与x轴交于点，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标． (2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值，求m的取值范围（用含有b的式子表示）． (3)当时，，求和的值及的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的性质，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先把代入解析式求出解析式，再求出函数值为0时，自变量的值即可得到答案； （2）把解析式化为顶点式，求出顶点坐标，只需要满足m的值小于顶点的纵坐标的值即可； （3）把解析式化为顶点式求出对称轴，根据当时，，那么只需要满足函数恰好经过和时，总有，即的最小值，据此求出抛物线解析式即可求出b、h的值，进而求出t的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，，解得， 二次函数的图象与轴的另外一个交点的坐标为． （2）解：， 当时，取最小值，最小值为． 取任意实数，总有， ． （3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线． 又当时，， 当抛物线过点和时，总有，即的最小值， ， ∴， ． 当时，， 当时，的最小值为， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$